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如何对参数扫描中的特征模态进行跟踪和分类

在结合参数扫描进行特征频率分析时，模态解不一定总是按模态族排序。当线性系统中存在模态交叉或简并时，这种情况尤为明显。这篇文章，您将学习如何使用 COMSOL Multiphysics^® 对特征模态进行跟踪和分类。该操作既可以通过“模态跟踪”功能自动完成（该功能可提供更精准、更稳定的处理方案），也可以通过定义模态重叠积分手动实现。

注： COMSOL Multiphysics 6.4 及以上版本支持 模态跟踪 功能。

一个简单的例子

先来看一个相对简单的例子：一个外部边界固定的椭圆形域上的二维波动方程（位移 ）。沿着椭圆高度方向扫描，同时求解前五个特征模态。椭圆的宽度固定为 ，高度 在 8 cm 和 12 cm 之间变化。在此参数范围的中间 , 模拟域是一个完美的圆，对称性导致某些特征模态相互简并。前五个模态的位移大小如下。

沿椭圆高度方向扫描时的前五个特征模态。

请注意，在 处，当固有频率与椭圆高度相对应时，会出现模态交叉。

二维波动方程的特征频率与椭圆域高度的关系图。注意 b = 10 cm 处的模态交叉。

仔细观察后，我们发现模态 2 和模态 3 在交叉后混在一起了。出现这种情况是因为特征值是根据其在解数据集中的顺序着色的。我们既可以通过自动化方法（更推荐此方法）解决该问题，也可以采用更偏向手动的自定义实现方式来处理。

自动化方法：模态跟踪

我们可以使用软件内置的“模态跟踪”功能，通过自动化方法获得正确的模态分析结果。您可以在软件中打开 此处 提供的初始模型文件，跟着操作步骤同步进行操作。

第一步需要导航至模型中的 特征频率 研究步骤。选中模型树中对应研究的节点后，在设置 窗口中展开 过滤和筛选 栏，勾选 模态跟踪 复选框，这将会在参数扫描过程中，随着特征模态的动态演变自动完成模态的身份跟踪。

_ 特征频率 研究的 设置 窗口，其中 模态跟踪 复选框已是勾选状态。

现在，重新运行研究。待模型完成该研究的全部求解计算后，绘图结果会自动更新为经过跟踪后的模态结果。

二维波动方程的特征频率随椭圆域高度的关系曲线图。即使在 b = 10 cm 处出现模态交叉，各阶模态仍保持了连续的身份跟踪连贯性。

您可以通过 此处 下载并打开已完成的模型文件（其中采用的是基于模态重叠积分的手动处理方法），将启用模态跟踪功能后得到的更新绘图结果，与未启用模态跟踪功能的原始绘图结果进行对比。您会发现，已完成的模型文件中带模态跟踪的绘图结果，与您刚刚自行生成的绘图结果完全一致。

手动方法：模态重叠积分

为了解决这个问题，我们可以使用模态重叠积分来对模态解进行分类：

上式的定义最为宽泛， 和 代表两个任意的特征模态解。对整个模拟域进行积分，星号表示复共轭。分子表示两种模态之间的内积，而分母则将 的值归一化，使其介于 0 和 1 之间。对于这个特定问题，重叠积分可简化为

在接下来的章节中，我们将演示如何通过重叠积分计算对模态进行分类。您可以点击打开 此处 的模型文件来跟着学习。

定义模态归一化变量

第一步是定义一个模态归一化变量，以便在以后的重叠积分计算中引用。模态归一化的数学定义如下：

首先，创建一个覆盖整个模拟域的积分算子。

积分 节点的设置窗口。

然后，创建一个 变量 节点，并使用以下表达式定义一个 modeNorm 变量：

intop1(u^2)

变量节点的设置窗口。

请注意，合适的表达式会因模型物理场和因变量的不同而不同。例如，当因变量是电场的分量时，积分应定义电场与其共轭的点积。

定义 modeNorm 变量后，计算研究结果。

使用合并数据集设置参考模态

我们将使用 合并 数据集，以便于比较特定的模态解（也称为参考模态）和完整的模态解。参考模态应是所跟踪模态系列中具有代表性的解。

计算研究结果后，右键单击 数据集 并选择合并。

合并 节点的设置窗口。

设置 数据 1 为参考模态。对于本文示例，我们选择 的第一特征模态。设置 数据 2 为完整解。对于组合方法，请选择 显式。显式方法允许我们使用 data1() 和 data2() 算子参考每个解的特定变量。

