材料属性均质化
在 COMSOL Multiphysics® 软件中，有多种功能可以实现材料属性均质化，包括使用不同的物理场接口、边界条件和均质化技术。这篇文章，我们将概述如何通过这些技术实现材料均质化。此外，我们还将重点介绍一款可以计算复合材料均质化属性的仿真 App，并推荐几个相关的案例模型。
背景
连续介质力学基于均质材料的概念，即材料的无限小体积单元具有与整体材料相同的材料特性。然而实际上，在某种尺度上，所有材料都是异质的。由单一组分构成的整体材料在整体和无限小体积单元层面之所以被认为是均质，是因为忽略了晶粒等层面的任何异质性。由两种或两种以上组分构成的材料（称为 复合材料）在微观层面上是异质的，为了对其进行宏观分析，需要将其视为一个有效或伪均质连续体。实验方法可用于确定复合材料的均质或有效属性，但这些方法耗时且成本高，因此需要寻找一种可靠且易于使用的替代方法。均质化方法是一种数学方法，可作为实验方法的替代方案。
均质化方法根据复合材料的微观结构来确定其有效或均质的材料属性。所谓均质化，是对材料微观结构与其宏观行为之间关系的研究，其范围不仅限于材料的微观结构，也适用于具有几何周期性的整体材料。对于波纹板或穿孔板（具有几何周期性），通过使用均质化方法确定其有效属性，可以将它们视为等效的平面正交各向异性板，从而使数值分析更加简单。
从基础理论公式的角度来看，均质化方法可分为两大类：
- 解析方法
- 数值方法
在结构力学领域，根据结构的几何形状，可以在不同的数学空间维度对结构进行分析。尽管固体、壳和梁的数值均质化模型基于相同的概念，但实际的分析却因施加的边界条件而不同。本文将分别探讨固体、壳和梁的均质化问题。
请注意，在文献中，均质材料属性也被称为 有效属性、等效属性 和平均属性。本文中，这些术语可互换使用。
解析方法
有多种解析模型可用于计算固体、液体或气体混合物的有效材料属性，即，所谓的 混合规则 接下来，我们将对其中一些模型进行说明。
模型 1：体积平均
这是包含各向同性成分混合物的基本模型，其有效属性是各组分性质按体积分数加权的算术平均值，
式中，
是相数，
是成分 
的体积分数，
是成分 的物质属性，
是有效属性。例如，通过这种平均法换算质量密度。与体积平均类似，各向同性组分混合物的其他解析模型还包括，质量平均、谐波体积平均、谐波质量平均、幂律，以及 Heaviside 函数。所有这些解析模型都可以在 材料 下的 多相材料 节点中找到（见下图）。
多相材料 节点的设置。
多相材料可用于具有不同体积分数的多相体系，包括固体、液体或气体混合物。但是，如果我们重点关注固体混合物（即复合材料）的解析模型，则可使用以下混合规则。
模型 2：Voigt–Reuss
大多数复合材料的材料属性与方向有关，因此解析模型必须包含方向。Voigt–Reuss 模型 就是这类模型的一个典型，当各向同性的连续纤维嵌入各向同性的基体中时，就非常适合采用这种方法。下图显示了两种单向纤维复合材料。
方形堆积（左）和六边形堆积（右）的单向纤维复合材料。
杨氏模量、泊松比和剪切模量分别为：
| 材料属性 | 分量 | 有效属性 |
|---|---|---|
杨氏模量， |
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| 杨氏模量， |
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| 杨氏模量， |
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剪切模量， |
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| 剪切模量， |
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| 剪切模量， |
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泊松比， |
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| 泊松比， |
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| 泊松比， |
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 |
这些表达式允许有两个以上的相，对于 n = 2 的普通纤维复合材料来说，一个相是纤维材料，另一个相是基质，其中的纤维在局部 1 方向上排列。.
