向后差分公式法、广义 α 法和龙格-库塔法

问题描述

使用“瞬态求解器”时可以使用哪些数值方法？它们各自的优势是什么？我应该何时使用它们？

解决方法

瞬态求解器提供三种不同的时间步进方法：隐式向后差分公式、广义 α 方法以及显式龙格-库塔系列方法。

“向后差分公式”(BDF) 求解器是一种使用向后差分公式的隐式求解器，其精度在一阶（也称为后向欧拉法）到五阶之间变化。向后差分公式法的使用已经有很长的历史，并以其稳定性而著称。然而，这些方法会产生严重的阻尼效应，低阶方法尤其如此。“后向欧拉法”会严重衰减任何高频。即使您期望得到具有陡峭梯度的解，但由于该方法的阻尼效应，您可能会得到在时间上非常平滑的解。在 COMSOL 中，向后差分公式的实现具有阶数可变的性质。也就是说，在可能的情况下会使用高阶，但在必要时将自动采用低阶以获得稳定性。向后差分公式法也是一种“微分代数方程”(DAE) 求解器。

“广义 α”的属性与二阶向后差分公式类似，但底层技术不同。该方法包含一个参数（文献中称为 α），用于控制高频阻尼的程度。与向后差分公式（最高二阶）相比，“广义 α”具有更小的阻尼，因此更准确。出于相同的原因，其稳定性也较差。在 COMSOL 中，“广义 α”的实现表现为检测哪些变量在时间上是一阶，哪些是二阶，然后对这些变量应用正确的公式。即使“广义 α”常用于求解微分代数方程，但该方法并不是正式的微分代数方程求解器。“广义 α”于 1993 年被首次提出用于结构力学二阶系统，即具有二阶时间导数的系统（参考资料 1）。结构力学领域是该方法应用最为广泛的领域。人们于 2000 年提出了一个用于一阶系统（纳维-斯托克斯方程）的公式（参考资料 2）。

向后差分公式比“广义 α”更稳定、更通用，但同时会引入更多的阻尼。因此，对于结构力学、声学和瞬态电磁波等对过度耗散敏感的应用，“广义 α”是默认的瞬态求解器。在传递等其他应用中，通常需要较高的稳定性，因此默认使用向后差分公式。

显式“龙格-库塔”系列方法最适用于“常微分方程组”，但对于涉及“偏微分方程”的问题，往往不是很有效。

所有这些方法都提供以下选项：自由、中级、精确和手动时间步进，其中，自由通常为默认设置。“自由”时间步进支持求解器根据需要采用较大或较小的时间步，以满足指定的容差。求解器将尝试采用尽可能大的时间步，但如果解开始在时间上快速变化，则会在必要时减小时间步长。中级选项将强制求解器在瞬态研究设置的时间步栏中的每个间隔内至少采用一个时间步。此外，精确选项将强制求解器采用时间步栏中指定的时间步。手动时间步支持您指定求解器要采用的时间步，这对于提前知道解随时间变化有多快的波型问题非常有用。有关在一般情况下控制时间步的说明，请参见知识库 1254：控制瞬态求解器的时间步长。 有关对波型问题使用手动时间步的说明，请参见知识库 1118：解析瞬态波。

参考资料

1. J. Chung, G.M. Hulbert, *A time integration algorithm for structural dynamics with improved numerical dissipation: The generalized-alpha method, *. Appl. Mech. 60 (1993), 371-375.
2. K.E. Jansen, C.H. Whiting, G.M. Hulbert, A generalized-alpha method for integrating the filtered Navier-Stokes equations with a stabilized finite element method, Comput. Methods Appl. Engrg. 190 (2000) 305-319.

另请参见

有关更多信息，您可以搜索“帮助”（在 COMSOL Multiphysics 中按 F1），或打开电子文档（在 COMSOL Multiphysics 中按 Ctrl+F1），然后浏览到 COMSOL Multiphysics Reference Manual > Studies and Solvers > Solution Operation Nodes and Solvers > About the Time-Dependent Solver 一节。

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