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处理频域中的复值数和常见问题

这篇文章，我们将讨论 COMSOL Multiphysics^® 如何处理频域中的复值数和常见问题，包括如何正确选择使用均方根（RMS）、峰值或瞬时值来指定频域求解模型（如电磁学或声学模型）的源。此外，我们还将讨论如何指定相角。

关于 COMSOL Multiphysics^® 中的计算公式

在求解声学、电磁学、结构力学，或者其他使用 频域、特征值 或 特征频率 研究类型的任意物理场中的时谐问题时，COMSOL Multiphysics^® 会使用复值场。常见的时谐标量场表示为：

式中， 为要计算的复值场，称作相量。 为角频率， 为时间 为 。同样的，时谐矢量场可写作：

在频域仿真中指定一个标量源时，可以输入一个复数或矢量（相量），它的范数将对应于该场的峰值和 时的瞬时值的实部。例如，要定义一个均方根为 1，相位角为 30° 的声压或电势，可以输入表达式：

sqrt(2)exp(i30[deg])

或者

sqrt(2)(cos(30[deg])+isin(30[deg])).

关于平方根项的由来，请参见下文推导。下列函数在处理复值数时非常有用：

• real(a) 返回参数的实部。
• imag(a) 返回参数的虚部。
• abs(a) 返回复数值参数的大小。
• arg(a) 返回相位。
• conj(a) 返回共轭复数。
• realdot(a,b) 返回两个输入参数的点积，结果与 real(a*conj(b)) 相同，但前者也会定义正确的偏导数。

考虑一些非时谐量，例如范数。从上述时域解的频域相量表达式中，我们可以推断出频域范数与时域周期平均值之间存在简单关系。通过将相量分解为实部和虚部，

可以看到，两个时谐矢量场 和 的点积的周期平均值为：

因为在 的整个周期内， 成正比的交叉项的积分结果为零。

我们来看一些频域声学和电磁学领域的示例。对于压力声学，因变量是标量压力场 ，我们可以用分贝或声压级，表示均方根压力，

在电磁学中，我们常常关注由于电阻加热产生的热源，其瞬时值由电流密度和电场定义为：

取时间的平均值，我们得到：

如上所述，在 COMSOL^® 中，两个复数的运算 通过 realdot(a,b) 来实现。需要注意的是，对于非时谐量（如上述热源），从频域计算中恢复时域量并非完全无关紧要，因为点积中的四个项均不会相互抵消，因此随时间变化的加热表达式为：

时谐问题的仿真与求解

您可以在有关线性系统的谐波激励仿真的博客文章中了解更多有关声学、电磁学和固体力学中求解时谐问题的内容。该博客的第一部分 模拟线性系统的谐波激励 介绍了一些概念和使用假设的条件，以及一些可选的求解方法。第二部分 非线性系统的谐波激励仿真 讨论了扩展到非线性系统的工作。这两篇文章还提供了一些案例模型和相关应用，您可以下载并尝试亲自动手进行模拟。