与 Voigt-Reuss 模型 类似，还有 修正 Voigt-Reuss、Chamis、Halpin–Tsai、Halpin–Tsi-Nielsen 和 Hashin–Rosen 模型（如下图所示）等，都适用于各向同性复合材料。
有效材料 节点的设置。
有效材料与多相材料类似，但除了基本模型外，还具有复合材料特有的解析模型，这些模型大多适用于由两种组分组成的复合材料，满足大多数现实中材料的需求。
数值方法
有多种不同的数值方法可用于复合材料均质化。例如：
- 有限元均质化
- 有限差分均质化
- 边界元均质化
- Eshelby 均质化
- 平均场均质化
本文重点讨论有限元均质化，使用异质材料的代表性体积单元（RVE）或重复基本单元（RUC），并应用适当的边界条件或牵引力来获得有效的材料属性。本文介绍的范围仅限于线性本构关系以及几何线性假设。在某些情况下，有可能将均质化技术扩展到非线性情况，但这比较复杂。有限元均质化的基本原理在所有空间维度或所有结构单元中都是相同的。文中的讨论分为三个不同的部分：固体均质化、壳均质化和梁均质化。
固体均质化
固体均质化要求对 RVE 或 RUC 施加适当的边界条件或牵引力。在介绍详细的数学公式之前，必须先讨论 RVE 和 RUC 之间的区别，因为尽管它们的基本原理不同，但人们可能会误认为这是两个相同的概念。RVE 是一种子体积单元，能在适当的尺度上表征具有统计意义上均质微结构的异质材料。为了利用 RVE 获得有效的材料属性，需要应用均匀位移或牵引边界条件。而 RUC 或 基本单元 是表征周期性异质材料的材料子体积单元，是一种材料子体积单元，可在所有空间方向上重复出现，以创建整体材料，因此需要周期性的边界条件来获得有效的材料属性。简单来说，RVE 是一种自上而下的方法，其边界条件应用于材料子体积单元，就像应用于实际的均质材料一样。RUC 是一种从下到上的方法，因为材料的每个子体积单元都相同，而且材料的性质确实具有周期性。后者仅适用于具有真正周期性微结构的材料，而前者可用于周期性或非周期性微结构。然而，对于周期性材料，通过 RVE 方法得出的均质材料属性的准确性取决于材料子体积单元的大小，详见参考文献 1 和 2。下图描述了 RVE 和 RUC 的概念。
两张并列放置的微观组织结构图，左侧微观结构采用 RVE（左下角）表征，右侧微观结构采用 RUC（右下角）表征。
分别由 RVE（左）和 RUC（右）表征的微观异质微结构。
在 COMSOL Multiphysics® 中，提供了一些常见的 RVE 或 RUC 参数化几何零件，您可以在零件库中找到多种此类几何体。
零件库窗口。
零件库 窗口，其中基本单元和 RVE 包含的几何零件被展开。
周期性边界条件
均质或周期性条件始终应用于成对的边界，其中一组边界为源边界，另一组为目标边界。周期性边界条件写作
,
式中，
和 
是目标和源边界上相应点的位移矢量，
是宏观（或平均）应变，
是源和目标之间的位置矢量。此外，相邻 RUC 之间的牵引力必须连续，即：
.
对于基于位移的有限元方法来说，牵引力连续性已隐性满足，因此周期性边界条件只需执行位移约束即可。
固体力学 接口中的 单元周期性 功能可用于计算均质弹性、热膨胀系数和吸湿膨胀系数等张量。 边界对 子节点用于选择源边界对和目标边界，其中提供一个操作按钮，用于自动设置模型和创建具有均质材料属性的材料节点。这项特征不仅限于计算均质属性，在提供宏观应力或应变的情况下，还可用于细观力学分析。
已勾选单元周期性功能并完成对应参数设置的模型开发器窗口。
单元周期性功能。
使用周期性边界条件作为计算均质化弹性属性的经典方法已被广泛认知。然而，其应用范围远超出弹性力学领域，还可用于计算均质化传热、吸湿、弹塑性、黏弹性、压电，甚至电特性。
均质弹性属性
均质或准均质材料的弹性本构定律可写作
式中，
是均质化弹性张量。为了利用周期性边界条件找到均质化弹性张量的分量，需要六种载荷工况，每种工况各指定一个应变分量，而其他分量均为零。下面以单向纤维复合材料为例，说明这六种基本载荷工况。
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|---|---|---|
载荷工况 1:  |
载荷工况 2:  |
载荷工况 3:  |
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载荷工况 4:  |
载荷工况 5:  |
载荷工况 6:  |
各单位应变工况下的等效应力分布。
单向纤维复合材料的均质化材料属性数值计算结果可与 有效材料 节点中的分析模型结果进行比较，详见 纤维复合材料的细观力学模型 教程案例（分析结果如下所示）。
A graph showing the longitudinal Young's modulus versus the fiber volume fraction for different methods.
A graph showing the transverse Young's modulus versus the fiber volume fraction for different methods.
A graph showing the in-plane shear modulus versus the fiber volume fraction for different methods.
