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提高半导体模型的收敛性

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使用 COMSOL Multiphysics^® 软件及其附加的半导体模块模拟半导体器件时，半导体 接口提供了降低模型非线性的假设以简化求解过程。然而，即使做出了这些假设，其控制方程（即模型方程）仍然具有高度非线性，这种非线性会导致计算模型时的收敛缓慢，或者收敛困难。本文我们将概述几种计算半导体模型时有助于提高收敛性的不同方法。

背景知识

半导体 接口通过求解半导体材料中在电场和浓度梯度影响下的静电泊松方程，以及电子、空穴传输的漂移扩散方程模拟半导体器件，还包括（通过 电路 接口）与器件级模型耦合的功能。

电路 接口可用于将半导体器件与外部电路连接起来，后者包括无源和有源元件；该接口还可以通过 SPICE 导入功能轻松地定义外部电路。

如半导体模块 User's Guide 中 “What Can the Semiconductor Module Do” 和 “Physics for Semiconductor Modeling” 两个章节中所详述，即使作出一些假设，半导体接口中的控制方程也具有高度非线性。根据不同的条件使用不同的公式，即基于有限元法（FEM）的公式和基于有限体积法（FVM）的公式。无论使用哪种公式，了解能够帮助半导体模型求解器收敛的技术都将是有益的。在接下来的章节，我们将讨论半导体仿真技术的各个方面，包括离散方程、网格划分、连续求解器、研究类型和求解器设置。

离散方程

有限体积公式是 半导体 接口的默认离散方法，本质上确保了局部电流守恒。众所周知，这种算法在求解非线性问题时具有稳定性和鲁棒性，并能为具有不连续性或局部特征的问题提供良好的精度，通常能提供最精确的电荷载流子电流密度结果。不过在某些情况下，使用其他离散公式可以使模型的计算效率更高，但这应该在对理论有充分理解的基础上进行。

COMSOL Multiphysics^® 中的大多数物理场接口基于有限元方法，因此改用有限元公式将使得半导体接口和其他物理场接口之间建立耦合的过程更加直接和高效。（尽管与有限体积法相比，有限元法在半导体模拟中使用的频率要低得多。）我们可以直接使用 d 算子 对变量进行微分，这在有限体积法中是不适用的。有限元方法的求解速度通常比有限体积公式更快，生成网格也更灵活，例如，使用线性形函数所需的自由度更小，计算速度更快。

半导体 接口的 设置 窗口，展开了单元离散化设置（左）和公式选项（右）。

对于对数有限元公式，因变量被定义为电子和空穴数密度的自然对数。COMSOL Multiphysics^® 6.2 版本对有限元公式（包括对数公式）的稳定性、准确性和效率都进行了显著改进。相较于有限体积法，有限元法计算速度更快，且对不同类型的网格具有更强的适应性（这一点将在后文详细讨论）。因此，半导体 接口中的大多数案例模型现在可以更高效地使用有限元公式进行求解，包括 双极晶体管、双极晶体管的 3D 分析 以及 双极晶体管的热分析 模型。这些模型充分体现了将有限元离散化与对数公式相结合的优势：不仅模型设置更加简便，而且求解效率更高。

准费米能级公式引入了电子和空穴的准费米能级作为因变量，用于简化漂移扩散方程的求解，并降低计算复杂度，适用于具有宽带隙或温度很低的系统，在这些系统中，电荷载流子的传输通常对势垒的形状高度敏感（如跨越势垒的隧穿效应）。默认的有限体积公式由于对网格界面上的变量进行了不连续处理，因此对于这些系统，需要在势垒附近使用更精细的网格。详细介绍，请查看教程模型：异质结隧穿。

密度梯度公式提供了一种高效的计算方法，可以在传统的漂移扩散方程中实现有效质量近似，同时考虑量子约束的影响。详细介绍请查看示例模型：纳米线 MOSFET。

总体原则

良好的初始条件与连续求解器

使用 半导体 接口求解的控制方程中存在非线性现象是由多种因素造成的：例如，载流子浓度与能带之间的指数关系；载流子浓度和掺杂分布的不均匀性；载流子的复合和生成过程；与电场相关的物理量；以及导致半导体材料非线性行为的许多其他因素。对于求解非线性问题，合理的初始值通常是求解成功的良好开端。在有限体积法建模中， 半导体平衡 研究通常可为后续逐步增加施加电压提供良好的初始条件。在有限元法中，平滑的初始条件同样有益。虽然这对泊松方程并非关键，但对于电子和空穴密度存在显著梯度的输运方程至关重要。因此，建议初始值应接近最终结果，并保持默认的 本征 初始条件。在没有外加电压或电流的情况下， 半导体 接口中的默认初始值为载流子浓度提供了良好的粗略估计。在求解稳态模型时，建议将电压或电流逐步增加至工作值。为此，可以将外加电压或电流定义为参数，然后启用辅助扫描功能，使其值从零开始逐步增大。缓变偏置电压也是一种获取 I-V 曲线的方法，可用于理解器件的电气特性。该扫描可在研究步骤节点（例如 稳态 研究步骤）的 设置 窗口中实现（如下图所示）。

