使用柏拉图固体创建几何零件

by Sabina Syed
Guest
2019年 11月 18日

柏拉图固体以柏拉图的名字命名,它是规则的凸多面体,由四面体、立方体、八面体、十二面体以及二十面体组成。自远古时代以来,由于其属性和历史意义,人们对著名的柏拉图固体进行了研究。自 COMSOL Multiphysics® 5.5 版本起,在零件库中提供了柏拉图固体。在此博客文章中,我们研究柏拉图固体背后的故事,并展示如何通过内切球的半径来创建一个十二面体。

柏拉图固体:历史、几何与现代的结合

柏拉图出生于公元前430年左右的雅典,是有史以来最著名的哲学家之一。作为苏格拉底的学生和亚里斯多德的老师,他创立了以科学为中心的学院(通常被称为第一所西方大学),并通过 The Republic 等标志性著作为哲学做出了贡献。在 Timaeus 一书中,柏拉图揭开了四种经典元素(火、土、空气与水)的神秘面纱,他将每种元素与一种和它们的原子形状相似的固体相连接。火与四面体相关,土与立方体相关,空气与八面体相关,水与二十面体相关。最后,十二面体被认为是组成宇宙的星座。从那时起,这个著名的多面体集合就被称为柏拉图固体。

五个并排的图像显示了柏拉图固体。
1619年 Johannes Kepler 在 Harmonices Mundi 中绘制的柏拉图固体及其各自的元素。左起:四面体立方体八面体二十面体十二面体。图片源自: Wikimedia Commons 。

柏拉图固体是三维、凸形的规则固体。在形状、大小、角度和边缘方面,它们具有相同的多边形面,并且在每个顶点处都有相等数量的面。只有四面体,立方体,八面体,十二面体和二十面体满足这些要求。柏拉图固体的名称基于每个实体所构成的面数。

根据它们的对称性,我们可以创建出不同的柏拉图固体和球体的组合,具体来说就是外切球、内切球和中球。外切球 是具有半径的球体,它可以让创建的柏拉图实体恰好装在球体内部。相反的,内切球 中切球 恰好可以装在柏拉图固体内部。内切球面与柏拉图实体的每个面都相切,而中切球的各面与柏拉图固体的各边相切。上图中 最后一个图像显示了一个内切球的示例。

该图显示了柏拉图固体,四面体,立方体,八面体,十二面体和二十面体的完整集合。
柏拉图式固体的完整集合:四面体(左上),立方体(中),八面体(右上),十二面体(左下)和二十面体(右下)。

除了具有自然美观性,在科技中柏拉图固体还有许多有趣的用途。例如,四面体经常用于电子产品中,二十面体已被证明在地球物理建模中很有用,带有多面体的扬声器被用于向各个方向辐射声能。尽管在室内声学测量中,作为全向声源的十二面体似乎更可靠,但在某些情况下,四面体扬声器具有更好的辐射均匀性。

垂悬从地铁车站的屋顶的十二面体的图片。
瑞典斯德哥尔摩皇家理工学院附近的 Tekniska Högskolan 地铁站的屋顶上悬挂着的十二面体。图片由 ArildVågen 提供。经 CC BY-SA 4.0许可,获得授权

现在,让我们看看如何在 COMSOL Multiphysics® 软件中使用内切球体创建一个十二面体。

使用COMSOL 零件库中的内切球体创建一个十二面体

从 COMSOL Multiphysics® 5.5 版本开始,您可以根据相关的参数,在特定柏拉图固体的四个变体之间进行选择。

屏幕截图显示了在COMSOL多物理场中可以找到柏拉图固体的位置。
在零件库的 COMSOL Multiphysics 中找到柏拉图式固体。可供选择的部件可以提供变化的边长、半径、圆周半径或中半径。

向几何图形中添加半径部分变量将生成一个十二面体,其半径的默认表达式为 sqrt((25 + 11 * sqrt(5))/ 10)/ 2,以原点为中心。该表达式将自动给出的边长为 1m 。您可以在 “设置 ” 窗口中轻松更改输入参数、工作平面、位移和旋转、以创建自定义的十二面体。下图显示了十二面体的示例,其中半径设置为1 [m]。十二面体的边长是根据半径的表达式自动计算的。

屏幕截图显示了如何以及在何处更改十二面体的参数。
可以更改十二面体的半径、工作平面、位移和旋转。

现在,让我们在十二面体中构造一个球体。即一个内切球体。您可以适当地调整属性,以将球体放置在柏拉图固体的内部,并确保球体的半径和内半径相等。

屏幕截图显示了如何创建一个内切球体。
通过在几何图形中添加一个球体来创建内切球体。

了解更多:如何在 COMSOL Multiphysics® 中构建几何图形

无论是为仿真建立复杂的几何图形,还是为了教学目的研究柏拉图固体,这些内置零件及其功能都有很多可能性。COMSOL Multiphysics 中的零件库还包含其他可以简化仿真的有用零件,其中某些零件是特定于附加模块的。同时,我们也可以创建自己的零件并将其添加到用户定义的零件库中,如博客文章“ 在 COMSOLMultiphysics® 中使用几何零件和零件库”中 的示例。

请查看以下其他资源,以获取更多有关创建几何的信息:

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