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理解磁绝缘边界条件

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使用 AC/DC 模块求解电磁场时，最常用的接口是 磁场 接口，用于求解磁矢势场，并由此计算电场。本文将介绍 磁场 接口中的默认边界条件，即 磁绝缘（MI）边界条件。

方程的数学概念及其含义

在 磁场 接口内，磁绝缘 边界条件采用以下方程：

表示面法向矢量 与磁矢势 的叉积在这个表面上必须等于零，也就是说，磁矢势（ 场）必须垂直于此边界。磁矢势是一个对求解麦克斯韦方程有用的场，既不能直接测量，也不会直接出现在任何本构关系中，而是由其他域条件或边界条件激励在域内或沿表面流动的电流所产生。我们软件求解的就是满足域和边界条件的 场。

由 场定义并且可测量的量有三个：磁场、电流和电场。首先，磁场 是 场的旋度:

由于 场严格垂直于表面，因此 场必须始终与表面相切，在法线方向上没有任何分量。接下来，边界上的电流定义为

其中， 场由 场中相邻域使用的本构关系（如 ）定义。由于 场必须完全与表面相切，其旋度也与表面相切，因此必然存在沿表面流动的与 场垂直的电流。电场 是 场的时间导数:

这表示在稳态模型中， 场不包含任何与 场有关的信息，也不会对 场产生任何影响。对于时域或频域模型， 场将垂直于表面，平行于 场，但相位滞后 90°。、 和 场彼此正交。有关方程和推导的详细介绍，请参阅博客：理论介绍——什么是规范固定？

将这些矢量场可视化在一个表面上有助于我们理解这一点，如下动画所示。这些场通过模型内部的正弦时变激励，下图仅关注边界的一小块区域。从动画中可以看出， 场始终与表面垂直，并随时间振荡。

正弦时变的源周围为 磁绝缘 边界条件时，表面（透明蓝色）上的磁矢势（灰色箭头）的动画。着色的表面用于可视化展示表面势场。

磁矢势（灰色箭头）、磁场（红色箭头）、表面电流（绿色箭头）和电场（蓝色箭头）的动画。

上述方程似乎存在矛盾，因为它们表示，即使电场没有切向表面的分量，电流仍将沿表面切向流动。这似乎与本构关系相矛盾：

其中， 是电导率。但是，如果 ，这种本构关系就没有意义了，我们可以将其解释为具有无穷大电导率或零电阻率的理想导电材料的表面。这就引出了 磁绝缘 边界条件的其他几种有用的解释。

作为对称条件

具有极高导电性的材料有一个常见示例是镜子上的金属涂层：一种能产生对称图像的平面。如果 磁绝缘 边界条件应用于建模域的平面边界，且后者的任何部分都不超出此边界，则可将其理解为对称条件。模型的所有几何结构相对于这个面都是镜面对称的，但是源的极化方向相反。

以一个连接到直流电源（电池）的导电线圈回路为例，它会产生电场、穿过材料的电流，以及周围空间中的磁场。在线圈的一侧施加 磁绝缘 边界条件意味着该结构全部存在于平面的一侧，但电池终端发生切换。后者将产生沿镜像路径流动的电流，但方向相反。

电池与导线相连，并被置于 磁绝缘 边界条件附近。电流（绿色箭头）产生磁场（红色箭头）。电流经过电池和导线，注意电池的极性。

磁绝缘 作为对称边界条件是指，在另一侧存在一个镜像结构，其电源的极性相反，产生的电流沿镜像路径以相反方向流动。图中未显示流经电池的电流。

如果导体进入边界，对称条件同样成立。下图显示了导线与边界相交时的场反射情况，注意电源的极性是如何反转的。由于边界的一侧只存在一半的电源（电池），因此该电源产生的电势（电池电压）大小减半，但流经系统的激励电流大小不变。

磁绝缘 边界条件可以穿过电源并施加对称性，使源的极性相反。

只要反射效应填满整个空间，就可以在不同的平面上组合多个 磁绝缘 边界条件，并将它们解释为一个对称条件。如下面两幅图所示，笛卡尔对称和轴对称都可以使用。在绕轴对称的情况下，模拟空间的角度必须是 180°/N，其中 N 是整数。