使用解析和数值方法计算的有效杨氏模量和剪切模量与纤维分数的函数关系。
数值模型和解析模型的纵向杨氏模量非常接近，但随着纤维体积分数的增加，横向杨氏模量的差异越来越大。在这些解析模型中，Halpin–Tsai–Nielsen 模型 的结果与数值结果最为吻合。对于面内均质剪切模量，修正 Voigt–Reuss model、Halpin–Tsai 和 Hashin–Rosen 等模型 的结果都很准确，而对于中小体积分数，Halpin–Tsai-Nielsen 模型 也给出了与数值结果吻合的结果。因此，在所有情况下，Halpin–Tsai–Nielsen 模型 都能为中小纤维体积分数的复合材料提供准确的结果。必须承认，解析模型通常基于某些假设，不一定能反映实际的情况，但尽管如此，它们仍可作为与数值结果比较的宝贵参考。
此处所示的单向纤维复合材料均质化方法可直接应用于其他具有复杂几何形状的基本单元。以基于三重周期最小曲面（螺旋 TPMS）的复合材料为例，基体中的增强体具有复杂的几何形状，尽管所有组分的泊松比都是正值，但这种结构的材料却有可能具有负泊松比。 基于三周期最小曲面复合材料的细观力学模型 示例显示了负泊松比和 TPMS 材料体积分数对复合材料均质化弹性和热属性的影响。
螺旋 TPMS 的基本单元。
A graph showing the homogenized Young's modulus versus the TPMS volume fraction.f
A graph showing the homogenized shear modulus versus the TPMS volume fraction.
数值方法计算出的有效杨氏模量和剪切模量。
均质热膨胀或吸湿膨胀属性
单元周期性 特征的周期性边界条件也可用于计算有效的热膨胀系数或吸湿膨胀系数。纤维复合材料细观力学模型 教程案例展示了通过解析和数值方法计算有效热膨胀系数的过程。在一定的体积分数范围内，纵向的计算值与解析模型预测的有效属性相吻合，但在横向上则出现了很大差异。
A graph showing the longitudinal coefficient of thermal expansion versus the fiber volume fraction.
The transverse coefficient of thermal expansion versus the fiber volume fraction.
使用解析和数值方法计算的有效热膨胀系数。
具有温度相关属性的复合材料的细观力学模型 教程案例展示了有效热属性随温度变化的计算。在许多实际应用中，构成材料的属性取决于工作温度，而后者又会影响复合材料的有效属性。同样，数值方法和解析方法在纵向上具有良好的匹配性，但在横向上的预测结果却有所不同。
A graph showing the effective longitudinal coefficient of thermal expansion.
A graph showing the effective transverse coefficient of thermal expansion.
用解析和数值方法计算的有效热膨胀系数与温度的关系。
均质黏弹性属性
尽管纤维复合材料最常用，但其他类型的复合材料（如颗粒复合材料）也用于不同的技术领域，例如，颗粒复合材料的一个重要应用是减震和抗震结构。对于大多数颗粒复合材料来说，颗粒和基体材料都是各向同性的，但是基体中颗粒分布和定位却可能产生各向异性的有效材料属性。
在 颗粒复合材料的细观力学模型 中，我们研究了黏弹性基体中嵌入弹性颗粒的情况，使用 单元周期性 特征与优化模块中的方法一起计算有效黏弹性属性。
颗粒复合材料的基本单元。
在初步研究中，确定了长期有效弹性属性。然后，向复合材料微结构（RUC）施加瞬态剪切和法向载荷，得出复合材料的黏弹性响应。通过曲线拟合优化，利用这种黏弹响应确定均质材料的有效黏弹性属性。最后，通过比较异质和均质材料的瞬态响应来验证结果。
A graph showing the global average shear stress.
A graph showing the average normal stress.
