学习中心

薄膜体声波（BAW）谐振器的有限元和等效电路仿真

薄膜体声波谐振器（BAW，也称 FBAR）是一种射频应用中的窄带滤波器 MEMS 元件。相较于传统的电子谐振器，BAW 的主要优势是体积更小，因此已成为移动设备系统中的重要组成部分。在 BAW 产品的设计阶段，有限元（FEM）仿真可用于计算特征频率和模式，以及频率响应，以最大限度提高主要元件的质量，并减少杂散模式的影响。在之后的电路设计阶段，往往需要使用含集总参数的等效电路来表征这些薄膜体声波谐振器，因为将有限元模型扩展到复杂电路仿真将耗费大量计算成本，且效率低下。这篇文章，我们概述了如何在 COMSOL Multiphysics^® 中将有限元模型转换为集总参数模型。通过以下关键步骤，可以建立薄膜体声波谐振器的有限元模型，然后进一步推导出用于系统级仿真的紧凑电路模型：

1. 创建 3D 薄膜体声波谐振器模型
2. 建立集总参数的等效电路模型
3. 使用 参数估计 研究步骤确定集总参数值

薄膜体声波谐振器的有限元模型

为了模拟一个薄膜体声波谐振器（基于锚定五边形切趾式设计的 FBAR 可以最大限度地限制振动能量），我们需要 静电、固体力学 接口，以及 压电 耦合特征。在模型向导中选择 压电，固体 多物理场接口（图 1），即可快速实现上述这些功能，自动添加所需的物理场接口和耦合。

COMSOL 案例库包括本文中讨论的 具有等效电路的薄膜体声波谐振器模型的模型文件和教程文档，其中概述了建立模型的步骤，包括创建几何结构、完成参数估计研究以确定集总参数值。

图 1. 在 模型向导 的 选择物理场 窗口中选择压电多物理场。

由于所模拟器件的结构以及关注的模式具有对称性，因此我们只需模拟 36° 的扇形结构（见图 2），从而显著减少计算时间。我们在博客 利用对称性缩减模型尺寸 中对此进行了详细讨论。对于此特定模型，这是一个很好的策略，因为它需要使用精细网格来计算特征频率并生成振型的平滑绘图。这个 FBAR 被设计为在频率约 3.25 GHz 附近具有串联谐振，由 0.2 µm 氮化硅支撑层、0.1 µm 钼底电极、1 µm 氮化铝压电层和 0.2 µm 铝顶电极组成。使用有限元模型可以在 频域 研究中计算器件的频率响应。在接下来的步骤中，这些有限元数据将作为实验数据的参考。

图 2. 五边形薄膜体声波谐振器的 36° 扇形结构。

此案例中模拟的薄膜体声波谐振器以氮化铝为基础，这种材料位于 MEMS 模块材料库的 压电 分支下，如图 3 所示。将它添加到模型后，就可以在 设置 窗口中编辑显示的材料属性，如图 4 所示。

图 3. 压电 材料库。

图 4. 显示氮化铝材料属性的 设置 窗口。

为了获得薄膜体声波谐振器的频率响应，需要进行 频域 研究，其设置如图 5 所示。图 6 显示了 2.8-3.8 GHz 范围内，通过频域研究得到的终端电流绝对值随频率变化的函数关系，其中 3.25 GHz 的串联谐振频率对应于厚度延伸模式。

图 5.有限元模型的 频域 研究设置。

图 6. 有限元仿真获得的频率响应。

改进的 Butterworth–Van Dyke 等效电路模型

像薄膜体声波谐振器（FBAR）这样的机电装置，可以用图 7 所示的具有六个集总元件的改进 Butterworth–Van Dyke（mBVD）电路来表示。这种电路实质上由氮化铝电容 Co 与串联电路 Rm-Lm-Cm（动态支路）的并联组成，用于产生压电效应。电路接口通过表 1 中列出的初始值来指定和激励电路。这些值基于有限元模型的共振频率和反共振频率，以及器件几何形状的 Co 值，并使用参考文献 1 中的公式进行估算。与有限元模型一样，电路模型也使用 频域 研究计算器件的频率响应。对于合适的初始值，有限元模型和电路模型的频率响应结果应该接近。

图 7. mBVD 电路模型示意图。

电路仿真中使用的初始值

表 1

首先，添加一个 电路 接口，以定义等效电路模型，如图 8 所示。接下来，添加各个电路元件，定义它们的网络连接，并输入集总参数值，如图 9 所示。

图 8. 在 添加物理场窗口中，选择 电路 接口创建薄膜体声波谐振器的等效电路模型。

图 9. 电路元件的 设置 窗口，在此指定其电路连接和集总参数值。

图 10. 使用参数初始值进行有限元和电路仿真得出的电流与频率的关系图。

参数估计研究

为了获得模型参数的精确值，需要进行 参数估计 研究，通过对由六个参数定义的电路模型运行 频域 研究，计算出模型表达式。为使模型表达式与实验数据相匹配，参数估计将目标函数（定义为模型表达式与实验数据之间的误差）最小化。参数估计研究的设置如图 11 所示。图 12 所示为自动生成的另一张频率响应图，用于直观显示拟合质量。参数估计 研究的输出结果是最接近有限元频率响应的电路参数集，如表 2 所示。

图 11. 实验数据与模型表达式的 参数估计研究的输出结果比较。表 2 列出了拟合参数。

图 12. 使用 参数估计研究的最终参数得出的有限元结果和等效电路图。

参数估算研究得出的电路参数值

表 2

图 13 是固体位移的表面图，显示了有限元特征频率研究得出的 3.25 GHz 处的振型，与图 12 中的峰值相对应。请注意，对于高谐振器件，特征频率研究通常会返回许多非常接近 3.25 GHz 共振频率的解，被称之为 杂散模式，需要根据观测予以剔除。作为观测验证的替代方法，可以计算位移相位均匀性并绘制其与频率的关系图。对于真正的共振，其值将接近 1，而杂散模式则将远远小于 1。图 14 显示了位移相位均匀性与频率的关系图。

图 13. 表面图显示了厚度延伸模式的位移模式。

图 14. 位移相位均匀性与频率的关系图。仅在共振频率为 3.2512 GHz 时接近于 1。

参考文献

1. J. D. Larson et al., “Modified Butterworth-Van Dyke circuit for FBAR resonators and automated measurement system,” Proc. IEEE Ultrason. Symp., pp. 863–868, 2000.