三个正交 磁绝缘 边界条件及其对称性含义。

当面与面之间的夹角将单位圆划分为偶数个扇形时，通过 磁绝缘 边界条件实现绕轴对称。

如果将物体置于一个立方体域的中心，且所有边界都设置为 磁绝缘，这意味着整个无限空间都填满了物体的三维周期性重复图案，间距等于立方体大小。

另一种对称性可通过 理想磁导体 边界条件来实现。这意味着在另一侧存在第二个镜像结构，具有相同的极性电源，导致电流沿着镜像路径以相同的方向流动。

还有两个额外的边界条件可用于模拟其他类型的对称性。首先，理想磁导体 边界条件同样对结构施加了镜像对称性，但没有电源极性的转换。其次，周期性 边界条件规定，形状相同的两个边界上的场完全相同。有关这些边界条件的更多详细介绍，请参阅博客文章：利用对称性简化磁场建模。

作为无限自由空间的近似

由上一节可知，一个应用 磁绝缘 边界条件的立方体域中心的系统，相当于该系统在无限三维空间的周期性分布。磁绝缘 边界条件还有第二种解释，即完全围绕目标系统时，可视为无限自由空间的近似。在这种解释下，没有必要将 磁绝缘 边界限制为平面，但必须定义一个完全包围系统的凸域。例如，包围系统的球面集合可以很好地理解这种解释。

将系统包围在 磁绝缘 边界条件的凸域内，代表自由空间的近似。电流同时流过电池和导线，由此产生的磁场强度随距离的增加而减弱。

假设系统位于一个没有任何其他结构的无限空间内，电流产生的磁场将延伸至无限远，但随着径向距离的增加，磁场会呈指数级下降。考虑两个点，一个点位于球内，另一个点位于球外。我们将自己置于球外一点，如果暂时忽略 磁绝缘 边界条件，可知由于系统有电流的流动，必然存在非零磁场。

要在该点获得零磁场，需要引入一个抵消电流。可以引入一个与设备中现有电流方向完全相反的抵消电流，但这只会导致系统中没有电流的流动并且没有磁场。也可以在球体表面引入适当分布的电流，在球体外部实现零磁场。磁绝缘 边界条件允许电流沿表面流动，因此可被视为求解这个表面抵消电流。

磁绝缘 边界条件上的表面电流导致域外磁场为零。

随着域半径的增大，表面电流的幅值会减小，对边界附近的场产生的影响也越来越小。然而，增大包围球体的半径会增加域的大小和整体计算成本，因此应尽量保持域尽可能小。像系统电感和阻抗这些关注量，可以通过增大域的大小进行研究，结果将单调收敛。理想磁导体 边界条件可作为替代方案来模拟截断，随着域增大，其结果将趋于一致。有关此方法的详细信息，以及无限元方法的应用和所涉及的权衡，请参阅博客文章：如何为线圈模型选择边界条件。

作为无电连接的理想电导体

由上一节内容可知，有电流沿着 磁绝缘 边界条件的表面流动，即使在直流分析的情况下，这些电流也存在，表示电流不会随时间变化。由此得出的结果需要仔细解读。考虑下图所示系统，一个放置在与直流电源连接的导线环路中心 内部 的球体，导线和球体之间是自由空间。图中绘制了球面上，以及通过导线的电流。这似乎与直觉相悖——流经导线的直流电流怎么会在无电连接的物体上感应出电流？

通以直流电的导线内部的 磁绝缘 边界条件的球面集合，在这些边界上产生了表面电流。

思考这个问题的适当方法是将稳态模型看作是在非常低的频率（尽管不是零频率）下被激励的频域模型，并引入集肤深度的概念。这是大部分感应电流进入导体的距离，良导体内部集肤深度的简化表达式为：

磁绝缘 边界条件意味着 ，即集肤深度为零。也就是说，无论频率多低，都会感应出涡流，并在表面流动。因此，对于稳态直流模型，磁绝缘 边界条件是一种理想化假设，通常不会应用于近似描述电学不相连高导电域的边界。

