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电磁场中导体的几何建模和网格划分

这篇文章提供了针对稳态、任意时变或正弦变化电磁场中的导体进行网格划分和几何建模的指导。上述条件要求模型考虑导体横截面上的电流分布，以准确模拟场和损耗。磁场的既可以由外部磁场源产生，也可以由流经导体中的电流产生。

背景知识：集肤效应

只要有损材料处于时变电磁场中，就会产生感应电流，这些电流会抵消材料内部流动的任何电流。对于暴露在角频率为 的正弦变化信号中，电导率为 、相对介电常数为 和相对磁导率为 的材料，集肤深度的定义如下:

这表示进入体积的距离，与表面的电流相比下降了 。对于金属，可以使用更简单的表达式:

相较于导体尺寸，集肤深度较大、相近、或较小，不同的情况都需要一套不同的网格划分和几何建模方法，这些是通过计算导体内部的损耗来实现的。损耗与电流的平方成正比 , 因此需要监测损耗与网格细化的收敛关系。

测试模型

我们将以一个圆角方形铜导线回路为例进行网格划分和建模研究。铜导线的半径为 1 mm，方形回路的宽度为 4 mm，弯曲处的圆角半径为 2 mm。该回路位于一个长的多匝螺线管的中心，螺线管由假定完全平行的导线组成，因此假定电流只在方位角方向流动。

位于长螺线管内的圆角方形铜导线回路。

我们可以利用对称性将模型简化为环路的 45^° 截面，并沿其平面进行镜像。使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 磁绝缘 边界条件对两侧施加对称性。在底部和顶部边界上应用 理想磁导体 边界条件，表示导线回路沿轴向延伸形成无限阵列。可以将螺线管模拟为沿方位角方向流动的表面电流，螺线管外部的空间无需模拟。

模拟域的可视化。对 磁绝缘 边界条件（横线）和 理想磁导体 （顶部和底部，透明）施加对称性条件。 表面电流密度 条件在方位角方向上产生正弦变化的电流（红色箭头），并将电流引入铜导线回路。

图中用导线的单元大小显示网格，这样整个周长有 32 个单元（大约一半有 16 个单元），周围空间的单元大小等于导线半径。

导线内的单元大小根据导线的周长 (2pir) 选择，从周长的八分之一单元大小开始，然后以周长的 1/16 和 1/32 大小重新运行模型，最精细的网格如下图所示。

在 60 Hz-60 MHz 频率范围内求解该模型，对应的集肤深度为 8.4 mm-8.4 µm，即约从半径的 10 倍到半径的 1/100。模型采用全局最大单元尺寸为 1 mm 的网格进行划分，并在导线内采用不同的网格和几何建模策略。

低频范围

在这种情况下，只需要充分细化网格，即可获得良好的几何分辨率。为了演示，我们根据导线的周长来选择导线内的单元大小，首先选择周长的八分之一单元大小，然后以周长的 1/16 和 1/32 大小重新运行模型，最精细的网格如下图所示。

网格的可视化，导线中的单元大小分别为其周长的 1/8 和 1/32。周围空间的单元大小要大得多。

对网格的这类修改是通过使用用户自定义的网格并设置 大小 功能来完成的。

下图显示了 60 Hz-60 MHz 频率范围内的损耗。图中的横轴表示导线的半径与材料集肤深度的比值。相较于频率，使用与集肤深度相关的归一化特征维度来讨论这些结果更为常见。当导线半径远小于集肤深度时，所有网格的解几乎相同。一旦集肤深度开始小于半径，网格之间就会出现偏差。当集肤深度为半径的十分之一时，不同网格之间的损耗相差约 20%，并且随着频率升高（集肤深度减小）偏差会进一步增大。

损耗（任意单位）与频率的关系曲线，按集肤深度和导线半径进行归一化处理。在较宽的频率范围内观察到了良好的一致性，但频率越高，结果相差越大，精确度也越低。

对一阶和三阶离散、线性和二次单元重新绘制这幅图，曲线呈现出非常相似的结果，直至集肤深度等于半径。在较高频率下，我们可以看到线性单元确实会导致略微不同的结果，导体应采用更精细的网格划分。

使用不同网格大小和单元阶数计算的损耗对比。高阶单元更加精确。

由这些曲线图可以得出低频范围的定义：网格需要足够精细以解析几何图形。 对于几何形状的网格划分，一个经验法则是，在使用二次离散或更高离散度时，90^° 弧线至少需要使用两个单元进行网格划分，而在使用线性离散时，则需要使用四个以上的单元进行网格划分。或者：如果使用二次或三次离散，圆导线的周长应至少用 8 个单元网格划分，如果使用线性离散，则应使用 16 个以上的单元网格划分。

一般建议使用默认的二次离散，更高的离散阶次会占用更多内存，而精度却提高很小的。线性离散主要用于求解包含材料非线性的模型，如非线性 B-H 曲线。本文其余部分将重点讨论二次离散的使用。

中频范围

作为第一步，我们可以关注频率范围内的一点，即导线半径比集肤深度大约十倍的频率上，并通过进一步细化网格来研究损耗。网格大小不是根据几何尺寸来定义的，而是根据集肤深度的倍数来定义的。下图显示了网格细化时的损耗，与细化程度最高时的损耗进行了归一化处理。该图显示了预期的收敛行为。随着网格的细化，在该频率下会得到更精确的解。同样可以合理推断，单元大小等于或小于集肤深度，就能准确计算损耗。

