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使用不确定性量化分析 MEMS 谐振器的频率漂移

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不确定性量化（UQ）可显著增强微机电系统（MEMS）的有限元分析，预测因制造过程变化而导致的功能性参数的不确定性。通常可用于：

• 评估设计的可制造性
• 设定制造过程的控制目标

使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 MEMS 模块和不确定性量化模块时，有多种研究类型可用于分析输入参数变化引起关注量（QoI）的不确定性。本文将以 MEMS 谐振器模型为例，讨论如何使用这些研究。

背景知识：MEMS 谐振器和制造差异

固态装配谐振器（SMR）是一种体声波谐振器，常用作通信系统中的带通滤波器，一般在 GHz 频率范围内工作，制造相对容易，损耗较低。在 SMR 中，压电层在两个电极之间以所谓的 厚度伸缩模式 振动——电场使其在垂直方向膨胀和收缩。

本文教程模型中的 SMR 制造过程为：首先在基底上交替沉积二氧化硅（SiO₂）和钼（Mo）层，接着形成铝（Al）层作为底电极，然后沉积氧化锌（ZnO）压电层，最后沉积顶部铝电极。各层的标称层厚如图 1 所示。

图 1. SMR 的横截面，显示了基底、二氧化硅、钼、铝和氧化锌等各层，压电层中心的弹性能表面图显示出了限制效应。

各层通过物理气相沉积形成，每层的厚度都存在不确定的加工偏差，这给SMR的工作频率带来了不确定性。根据 使用不确定性量化研究固态装配谐振器（二维） 的教程模型，我们假设每层厚度遵循正态分布，由其平均厚度和标准差定义。该教程模型的详细操作可在案例库中的相应文档中查阅，本文重点介绍如何指定层厚度的统计偏差，以及如何计算 SMR 工作频率 的不确定性。

输入参数和关注量

在进行不确定性量化研究的过程中，需要确定一系列从解中衍生出来的关注量。这些量取决于输入变量。任何不确定的输入，无论是与物理场景、几何尺寸、材料属性还是离散方法有关，都被视为输入参数。这些参数可以通过解析采样，也可以由用户直接指定概率分布。在解析采样时，输入可能表现出相关性或独立性，通过高斯连接函数技术进行分组抽样。量化指标可以是任意与解相关的全局量。例如，在结构分析中，这些量可能包括峰值位移、应力水平或偏转角度；在传热或 CFD 仿真中，它们可能代表最高温度、总热损失或总流体流速。

在本文演示的 MEMS 谐振器模型中，将层厚值作为输入参数，工作频率作为关注量。

选择正确的谐振频率作为关注量（QoI）

如图 1 所示，SMR 的工作频率 对应于厚度伸缩模式，此时振动能量被限制在压电层的中心。位移场的独特对称性是外加电场对称性自然产生的结果，任何其他模式都不可能被激发。不过，在使用 特征频率 研究时，找到厚度伸缩模式的工作频率 所采用的设置也可能会返回其附近的其他解。例如，图 2 显示了 特征频率 研究得出的各种特征模态的位移场图。除了 之外，这些都是所谓的杂散模态，没有任何意义。此外，由于不确定性量化要求 QoI 是一个单值实数，因此往往需要通过一些可执行的标准自动选择 。

= 870.54 MHz	= 870.94 MHz	= 871.61 MHz
= 873.75 MHz	= 875.20 MHz	= 876.92 MHz

图 2. y 轴位移图。这个问题的唯一 "正确"（非杂散）特征模态是振动频率为 870.54 MHz 的厚度伸缩模式。

图 3. y 轴位移（即 ）的面图显示了顶部电极的变形。沿顶部电极宽度方向的位移绝对值可用作选择厚度伸缩模式特征频率解的标准。

仔细观察图 3 中的厚度伸缩模式，我们可以发现顶部电极下方压电层的变形具有对称性，因此可以定义位移相位均匀性 ：

其中， 是 y 轴位移，积分限 和 是顶部电极的边界。绘制 与特征频率的关系图，如图 4 所示。

图 4. 与输入参数标称值的特征频率关系图，显示了 30 个返回的解。 =870.54 MHz 时， =1，而对于其他解， << 1。

图 4 显示， = 870.54 MHz 是唯一满足 = 1 的解，其他解均为 << 1。基于这个结论，我们可以在 特征频率 研究步骤之后，使用 组合解 步骤，并选择 移除解 选项，配合图 5 所示的其他设置，舍弃掉不需要的模式，其中的条件表达式为:

满足以下条件时排除：abs(comp1.intop1(comp1.v))/(comp1.intop1(abs(comp1.v)))<0.99.

