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理解和更改单元阶次

在 COMSOL Multiphysics^® 软件的物理场接口节点的设置中，您可以在 离散化 栏看到所使用的单元阶次，并可以更改这个设置。这篇文章，我们将讨论单元阶次和离散化对仿真的意义和重要性，如何更改这个设置及其对模型网格和解的影响。

单元阶次和离散化的含义是什么？

COMSOL Multiphysics^® 中的大多数物理场接口都使用有限元法来求解底层偏微分方程。有限元法的工作原理是将模拟域离散化为更小、更简单的域，即所谓的单元。通过对模型的所有单元进行方程组的组合和求解，可以计算出解。这些方程的解近似于偏微分方程的真实解。

每个单元内的方程也称为 形函数，可以有不同的阶数。例如，在最简单的一维有限元模型中，每个单元内的形函数都是定义在域上的一组多项式。下图绘制了一维线性（一阶）、二次（二阶）和三次（三阶）形函数。单元内的解基于这些形函数的线性总和。

一维单元内的线性（左）、二次（中）和三次（右）形函数示意图。

不同的物理场接口可以使用不同的形函数集。也就是说，每个物理场接口都有自己独特的离散化设置，这些设置可以控制对这些因变量使用什么阶数的形函数，如下图示例中的 电流 物理场接口的屏幕截图所示。

物理场接口的离散化设置。

很多情况下，软件默认的离散化是二阶（二次），部分原因是很多偏微分方程都有一个主要的二阶导数项。涉及流体流动和传输的问题通常默认使用一阶线性离散。根据特定的建模情况，有可能需要改变离散度，也有可能为每个不同的物理场接口单独改变离散度，但这样做会产生一些后果。

在不改变单元数的情况下降低离散度，模型所需的计算资源会减少，但求解精度也会降低；反之，提高离散度将得到更精确的解，但需要更多的计算资源。请注意，增加单元的阶数是验证模型的一种方法，但您可能希望通过 网格细化研究 来改进网格。

在二次和更高阶次离散时，有时还可以选择拉格朗日单元和巧凑边点单元。只有当网格中存在矩形、棱柱形、金字塔形或六面体单元时，这种设置才会生效。如下图所示，拉格朗日单元在单元中引入了额外的节点（自由度）。虽然巧凑边点单元在每个单元的节点数较少，但对于相同的网格，它通常具有相当高的精度，而且与拉格朗日单元相比，计算成本更低。如果可以创建以矩形、棱柱形、金字塔形或六面体单元为主的网格，且物理场也支持，通常值得使用巧凑边点单元离散化。

二阶单元中节点位置的可视化绘图。黑色、白色和灰色节点均出现在拉格朗日单元中。在巧凑边点单元中，灰色节点被移除。

对网格的影响

在二维、二维轴对称或三维中建模时，物理场内的离散化设置也会影响网格单元。二维和三维中的网格单元还用于近似真实的 CAD 几何图形，它们通过一组几何形函数来近似模型边界的形状，这些几何形函数的阶数与模型内所有启用的物理场接口中使用的 最低 离散阶数相同。

用线性（中左）、二次（中右）和三次（右）几何形函数离散化的半圆形域（左）。蓝色圆圈代表节点。

例如，如上图所示，考虑一个半圆形域，使用由单个三角形单元组成的最简单的网格进行离散化。建模域的直边可以被精确表示，但弯曲边界只能通过几何形函数近似表示。如果使用线性形函数，这种近似方法只能简化为一个三角形单元，对建模域的表征非常差。二次和三次形函数能更好地表示基本几何形状。因此，在使用线性几何形函数时，通常需要在弯曲边界上使用更精细的网格，才能准确表示 CAD 的基本几何形状。在使用线性几何形函数时，一个很好的经验法则是，每 90° 弧至少需要 8 个单元，以求解误差小于 1% 的边界问题。另一方面，使用二次和高阶形函数时，即使每个 90° 弧只需要两个单元，也足以将 CAD 几何图形的误差大大降低到 1% 以下。这些经验法则只是创建初始网格的起点，网格细化研究 始终是必要的。

在创建和查看网格时，即使底层形函数的阶数较高，单元也始终显示为直边。只有在绘制结果时，才会以显示底层形函数的方式绘制单元边界。

使用线性拉格朗日（左）和立方拉格朗日（右）几何形函数对半圆形域进行网格划分。请注意弯曲边界表示方法的不同。

有关几何形函数的信息也会显示在模型求解时生成的日志顶部。上述示例的日志文件将显示如下内容:

<---- Compile Equations: Stationary in Study 1/Solution 1 ----------------------
Started at ....
Geometry shape order: Quadratic
Running on ...

多物理场模型和离散化

当一个模型包含多个不同的物理场时，其中一个物理场的离散化设置可能与其他物理场不同。默认情况下，几何形函数将由所有激活的物理场中的最低阶数离散化控制。下文将解释一些耦合的物理场所使用的离散化设置。

流体流动

层流和湍流问题的默认离散方式是所谓的 P1+P1 离散，通过线性形函数求解流体速度场和压力场。也可以将离散化提高到 P2+P1，即对速度采用二次形函数，而对压力采用线性基函数。因此，对于 P2+P1 离散化的模型，仍然使用线性几何形函数。

流体与结构的相互作用

在求解流固耦合问题时，流体问题默认使用 P1+P1 离散，而固体力学问题则使用二次离散。虽然这些物理问题是在不同（不重叠）的域上进行求解，但所有物理问题仍必须使用相同的几何形函数。

请注意，虽然可以在模型树中 组件 节点的 常规 设置中手动设置几何图形的形函数，但只有在对理论有充分理解的情况下才能这样做。

进一步学习

有关单元阶次的更多信息，特别是有关多物理场模型的信息，请参阅 COMSOL 博客 追踪多物理场模型中的单元阶次。 在 线性静态问题的网格剖分注意事项 这篇博客文章中，我们对单元阶次也进行了讨论。