在 稳态 研究步骤下启用辅助扫描（用于定义模型电压和电流的参数）。

请注意，您需要从 运行继续运算 列表中选择使用连续求解器的 最后一个参数 。当扫描类型设置为 所有组合 进行多次扫描时，建议将 重用上一步的解 设置为 自动。

通过调整研究步骤中 因变量值 部分的设置，初始值也可以使用另一项研究的解。为此，请在 待求解变量的初始值 下选择 用户控制，然后在 方法 选项中选择 解 ，最后从 研究 列表中选择最合适的解，如下图所示。

稳态研究步骤中的 因变量值 的设置，通过此设置可选择另一项研究中的解作为分析的起点。

除了逐步增加电流和电压外，连续求解器还允许逐步在控制方程中引入非线性因素，这对于高度非线性问题尤为有用。这一功能可以在多个物理特征节点（如掺杂、陷阱密度和异质结）的设置中，通过 连续设置 部分启用。

多个半导体物理特征节点中的 连续设置 部分。

要启用连续求解器，需在 连续参数 栏输入一个从 0 到 1 逐级递增的参数，用于确定方程贡献的比例，并缓慢增加系统的非线性贡献。当选择 使用界面连续参数 选项时，连续求解将与 半导体 接口设置窗口（如上图左侧所示）中的 连续设置 栏中指定的界面连续参数值关联起来，这样一来，就可以同时缓变多个特征（方程缩放、掺杂、陷阱密度以及选定的非线性贡献项）。

界面连续参数在 半导体 接口节点的 连续设置 部分进行设置。

界面连续参数的辅助扫描。

当逐渐增加掺杂浓度并选择有限体积法离散时，建议从一个较小的值（如 1e-6），而非从零直接开始，因为对于这种数值方法，连续求解器无法处理从无掺杂到有限掺杂的过渡。除了逐渐增加掺杂浓度外，还可以用同样的方法逐渐增加陷阱密度、偏置电压和电流等因素，以及场迁移率、复合和生成率等其他特性。

当启用连续求解器且载流子迁移率与电场相关时，将连续求解器中的 预测器 配置为 线性 可能会有所帮助。该设置通过采用线性外推法来估计下一个被扫描参数的初始近似值，从而加速电压扫描。默认情况下，常数 选项使用当前解作为起始估计值，这种方法更为保守，通常适用于大多数情况。

在求解器配置的 参数 节点中， 预测器 被设置为 线性。

在两种特殊情况下，使用一些方法可以获得良好的初始值：

1. 在异质结条件下，将 连续准费米能级 设置的解作为 热电子发射 设置的初始值（参见：异质结-一维。）
2. 在电流驱动偏置的情况下，将电压驱动偏置的解作为初始值（参见：InGaN/AlGaN 双异质结 LED。）

对于某些多物理场应用，可以先求解一个物理场，然后在后续的研究步骤中再求解全耦合模型。例如，在对光电器件进行建模时，可以先求解波动光学物理场，然后在后续的研究步骤中求解半导体与波动光学之间的多物理场耦合，此时求解器会自动将第一个研究步骤的解作为第二个研究步骤的初始值。

我们推荐以下学习资源，以了解运行连续求解器的更多信息：

• 提升非线性稳态模型的收敛性
• 非线性问题的载荷递增
• 通过递增非线性提升非线性问题的收敛性

网格划分

在细化半导体模型的网格时，必须确保结果不会发生大的变化。这种描述有时被称为 网格无关性。如需了解进行网格细化分析的不同策略，请查阅文章：执行网格细化研究.

根据您模型的半导体方程公式（如有限元或有限体积公式）的不同， COMSOL Multiphysics^® 将使用不同的网格对模型进行离散处理，会根据您正在模拟的物理特性以及用于定义模型的物理特性节点自动细化网格。

对于有限元和有限体积法，在结点附近创建更精细的网格至关重要。例如，在薄绝缘体栅极附近，网格单元大小需要能够解析氧化物厚度。这可以通过在几何模型中为氧化物厚度创建一个网格控制区域来实现（参见 MOSCAP 一维模型，也可采用映射网格技术（用于二维）或扫掠网格技术（用于三维）为局部细化生成预定义的网格分布（参见 沟槽栅极 IGBT 三维模型。另一种情况是在肖特基接触处附近，需解析耗尽区。除栅极边界外，结点附近区域还包括异质结、掺杂分布边缘及陷阱辅助表面。

另一种细化网格的方法是使用研究设置中的 自适应 功能。该功能可以在解的误差最大的几何区域自动细化网格。半导体模块还提供了一种预定义的研究类型，即 半导体初始化 研究，用于根据杂质掺杂浓度的梯度自适应地细化网格。它求解了一个可使在掺杂梯度较大的区域细化网格的非物理方程。