另一方面，在求解时域问题时，可以将这些电流解释为良导体表面附近的电流近似值，以及由此产生的屏蔽。这确实取决于系统的激励方式和模拟的目标。要验证近似值的有效性，就需要与求解良导体的体内场的模型进行比较。

在求解频域模型时，磁绝缘 边界条件在模拟集肤深度远小于零件尺寸的实际导体时有更清晰的解释。在这种情况下，只要不关注导电材料的损耗，这就是一个合理的近似。另一个选择是，使用 阻抗边界条件 模拟具有限电导率的域边界。

内部边界上的一组 磁绝缘 边界条件。磁矢势是在两侧求解的，因此两侧的磁场和表面电流会有所不同。在交流激励下，这将合理地近似为薄导体所产生的屏蔽。

将 磁绝缘 边界条件应用于内部边界也是合理的，因为在内部边界两侧都要求解磁矢势，而且边界两侧的磁场、电场和表面电流都不同。这种方法适用于模拟相当薄的壁结构。在频域中，这意味着集肤深度远小于壁厚，因此代表理想屏蔽条件。另一个选择是，使用 过渡边界条件 模拟薄壁有损材料的内部边界。

作为电接地条件

在此，电接地指的是相较于所讨论的系统而言相对较大，或导电率相对较高，或两者兼具的区域，可以充当无限的电流源和汇，例如，地球接地（如，岩石、土壤或水体），以及 外壳接地（如，飞机或汽车的框架结构）。电路的任何部分如果靠近或接触这一边界，都会感应出沿表面流动的电流。

任何形状的 磁绝缘 边界条件都能作为这种接地条件解释。需要特别注意的是，在表面流动的电流是由于附近电气系统的结构感应产生的，不会沿着最短路径流动。对于时域和频域分析，此假设是合理的。然而，对于稳态分析，如果需要关注域内附近场强的精度，则应模拟域内介质中的电流分布。

任何形状的 磁绝缘 边界条件都可以解释为接地条件。由于在模拟域内流动的电流随时间变化，因此会在表面产生感应电流。

对模拟域内的结构边界应用 磁绝缘 边界条件，可被解释为机壳接地。将电气电路连接至该结构时，也会导致电流沿表面流动，它们应同样被解释为感应电流，因此并不一定通过结构内部的最短路径返回。

在频域模型中模拟地球接地或机壳接地时，阻抗边界条件 和 过渡 边界条件是可以额外计算损耗的替代方法。在时域模型中，可能需要对材料的整个体积进行建模。在直流模型中，通常只需考虑流经部分域的电流。

磁绝缘 模拟域内结构边界上的边界条件可解释为与电源电连接时的机壳接地。如果是直流电模型，则只需模拟电线之间的框架部分。

作为电源边界

激励系统的方法有很多种，电流可以被施加在边、边界或体内。在任意时刻，这些电流都会流入电源的一端并从另一端流出，以保持电流守恒。尽管假定电源内部流动的电流细节并不重要，但必须始终存在一种方式使电流沿着无散场的路径流动。磁绝缘 边界条件可应用于电源边界，表示屏蔽电源内部细节的电流闭合，这种解释在直流、交流和瞬态仿真模式下均成立。这样可以简化电源的几何结构，尤其当电源距离关注的场区域较远时。

绕导线回路流动的电流由电源驱动，磁绝缘 边界条件表面上流动的电流代表了电源的内部。

作为波导条件

在时域或频域求解时，会存在非零电场，因此也会出现非零坡印廷矢量，或功率流，其表达式为：

在 磁绝缘 边界条件下，该矢量必须与表面电流平行，且不随时间变化。这意味着功率可以流经相邻的模拟介质，并平行于 磁绝缘 边界条件。这种解释更适用于较高的频率，此时的模型大小与材料内部的波长相当。在频域求解时，阻抗边界条件 和 过渡边界条件 也可用于波导结构仿真。

同轴电缆内部模型，建模域内的功率流（洋红色箭头）与表面上的电流平行。

结语

磁绝缘 边界条件有多种不同的解释，您可以根据当前的建模需求，自由选择其中任何一种。电流始终可以自由地沿着任何相邻的 磁绝缘 边界流动，在计算模型时，这些表面感应电流通常需要不同的解释，因此熟悉这个边界条件的所有效应非常重要。