几何的网格剖分:各类单元的适用场景

Walter Frei | 2013年 11月 4日

在之前的博客中,我们向您介绍了线性静态问题的网格剖分注意事项。这里的核心概念之一是网格收敛,随着网格的细化,解将变得更为精确。本篇博客中,我们将更加深入地探究对于线性静态有限元问题,如何选择一个合适的网格来进行网格收敛研究。

有哪些单元类型?

正如我们之前所见到的,目前有四种不同的三维单元类型:四面体、六面体、棱柱,以及金字塔形:

三维网格剖分单元类型;四面体、六面体、棱柱,以及金字塔形

您可以任意组合这四种单元来对任何三维模型进行网格剖分。(对于二维模型,您能选择三角形和四边形单元。因为它只是三维的一个逻辑子集,不需要太多额外的解释,所以我们这里将不会进行过多介绍。)我们之前未曾深入讲解过的是,为什么您希望使用这些不同的单元。

为什么以及何时使用各种单元

四面体单元是 COMSOL 中大部分物理场的缺省单元类型。四面体也称简化网格,简言之,它是指任何三维体都可以利用四面体进行网格剖分,而不论其形状或是拓扑如何。它们也是唯一一种可用于自适应网格细化的单元类型。因此,四面体通常是您的第一选择。

另外三种单元类型(六面体、棱柱和金字塔形)仅用于确实需要时。首先应注意的是,这些单元并非总能剖分具体几何。根据剖分算法,用户通常需要进行更多的输入来创建这类网格,因此您应该首先问一下自己是否需要这么操作,之后再进行操作。这里,我们将介绍使用六面体和棱柱单元的原因。金字塔形仅用于需要在六面体和四面体网格之间创建一个过渡区域时。

这里有必要给出一些历史背景。早在第一台电子计算机诞生之前,有限元方法背后的数学就已经得到了充分的发展。第一台运行有限元程序的计算机中充满了真空管和手工绕线的电路,虽然后续晶体管的发明带来了极大的改善,但即使在 25 年发明的超级计算机中,它的时钟速度也不过与今天的流行饰品(谷歌眼镜)相同。在我们求解的第一批有限元问题中,有一些来自结构力学领域,早期程序主要针对那些内存极小的计算机编写。因此,会使用一阶单元(通常有特定的积分方案)来节省内存与时钟周期。但在结构力学问题中,使用一阶四面体单元会带来严重的问题,而一阶六面体则可以给出精确的结果。作为这些较早期代码的遗留产物,现在,许多结构工程师更喜欢使用六面体而非四面体。事实上,在 COMSOL 中使用二阶四面体单元求解结构力学问题会得到精确的结果,与六面体单元的差别仅在于内存需求和求解时间。

在 COMSOL 中使用六面体和棱柱单元的主要原因是,它们可以极大地降低网格中的单元数。这些单元可能有极高的纵横比(最长边对最短边的比例),而用于创建四面体网格的算法则会尽量保持纵横比趋于统一。当您知道解在特定方向上会逐渐变化,或者您对这些区域中的精确解并不感兴趣,因为您知道感兴趣的结果在模型的其他位置时,使用具有高纵横比的六面体和棱柱单元将较为合理。

网格剖分示例 1:轮毂

考虑如下所示的轮毂示例。

轮毂的网格示例

左侧的网格仅由四面体构成,而右侧的网格则包括四面体(绿色)、六面体(蓝色)、棱柱(粉色)以及位于这些网格过渡区的金字塔形网格。在孔洞和拐角这些我们预期应力会更高的区域,混合网格使用了较小的四面体。六面体和棱柱用于辐条和轮毂附近。峰值应力不会出现在轮毂或辐条处(至少在静态载荷下),我们可以安全地假定这些区域中应力的变化相对较慢。四面体网格包含大约 145,000 个单元和大约 730,000 个自由度。混合网格包含接近 78,000 个单元和大约 414,000 个自由度,求解时间与内存使用均为原来的一半左右。混合网格确实需要大量的用户交互设定,而四面体网格则基本上不需要用户介入。

注意:自由度和求解问题所用内存之间并没有直接联系。这是因为不同单元类型的计算要求不同。二阶四面体中每个单元包括 10 个节点,而二阶六面体则是 27 个。这意味着使用六面体网格时,单个网格矩阵更大,对应的系统矩阵会更密集。求解所需的内存(和时间)依赖于要求解的自由度数、节点间的平均连通性,以及其他一些因素。

网格剖分示例 2:负载弹簧

下方显示了另一个示例,这次是对负载弹簧的结构分析。由于沿弹簧螺旋长度方向的变形相当统一,我们可以采用这样一个网格,它能描述整个形状和截面,且沿线材长度方向相对较延伸。棱柱网格包含 504 个单元和 9,526 个自由度,四面体网格则包含 3,652 个单元和 23,434 个自由度。因此,尽管单元数量相差很大,但自由度数差别不大。

负载弹簧网格示例

网格剖分示例 3:晶圆上的材料

使用六面体和棱柱单元的另外一个重要原因是,几何在一个方向上包含极薄的结构,例如晶圆上的一个外延材料层,冲压钣金件,或夹层式复合材料。

例如在下图中,基底上有一层很薄的材料图案。如果在该层中使用四面体网格,它将由非常小的单元构成,但如果使用棱柱网格,该区域将由很薄的单元构成。只要您的几何中包含比零件中最大尺寸小 10-3 倍或更小的层,就应使用六面体和棱柱网格。

晶圆示例上的材料

额外示例

还应指出,COMSOL 提供了多种边界条件来代替模拟薄层材料。例如,在以下四个电磁示例中,就考虑了带有相对较高和较低电导率,以及相对较高和较低磁导率的薄层材料。

大部分物理场接口中都包括类似边界条件。使用这类边界条件可以免去对这些薄层进行完全剖分的需求。

最后,上述评论仅适用于线性静态有限元问题。非线性静态问题、时域或频率现象中应使用不同的网格剖分技术。

结束语

总之,当您开始剖分线性静态问题时,应记住以下一些事项:

  • 如果可能,请使用四面体网格; 它们对用户交互的要求最低,并支持自适应网格细化
  • 如果您知道解在一个或多个方向上变化缓慢,则应在这些区域使用带有较高纵横比的六面体或棱柱网格
  • 如果几何包括薄层材料,应使用六面体或棱柱,或考虑使用边界条件来代替
  • 始终执行网格细化研究,并在细化网格时随时监控内存要求以及解的收敛

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