The Model Builder with the Combine Solutions node selected and the corresponding Settings window showing the settings for excluding spurious modes.

图 5. 排除不需要的杂散模态的设置。

现在，我们可以将 特征频率 研究步骤作为不确定性量化的参考研究，所需的关注量（QoI）只需使用 特征频率 研究的单值解即可。

不确定性量化研究

不确定性量化模块提供五种不同的研究类型：筛选、灵敏度分析、不确定性传播、可靠性分析 和 逆不确定性量化。

以下是每一个不确定性量化研究类型的简要介绍：

• 筛选：
  • 确定对每项关注量最有影响力的输入
  • 基于莫里斯一次一步法（MOAT）
  • 输出 MOAT 平均值和标准差值
• 灵敏度分析：
  • 计算输入对每项关注量的影响分数
  • 输出一阶和总 Sobol 指数
• 不确定性传播：
  • 计算关注量的统计偏差
  • 输出表征关注量概率分布估计值的核密度估计图
• 可靠性分析：
  • 根据某个关注量计算满足某个条件的概率，例如 “某一量超过阈值的概率是多少?”
• 逆不确定性量化：
  • 从某些输入参数的初始假设（先验概率分布）开始，利用实验数据回溯并揭示这些参数的统计特性
  • 应用代理模型和统计方法完善这些输入的特征，提供（后置）概率分布以及包含平均值、标准差、最小值/最大值和置信区间的置信区间表

为了从物理模型中提取统计数据，需要通过蒙特卡罗方法进行多次模拟，并根据输入参数的概率分布调整输入参数。对于三维模型，直接采用蒙特卡罗方法可能由于计算能力的原因而不可行。为解决此问题，不确定性量化模块首先构建了一个所谓的 代理模型，用于除筛选研究之外的灵敏度分析、不确定性传播、可靠性分析和逆不确定性量化等分析。

下文中，我们将使用 不确定性量化研究固态装配谐振器（二维） 教程模型对这四种研究类型进行演示，进一步回顾这些研究类型，了解它们如何应用于 MEMS 谐振器模型。

筛选研究

筛选，MOAT 研究采用了一种轻量级的全局筛选方法，对每个输入参数的重要性进行定性评估。这种方法完全基于样本，使用 MOAT 方法，并且只需要计算相对较少的 COMSOL 模型。因此，当输入参数过多，难以进行计算成本更高的不确定性量化研究时，这种方法就非常理想。

图 6 显示了 MOAT 方法对三个输入参数（、 和 ）使用的抽样类型。

图 6. MOAT 方法示意图，其中每个输入变量的值都按预定步长变化，而其他输入变量则保持不变。

首先，为每个参数指定范围。然后，通过选取一组随机输入参数 来确定起点。现在，每个输入变量的值都按预先确定的步长变化，而其他变量保持不变。最后，观察这种单元效应对输出的影响。如此反复，直到有足够数量的样本，以获得关于每个参数影响的可靠信息。一般来说，如果输入参数的数量是 ，那么模型评估的数量就是 。在上面的例子中，我们选择 。

对于每个关注量，MOAT 方法会计算每个输入参数的 MOAT 平均值和标准差。如下图 9 所示的 MEMS 谐振器所示，这些值在 MOAT 散点图中呈现。平均值和标准差的排序表明输入参数的相对重要性。MOAT 平均值越高，意味着该参数对关注量的影响越大。MOAT 标准差值越高，说明该参数的影响越大，要么与其他参数有强烈的相互作用，要么有非线性影响，甚至两者兼而有之。