异质和均质细观结构分别对剪切和法向载荷的瞬态响应。
均质压电属性
技术的进步要求开发由压电材料制成的智能复合材料，此类材料可用于传感器、致动器和换能器等。为了确定此类结构的响应，需要一套完整的均质化压电本构属性，可以将周期性边界条件扩展用于计算有效压电特性。压电材料的本构定律需要弹性或柔度矩阵、耦合矩阵和相对介电常数等，为此需要在原有的六个应变载荷工况下增加三个包含电势的额外载荷工况。位移周期性边界条件是 固体力学 接口中 单元周期性 功能的一部分，而电势周期性边界条件可使用静电接口中的 逐点约束 功能添加。由于问题涉及两个不同场之间的耦合，因此使用了内置的 压电，固体 多物理场接口，详见 压电纤维复合材料的细观力学模型 教程案例。
纤维复合材料的基本单元。其中，纤维由 PZT-7A 材料制成，基体为钛酸钡。
均质热属性
固体传热 接口中的 周期性条件 功能可用于计算均质热容和热导率属性。周期性微结构的均质材料属性 仿真 App 展示了如何计算不同基本单元的有效热属性。
均质 App
使用 COMSOL Multiphysics® 中的 App 开发器 开发的仿真应用程序（App）是功能强大且易于使用的仿真工具，真正实现了仿真过程的普及。此类应用程序对于均质化非常重要，因为对于均质化操作，工程师感兴趣的是直接均质化材料属性，而不是底层的复杂模型设置。此类 App 的用户界面比底层模型简单得多，且使用 App 计算由不同材料和微结构组成的均质材料属性非常容易。
用户可以通过选择不同的微结构、组成材料和增强相体积分数来改变复合材料的均质材料属性，进行多种可能的测试组合。对于这种情况，基于不同物理场接口中周期性边界条件开发的均质 App 既灵活又准确。使用 COMSOL Multiphysics® 中的 App 开发器开发的 周期性微结构的均质材料属性 App，可用于计算不同基本单元的有效属性，其中提供了 10 个内置基本单元，可选择计算有效密度、弹性张量、热膨胀系数、热容和热导率。计算得到的有效材料属性可以直接显示在用户界面，也可以导出为材料文件，随后导入到其他模型中。
The UI of the Homogenized Material Properties of Periodic Microstructure app showing the model in the Graphics window as well as the Results window.
均质 App 的用户界面显示了计算的双向平纹纤维复合材料的均质化材料属性。
到目前为止，我们已经讨论了在 RUC 上使用周期性边界条件进行固体的均质化问题。但如果材料的微观结构不具有周期性（例如，基体中的颗粒随机分布），会发生什么情况呢？对于此类材料，必须将材料子体积单元作为 RVE 进行分析，并应用均质边界条件估算均质材料属性。固体力学 接口中的 单元周期性 特征提供了应用均质边界条件的可能性，将在下一节讨论。
均质边界条件
均质边界条件可写成
.
同样，均质牵引条件也可写成
,
其中，
是牵引力，
是宏观应力，
是材料法线。
均质边界条件适用于 RVE 子体积单元，而周期边界条件适用于 RUC 子体积单元。那么，如何在RVE 和 RUC 之间选择呢？当材料的微观结构确实具有周期性时，周期性边界条件将给出最精确的结果。如果将均质边界条件应用于周期性结构，当基本单元数量增加时，其产生的表观材料特性将逐渐接近使用周期性边界条件得到的有效材料属性。收敛是自下而上还是自上而下，取决于使用的是位移还是牵引边界条件（参考文献 2）。如果一种组分随机分布在另一种组分中，那么微观结构就不具备周期性，此时应使用均质边界条件。在使用均质边界条件时，必须牢记 RVE 的大小会影响有效属性，如果 RVE 在位移边界条件和牵引力边界条件下能得出相同的结果，则可以认为 RVE 的大小已经足够。
为了说明边界条件对有效属性的影响，我们使用了参考文献 2 中的一个例子，其中的目标是在使用不同大小的体积单元时，找出具有均质和周期性边界条件的单向纤维复合材料的有效属性。在此，我们没有将体积单元称为 RVE 或 RUC ，因为根据所使用的边界条件，二者都是有效的术语。不同大小的子体积单元如下图所示。
包含均质和周期边界条件的微观力学分析示例可在 案例库 中找到。
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|---|---|---|---|---|
| 1 个基本单元 | 3 x 3 个基本单元 | 5 x 5 个基本单元 | 8 x 8 个基本单元 | 10 x 10 个基本单元 |
具有不同基本单元的材料子体积单元。
改变材料子体积单元的基本单元数量不会影响使用周期性边界条件计算的有效属性，但是会影响使用均质边界条件计算的有效属性。计算结果如下。
A graph plotting the nondimensional Young's modulus and a number of unit cells.
A graph plotting the Poisson's ratio and a number of unit cells.
A graph plotting the nondimensional shear modulus and number of unit cells.