使用计算组计算模态重叠

接下来，右键单击 结果 并添加一个计算组。将源数据集设置为 合并 数据集。

计算组 节点的设置窗口。

右键单击新的 计算组 节点，添加 表面积分 子节点（对于三维问题，用 体积分 代替 表面积分）。选择 所有域 ，需要积分的表达式如下：

 data1(u)*data2(u)/sqrt(data1(modeNorm)*data2(modeNorm))

表面积分子 节点的设置窗口。

这里，data1(u) 指的是参考模态的位移， data2(u) 指的是其他模态的位移。在分母中，我们参考了之前定义的模态归一化变量。

接下来，修改 计算组 节点设置中的 变换 设置，如下图所示。

计算组节点 变换 设置 的设置窗口。 

在表达式框中， int1 表示 表面积分 节点计算的积分值， abs(int1)^2 表示等式 2 中定义的 值。这里的目标是生成一个新的布尔数据列，表示重叠值是否与参考模态匹配（1 表示匹配，0 表示不匹配）。因此，表达式中的 与阈值 0.5 之间存在逻辑比较。

请注意，阈值并不是固定不变的，而是可能因问题而异，或因不同的模态系列而异。我们的目标是选取一个阈值，将属于所需模态系列的解与其他解区分开来。对于模态重叠值分布较广的问题，可能需要通过反复试验进行微调。

在上图所示的 列 标题框中，我们可以选择为变换后的数据列添加标题。还可以选中 保留子节点 选项，以保留原始重叠数据列。完成后，点击 计算 按钮。请注意，计算可能需要一些时间，尤其是对于大型模型。

计算组 表格。

计算完成后，应显示与上表类似的表格。如果希望在表格中添加更多数据列，可以通过在 计算组 中添加额外的计算节点来实现。切记使用 data1() 和 data2() 算子引用相应的模态解。

用表图绘图

创建 一维绘图组 并添加 表图 节点。

表图 节点的设置窗口。

选择新创建的 计算组 作为数据源。选择适当的 X 轴数据（扫描参数）和绘图列（特征值）。可根据需要调整着色、样式和图例选项。

接下来，右键单击 表图 节点，添加一个 过滤器 子节点。在表达式框中输入 col3==1。这里， col3 指的是模态匹配数据列。

过滤器 子节点的设置窗口。

过滤器 子节点根据给定的逻辑标准过滤绘图数据。在这种情况下，只绘制匹配模态解。单击绘图按钮执行绘图。

跟踪其他模态系列

要跟踪其他模态系列，我们只需重复前面的步骤。您可以使用 复制 操作来快速设置其他 合并、计算组 和 表图 节点。为此，右键单击相应节点并选择 复制（快捷键 CTRL-SHIFT-D）。对于每个新模态系列：

1. 复制 合并 数据集。重命名节点并更新数据 1 部分，使其指向新的参考模态。
2. 复制 计算组。重命名节点并将源数据集更改为新的 合并 数据集。单击 计算 获取数据表。
3. 复制 表图 节点。将计算组来源更改为新的计算组。根据需要更改颜色、样式和图例选项。单击 绘图 更新图表。

您还可以将节点分组，以便更好地组织模型树。为此，请选中所有要分组的节点，右键单击并选择 分组（快捷键 CTRL-G）。

模型开发树显示了模态匹配组。

手动方法的重要使用说明

• 切记在做出任何会影响模态匹配结果的更改后，重新计算每个 计算组。
• 在清除解或对特征频率研究进行重大修改后，有时需要重新设置 合并 数据集的参考模态。为了提高可重复性，我们建议在外部文件中记录每个 合并 数据集使用的参考模态。
• 关于参考模态的选择，我们建议选择一个与其模态系列中的其他模态重合度较高，而与另外的模态相似度较低的模态。通常，通过绘制模态解可以直观地确定这一点。如果某个模态系列在参数范围内变化很大，则可能需要通过一些尝试才能找到合适的参考模态。

进一步学习

查看这篇 博客文章 了解应用于各种物理应用中的模态跟踪演示。要了解更多有关 合并 数据集及其各种其他用途的信息，请参阅这篇 博客文章。