筛选在 MEMS 谐振器中的应用

现在，让我们应用 筛选，MOAT 研究来确定 MEMS 谐振器模型中对每一个关注量影响最大的输入。回想一下，输入参数为 SiO₂、Mo、Al 和 ZnO 层的厚度值，会导致谐振频率的不确定性。为了节省计算时间，可以使用筛选研究来确定影响最小的输入参数，然后将这些参数在后续研究中移除。由于我们的模型（研究 1）中已有 特征频率 研究步骤，因此可以将其作为 筛选, MOAT 研究的参考研究。也就是说，我们将根据筛选研究产生的各种输入参数值组合来求解特征频率。为此，右键单击 研究 1 节点，在 不确定性量化 下，选择 使用 “研究引用” 添加 “不确定性量化” 研究。新生成的研究将自动选择筛选研究类型。在此研究的 设置 窗口的 关注量 表格中输入表达式 real(freq)。由于数值误差，结果中总会有一小部分虚部。real() 算子用于确保仅考虑这些复值频率的实部。请注意，如果模型包含阻尼，则虚部会更大。

图 7. 将特征频率指定为关注量的设置。

在 输入参数 表格中，为 ZnO 指定 t_pe（压电层厚度），Mo 指定 t_lil（低阻抗层厚度），SiO₂ 指定 t_hil（高阻抗层厚度），Al 指定 t_e （电极厚度）。

图 8. 指定膜厚作为输入参数的设置。

图 9 中筛选研究计算结果的 MOAT 图表明，高阻抗层的厚度影响不大，可以从后续研究中剔除。

图 9. 筛选，MOAT 研究的 MOAT 平均值和标准差结果图。

灵敏度分析

灵敏度分析 研究类型用于确定特定关注量对输入参数变化的响应，包括两种不同的方法：Sobol 方法和相关性分析法。

对于 Sobol 方法，分析涵盖输入参数的全部分布，将每个关注量中观察到的方差分解为输入及其相互影响所产生的部分。通过 Sobol 方法，可以计算出每个输入参数的两个 Sobol 指数：一阶 Sobol 指数和总 Sobol 指数。

图 10. 灵敏度分析的一阶 Sobol 指数和总 Sobol 指数（这是另一个模型的结果，不是上文提到的 MEMS 谐振器模型）。

一阶 Sobol 指数量化了关注量中的变化有多少可归因于每个输入参数本身的变化，而总 Sobol 指数则同时考虑了各输入参数方差及其综合作用导致的关注量变化。一种专门的 Sobol 图，即 Sobol 指数 图，用于将这些指数可视化，根据总 Sobol 指数排列直方图。总 Sobol 指数最高的参数被认为是影响力最大的参数。一个参数的总 Sobol 指数和一阶 Sobol 指数之间的差异表明了该参数与其他参数之间相互作用的程度。

筛选法主要是定性分析，相比之下，灵敏度分析用于定量分析关注量的不确定性如何分摊到不同的输入参数中。这种方法需要更多的计算资源，因为精确计算 Sobol 指数依赖于高质量的代理模型。

相关性分析方法可识别关注量与各输入参数之间的线性和非线性相关性。在使用这种方法进行灵敏度分析时，会计算 4 种不同的相关性：双变量、双变量排序、部分和部分排序等相关性，以确定输入参数与关注量之间的线性或单调关系。我们将仅采用 Sobol 方法来分析 MEMS 谐振器。

灵敏度分析在 MEMS 谐振器中的应用

在之前的研究中，我们确定 SiO₂、Al 和 ZnO 层厚度非常重要，值得进一步研究。下一步，我们将采用 灵敏度分析 研究，以更好地量化各层厚度变化的相对重要性。在设置 灵敏度分析 研究时，选择 为以下对象添加新的 “不确定性量化” 研究，然后选择 灵敏度分析。灵敏度分析将继承 筛选 研究的设置。计算完成后，生成 Sobol 指数图（图 12）。

The Model Builder with the Uncertainty Quantification node selected and its corresponding menu showing the option to add a new UQ study for a sensitivity analysis.