在均质和周期边界条件下，使用不同基本单元数量的材料子体积单元计算的有效材料属性。
正如预期的那样，当单元数增加时，在均质位移和牵引边界条件下，异质体积单元的表观杨氏模量和剪切模量从上到下分别接近周期边界条件下的有效模量，而泊松比的趋势则相反。
总之，当材料的微观结构确实具有周期性时，可以使用周期性边界条件，而当微观结构不是周期性而是组分的随机分布时，可以使用均质边界条件。
壳均质化
在有限元分析中，面内尺寸大于厚度的薄结构可使用 COMSOL Multiphysics® 中的 壳 接口中相应的 壳单元 处理。
对于线性弹性材料，关于中面对称的壳，其截面力和应变之间的关系可写成
,
其中，
, 
, 
为面内力、面内力矩和面外剪力合力。
, 
, 
是应变张量的薄膜、弯曲与剪切等分量。.
, 
, 
是拉伸、剪切和弯曲刚度矩阵。
是剪切修正系数。
刚度矩阵由厚度上的弹性张量积分得出，这也是介观尺度（微观和宏观的中间尺度）上的一种均质化。利用 壳 接口，可将多层复合板视为等效的单层板。
另一种针对薄结构的均质化是将波纹板或穿孔板材视为等效的正交板材。在这种情况下，材料虽然单一，但几何形状存在周期性。对波纹板施加周期性边界条件，可得到等效刚度矩阵，后者可直接用于 壳 接口中的 截面刚度 材料模型，并使用简化的平面几何体。请注意，在 壳 接口中没有类似于 单元周期性 的特征，因此需要使用 指定位移 节点来施加周期性边界条件。等效正交各向同性板的本构关系式为
,
其中，带横线的量为等效（或宏观 ，或平均）量。
要找到这些有效刚度矩阵，需要八种载荷工况，在每种载荷工况下，除了一个应变分量为1外，其余应变分量均为零。参考文献 3-5 中作者针对不同的波纹板提出了不同刚度分量的解析公式。通常仅使用壳理论无法模拟获得有效横向剪切刚度的载荷工况，必须使用 固体力学 接口。在 波纹板的均质模型 示例中，对梯形和圆形波纹板的等效 A 和 D 刚度矩阵进行了数值计算，并将计算结果与解析公式进行了比较。在 COMSOL Multiphysics 文件夹下的 RVEs 和 基本单元 文件夹中提供了不同波纹的基本单元几何零件。
梯形波纹的基本单元。
对于梯形波纹示例，与面内膜应变相对应的三种载荷工况和与弯曲应力相对应的三种载荷工况如下所示。
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|---|---|---|
荷载工况 1： |
荷载工况 2： |
荷载工况 3： |
 |
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荷载工况 4： |
荷载工况 5： |
荷载工况 6： |
有效刚度分量的数值计算基于反作用力和能量等效，两种方法计算出的数值基本相同。下表给出了梯形波纹的刚度分量解析值和数值计算结果。
| 刚度分量 | 参考文献 3 | 数值：基于反作用力 |
|---|---|---|
 |
3.92 | 3.92 |
 |
1.17 | 1.17 |
 |
161 | 161 |
 |
42.4 | 42.4 |
 |
407.6 | 407.9 |
 |
122.3 | 120.8 |
 |
17809 | 16237 |
 |
208.0 | 180.6 |
需要注意的是，某些刚度系数的解析值是基于现实中并不完全符合的假设，因此应将数值结果视为更准确的值。
在同一示例中，还计算了圆形波纹板的等效刚度矩阵，并与参考文献 3 中的解析值进行了比较。示例中提出的边界条件可以直接扩展到多层波纹板或平面穿孔板。
梁均质化
可以使用 梁单元 分析的一个维度比其他两个维度大得多的结构。在 COMSOL Multiphysics®中，梁 接口可用于实现此目标。本节，我们仅讨论 Euler–Bernoulli 梁。利用线性弹性本构关系，梁的截面力-应变关系可写作
其中，下标 1 表示轴向，下标 2 和 3 是梁的局部横向。
是参考线的伸长量，
是弹性扭转，
和 
是弹性弯曲曲率。
是截面上的轴力，
是截面上的扭矩，
和 
是弯矩。
梁 接口没有对结构横截面进行显式建模，这意味着如果横截面由多种材料构成（例如复合梁），除非使用均质化方法获得等效刚度，否则无法对其进行模拟。这种等效刚度可用于 梁 接口中的 截面刚度 材料模型。均质梁的本构关系式为
其中，带横线的量为等效（宏观或平均）量。
真正的多材料梁无法在 梁 接口中表示，因此需要使用 固体力学 接口对梁属性进行均质化。 刚性连接 功能的指定位移功能用于在变形过程中保持梁的横截面平面，这是 Euler–Bernoulli 理论的基本 假设。要获得等效刚度矩阵的所有分量，需要四种载荷工况，第一种是轴向拉伸，其余三种是扭转和弯曲载荷工况。
有关实施细节，请参考 复合梁的均质化 模型。在这个示例中，考虑的是由两种不同材料制成的圆形梁，均质化后得到的有效刚度可用于 梁 接口中的 截面 刚度材料模型。
