如何求解空间导数阶数大于 2 的偏微分方程？

问题描述

如何求解空间导数阶数大于 2 的偏微分方程？例如方程

函数为

。

解决方法

您可以引入 u 的二阶导数的名称，如

.

此时方程可以写为

.

现在，您可以使用 COMSOL Multiphysics 对变量 u、P 和 Q 求解以下等效偏微分方程组：

该方程组也可以通过以下方程写成变量 u、P 和 Q 的一般形式偏微分方程：

Px, Py + Qyf

ux,0 P

0,uy Q

对于边界条件，请考虑以下示例：

1. 在边界上给出 u、u_xx 和 u_yy。这可以通过对 u、P 和 Q 使用狄利克雷条件来实现。

2. 在边界上给出 u 及其法向导数 du/dn。这意味着还可以计算 u 在切线方向的导数。因此，在边界上已知 u_x 和 u_y 的表达式。这些边界条件可以通过对 u 使用狄利克雷条件以及对 P 和 Q 使用诺伊曼条件来实现：

u,
,
,

其中

-nx

且

-ny.

这里提供的示例模型基于 f = 1 和以下边界条件求解此方程组：
边界 1 和 2：u = 0, u_xx = u_yy = 0
边界 3：u = x, u_xx = 0, u_yy = -x
边界 4：u = sin(y), u_x = sin(y), u_y = cos(y)

通过引入 u 的特定导数的名称，我们可以用类似的方式来处理其他高于二阶的方程。使用尽可能高阶的拉格朗日单元，可以使 u 的高阶导数尽可能平滑。

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