图 11. 添加 灵敏度分析 研究。

图 12. 用于 MEMS 谐振器灵敏度分析的一阶 Sobol 指数和总 Sobol 指数。

不确定性传播

不确定性传播 研究类型旨在通过估计各输入参数的概率密度函数，检查输入参数的不确定性对每个关注量的影响。通过计算 COMSOL Multiphysics 模型以获得输入参数与关注量之间的潜在复杂关系，通常大多数情况下需要非常大的计算资源。

由于这种复杂性，我们使用蒙特卡罗模拟来估计概率密度函数。与 Sobol 方法中使用的方法类似，代理模型的应用大大降低了计算需求。对于每个关注量，都要进行核密度估计，以近似其概率密度函数，然后用图形表示出来。在分析过程中还可以生成置信区间表，详细列出每个关注量的重要统计信息，如，平均值、标准差、最小和最大值，以及置信度为 90%、95% 和 99% 的下限和上限值。

图 13. 输入参数的概率分布如何生成一个关注量（输出参数）的概率分布的示意图。图表的高度表示输入或输出的某个值的概率密度，分布代表了所有输入参数的综合影响。

不确定性传播在 MEMS 谐振器中的应用

现在，我们可以计算 SiO₂、Al 和 ZnO 层厚度变化所产生的关注量分布，以及谐振频率。为了设置 不确定性传播 研究，可以使用 灵敏度分析 研究作为参考；选择为以下对象添加新的 “不确定性量化” 研究，然后选择不确定性传播，以保持相同的设置，这样就不必再次指定 关注量 或 输入参数。计算研究结果生成的核密度估计图如图 14 所示，显示了在考虑层厚度变化的情况下，最有可能出现的谐振频率估计值。

图 14. 谐振频率的核密度估计。

可靠性分析

与其他关注 QoI 总体不确定性的不确定性量化研究不同，可靠性分析 研究使用高效全局可靠性分析（EGRA）方法来求解一个更具体的问题：给定一个标称设计和一组不确定输入，设计失败的可能性有多大？在这种情况下，失败的定义不仅是完全失效，还可以解释为不符合特定的质量标准。

图 15：可靠性分析结果（这是另一个模型的结果，不是上文提到的 MEMS 谐振器模型）。图中显示了两个关注量：q1（蓝色）和 q2（紫色）的等值线，其水平表示可靠性分析中使用的阈值，即 q1 = 21 和 q2 = 9.95。为了进行说明，这里使用了两个输入参数（即 x 和 y 轴的数据）。阴影区域代表符合 q1 < 21 和 q2 > 9.95 所定义的可靠性标准的输入参数值。

传统上，为了保证设计的可靠性，建模和仿真依赖于安全裕度和对最坏情况的规划。然而，对于经过精心设计的可靠性分析，可以采用更细致的方法，对失败概率进行精确估计，从而避免对可靠性的高估和低估。根据不确定性量化研究得出的与每项关注量相关的置信区间，可以推断出可靠性的初步估计值。EGRA 方法用于界定设计中失败与成功之间的界限，并给出更精确的可靠性标准，其中考虑到各种关注量组合及其相关阈值。

可靠性分析在 MEMS 谐振器中的应用

最后一步是在 MEMS 谐振器模型中加入 可靠性分析 研究，以计算谐振频率低于设定的关注量下限的可能性。在这个示例中，根据整体系统设计的要求，阈值为 865 MHz。研究结果表明，不符合这一设计标准的概率约为 3%，这为考虑重新设计或设定新的工艺控制目标，以减少层厚变化提供了更多数据。该研究还包括生成 响应面 绘图的功能（图 16），可用于评估不确定性量化研究中使用的代理模型的质量，并直观了显示关注量（谐振频率）和两个最重要的输入参数（压电层和 SiO₂ 层的厚度）之间的关系。

图 16. 压电层（ZnO）和二氧化硅层（SiO₂）厚度的谐振频率响应面图。

进一步学习

本文通过一个示例教程演示了如何使用不确定性量化将工艺变化与设备性能联系起来，从而可以引入工艺变化或改进制造工艺来优化设计。推荐您查阅以下资源，了解有关固态装配谐振器模拟和不确定性量化模块的更多信息：

• 固体安装谐振器 2D 教程模型
• 支架教程模型的不确定性量化

请注意，这些模拟需要使用不确定性量化模块，以及其他所需的 COMSOL 产品。如果您有不确定性量化模块的许可证，就可以在模型开发器中查看所有设置。