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|---|---|---|---|
载荷工况 1： |
载荷工况 2： |
载荷工况 3： |
载荷工况 4： |
复合梁刚度分量的数值如下表所示。
| 刚度分量 | 数值 |
|---|---|
 |
337.96 |
 |
45.258 |
 |
60.112 |
 |
60.112 |
请注意，对于这种简单的横梁，不同类型的作用力之间不存在耦合。一般来说，实际情况并非如此。
获得有效刚度矩阵后，下一步是通过比较在 梁 接口建立的均质梁和使用 固体力学 接口建立的相应异质梁模型来验证。三个点力和三个点力矩用于评估六种不同载荷工况下的响应，然后将 梁 接口得到的结果与 固体力学 接口得到的结果进行比较。在所有荷载工况下，均质梁（使用 Beam 接口）和异质梁（使用 固体力学 接口）的端部位移如下所示。
| 梁端部位移/旋转 | 载荷工况 1  |
载荷工况 2  |
载荷工况 3  |
载荷工况 4  |
载荷工况 5  |
载荷工况 6  |
|---|---|---|---|---|---|---|
 |
2.958 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
 |
0 | 55.45 | 0 | 0 | 0 | 8.317 |
 |
0 | 0 | 55.45 | 0 | -8.317 | 0 |
 |
0 | 0 | 0 | 2.209 10-5 |
0 | 0 |
 |
0 | 0 | -8.31710-5 |
0 | 1.663610-5 |
0 |
 |
0 | 8.31710-5 |
0 | 0 | 0 | 1.663610-5 |
均质 梁 接口中的端部位移和旋转。
| 端部位移/旋转 | 载荷工况 1 |
载荷工况 |
载荷工况 3 |
载荷工况 4 |
载荷工况 5 |
载荷工况 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
|
3.032 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
0 | 56.36 | 0 | 0 | 0 | 8.458 |
|
0 | 0 | 56.36 | 0 | -8.458 | 0 |
|
0 | 0 | 0 | 2.20910-5 |
0 | 0 |
|
0 | 0 | -8.45810-5 |
0 | 1.695010-5 |
0 |
|
0 | 8.45810-5 |
0 | 0 | 0 | 1.695010-5 |
固体力学 接口中的平均端部位移和旋转。
从这两张表格可以看出，梁 和 固体力学 接口的模拟结果非常吻合，这表明复合梁所采用的均质化方法是正确的。
对于梁均质化，有一些重要事项必须注意：
- 如果剪力中心的位置与几何中心不同，则必须在 截面刚度 材料模型中加以考虑。在施加荷载时也需要考虑这一点。
- 如果复合梁的剪切中心位置与几何中心不同，那么扭转和弯曲之间就会产生耦合。
本文示例中，横截面为圆形的梁由两种不同的材料制成，并呈轴对称分布。剪切中心与几何中心相同，因此避免了这些复杂的问题。
结语
均质化是一种功能强大的技术，可以在全局范围内将异质材料或结构视为均质材料或结构，从而在不牺牲精度的前提下进行可行的分析。随着技术的进步，复合材料和结构越来越受欢迎，均质化方法的结构化应用将简化复杂的材料系统，并在全局尺度加快仿真速度，促进创新。
参考文献
- J. Aboudi, S.M. Arnold, B.A. Bednarcyk, Micromechanics of Composite Materials: A Generalized Multiscale Analysis Approach, Elsevier, First Edition, 2013.
- A. Drago and M.J. Pindera, "Micro-macromechanical analysis of heterogeneous materials: Macroscopically homogeneous vs. periodic microstructures," Composites Science and Technology, vol. 67, no. 6, pp. 1243–1263, 2007.
- K.J. Park, K. Jung, and Y.W. Kim, "Evaluation of homogenized effective properties for corrugated composite panels," Composite Structures, vol. 140, pp. 644–654, 2016.
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