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问题描述

如何求解空间导数阶数大于 2 的偏微分方程?例如以下方程

对于函数

.

解决方法

您可以引入 u 的二阶导数的名称,如

此时方程可以写为

现在,您可以使用 COMSOL Multiphysics 对变量 uPQ 求解以下等效偏微分方程组:

该方程组也可以通过以下方程写成变量 uPQ 的一般形式偏微分方程: Px, Py + Qyf

ux,0 P

0,uy Q

对于边界条件,请考虑以下示例: 1. 在边界上给出 uuxxuyy。这可以通过对 uPQ 使用狄利克雷条件来实现。

  1. 在边界上给出 u 及其法向导数 du/dn。这意味着还可以计算 u 在切线方向的导数。因此,在边界上已知 uxuy 的表达式。这些边界条件可以通过对 u 使用狄利克雷条件以及对 PQ 使用诺伊曼条件来实现:

u,
,
,

其中

-nx

-ny

这里提供的示例模型基于 f = 1 和以下边界条件求解此方程组: 边界 1 和 2:u = 0,uxx = uyy = 0
边界 3:u = x,uxx = 0,uyy = -x
边界 4:u = sin(y),ux = sin(y),uy = cos(y)

通过引入 u 的特定导数的名称,我们可以用类似的方式来处理其他高于二阶的方程。使用尽可能高阶的拉格朗日单元,可以使 u 的高阶导数尽可能平滑。

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