单个频率下的网格收敛研究，其中导线半径为集肤深度的 10 倍。当单元大小减小到集肤深度以下时，导线上的损耗积分变化很小。

一般来说，如此精细的网格是不切实际的。下图显示了导线内部损耗的分布情况，不出所料，这些损耗非常接近表面。导线内部的精细网格在精度方面并无太大益处，反而大大增加了计算成本。

集肤深度为半径的十分之一的频率下，导线内部损耗的分布情况。

因此，最好能找到一种网格策略，对边界法线方向上损耗的显著变化提供良好的分辨率，这可以通过 边界层网格 功能实现。如下图所示，此功能在边界法线上引入了几个薄层单元。第一层的厚度可以选择与最高频率下的集肤深度相等，随后每一层的厚度可以是前一层的 1.5-2.5 倍，直到边界层单元的总厚度约为半径的十分之一。

边界层网格使导体边界的切向场和法向场都具有良好的分辨率。

高频范围

一旦导体的横截面尺寸明显大于集肤深度，就没有必要对导体的内部体积进行建模了。在此范围内，体积内的电流和损耗非常接近表面，内部被很好地屏蔽。通过忽略模型中导体的内部体积，并在线圈外表面使用 阻抗边界条件，可以很好地近似这一范围。该功能仅适用于频域模型，可计算由于域内材料的导电性而在域表面产生的电流和损耗。

使用 阻抗边界条件 计算表面损耗时，假设集肤深度比导体横截面尺寸要小得多。

在此范围内，网格只需从几何和整个表面的电流变化角度准确解析导体表面即可。与低频范围类似，损耗也是根据导线回路周边的单元数量进行研究的。下图中的结果表明，这根圆导线的周长仅有 8 个单元网格，或每 90^° 弧有 2 个单元网格都非常精确。这些结果是在频率为 60 MHz 时产生的，此时集肤深度比导线半径小 100 倍。

使用 阻抗边界条件 时的网格收敛研究。

结合中频和高频范围

通过修改模型几何结构创建中频和高频范围的建模技术的混合方法可能会有所帮助。这通过将导体划分为两个域来实现：一个是材料边界处的薄层，另一个是该薄层内部未建模的区域，如下图所示。然后，可在这些域之间的边界处应用 阻抗边界条件。这种混合方法通过忽略导体的内部区域来降低计算成本，同时对主要沿边界切线方向流动的电流实现了高精度模拟。

将导体划分为两个域，一个是求解场的外层，另一个是不求解场的内层。 阻抗边界条件 适用于这些域之间的边界。

这种混合方法需要根据工作频率来选择层厚度，仅适用于单频或窄带频率的求解。可以通过使用不同厚度的多层来扩展这种方法，从而模拟更宽的频带。还可以对各层内部的体积进行建模。第一层的厚度应等于相关频率范围内的最小集肤深度，厚度的增长系数应在 1.5-3 之间，层数的调整应使各层的总厚度为导体特性尺寸的十分之一。下图是这种网格的示例，请注意，该示例模拟了导体的所有域。

在导体外侧分割若干层，以求解宽频带内的损耗问题。对导体的整个体积进行建模。

方法比较

宽频带方法引入了更多的层，可用于建立一个高度完善的模型，作为比较其他方法的基准。比较结果如下，可以得出几个结论:

• 如果集肤深度与横截面尺寸（在本例中为半径）相当，那么使用精确解析几何的四面体网格的低频方法就足够了。
• 在集肤深度接近半径的 1/100 之前，采用边界层网格划分是合适的。
• 如果在单一频率下求解，混合方法可以非常高效。
• 如果集肤深度与半径相比非常小（小于 100 倍），那么不模拟导体部分，而是使用阻抗边界条件也是合适的。

在宽频率范围内对各种方法进行比较。所有解都与高度精细网格计算出的解进行了归一化处理。

附带文件中演示的各种网格划分技术旨在提供导体网格划分策略的概述，这些导体具有光滑的边，没有尖角。从本质上将，网格大小需要求解集肤深度问题。如果集肤深度小于横截面，那么边界层网格划分和几何分割就是计算效率较高的方法。如果集肤深度比横截面小一百多倍，那么使用阻抗边界条件就是一种很好的建模方法。

瞬态和直流仿真

在求解涉及时间变化的问题时，充分理解所施加信号的频率组成至关重要。这可以通过使用傅里叶变换功能来实现，具体内容请参阅文章：理解周期信号及其频率组成。一旦频率组成确定，应采用宽频建模方法或边界层网格划分方法。当关注的最小集肤深度远小于单元大小时，宽频模型更优。若求解的瞬态模型中激励为单频，则混合方法可发挥作用。阻抗边界条件 不适用于时域建模，可改用 磁绝缘 边界条件，该条件假设存在一个理想导电域，所有电流均流经表面。

在解决无时间变化的直流问题时，网格划分策略与低频情况相同。由于不存在集肤效应，因此只要网格能准确表示几何形状，导体内的解通常都能准确计算出来。