半导体初始化 研究步骤，其中 自适应和误差估计 节点设置被展开。

推荐您阅读以下资源，进一步了解网格划分的常用技术及其在半导体建模中的应用：

• 网格划分的工作流程、基本原理和最佳操作方法概述
• 模拟半导体器件的网格划分实践教程
• 网格划分的操作和参数介绍
• 如何借助扫掠网格改进网格划分
• 构建扫掠网格

有限体积法（FVM）：提升收敛性的方法

网格划分

在有限体积公式中，使用三角形或矩形网格单元对二维模型进行划分最有效。至于三维模型，创建三角形或矩形单元的边界网格，然后使用扫掠网格是最理想的方法（对于三维模型中的有限体积，目前还不支持四面体单元）。可以在晶圆表面的平面上建立三角形网格，然后使用扫掠网格将网格扩展到三维晶圆域，这种实现方式对于某些应用（如栅极接触）尤为重要。下图为应用这种方法的示例，显示了使用有限体积公式的三维栅极模型的网格。

使用扫掠网格生成的三维栅极接触的网格示例。在这个 双极晶体管的三维分析 教程模型中，扫掠网格的方向在垂直于栅极的 Z 方向上，单元比为 0.25。发射极是最左边的红色部分，基极是最右边的红色部分，集电极是最下面的红色部分（很薄，沿着底部周边显示为线）。在接触之间高斯分布掺杂的减退区域，对网格进行细化。

平衡研究

半导体模块提供一种预定义研究类型，即 半导体平衡 研究，可以为施加电压的递增提供良好的初始条件。它在假设系统处于热平衡状态的情况下计算半导体解，当电荷载流子处于热平衡状态时，只需求解泊松方程（同时仍需考虑电荷载流子和电离掺杂物的空间电荷密度）。这为已知处于平衡状态的系统提供了最有效的解，同时也为非平衡模型的求解提供了生成初始条件的选项。请注意，根据平衡条件的要求，连接到同一个 半导体材料模型 域的所有金属接触都偏置在一个共用电压下，默认电压为零。

半导体平衡 研究的偏置电压。

推荐阅读以下资源，进一步了解文中提到的技术：

• 纳米线陷阱教程模型
  • 使用连续求解器（通过前文讨论过的辅助扫描和连续参数）递增模型的非线性贡献
• 异质结-一维教程模型
  • 介绍了达到静态（稳态）研究收敛的一些标准方法
• PIN 二极管的正向恢复 和 反向恢复 教程模型
  • 使用 瞬态 研究步骤中模型的平衡或稳态解作为初始条件进行演示

求解器容差

求解器容差在数值计算中起着至关重要的作用，选择适当的求解器容差对平衡计算效率和精度至关重要。 COMSOL Multiphysics^® 通常会根据问题的特征、所需精度和计算约束默认定义求解器容差。在半导体仿真的某些情况下，例如少数载流子器件仿真，可能需要收紧求解器容差，以确保求解在足够的精度范围内收敛。如果结果中的载流子浓度为负值，则应将求解器容差从 1e-6（默认值）收紧到 1e-9 或更低来求解这个非物理问题。

异质结-一维教程模型展示了收紧求解器容差的技术，用于帮助收敛并提高稳态（稳态）研究的精度。

稳态研究的求解器容差可在 求解器配置 > 稳态求解器 节点中进行调整。瞬态求解器 有相对和绝对容差设置，其中 相对容差 设置可在 瞬态 研究步骤中使用，绝对容差在 求解器配置 > 瞬态求解器 节点中设置。

瞬态研究步骤中的 相对容差 设置。

瞬态求解器 节点中 绝对容差 的设置栏。

除了求解器容差外，还可以调整其他一些求解器设置来帮助求解器收敛，包括使用 全耦合和直接求解器、增加最大迭代次数，以及将因变量的缩放比例设置为 基于初始值。

增加最大迭代次数。

缩放因变量。

有限元法（FEM）：提升收敛性的方法

网格

在有限元方法中，对数公式和线性公式均能很好地与各种类型的网格单元配合使用。采用有限体积公式求解三维双极晶体管模型通常需要一天时间。然而，借助 COMSOL 6.2 版本中改进的有限元离散化方法（采用对数公式），该模型在标准个人电脑上仅需 15 分钟即可完成求解。这主要得益于对数公式在有限元离散化中的几项关键特性：首先，与有限体积公式不同，三维有限元公式无需采用扫掠网格。其次，采用线性形函数的有限元对数公式显著降低了四面体网格所需的自由度。

在评估模型解的整体准确性时，考察全局电流守恒对网格的依赖性十分重要。如果在进行网格细化分析后，电流守恒性仍然不佳，则可能需要收紧求解器容差，本文上文对此有进一步讨论。

结语

在这篇文章中，我们介绍了可用于提升半导体模型收敛性的一些通用方法，讨论了半导体建模技术中各个方面的影响，包括网格划分、离散化公式、连续求解器和求解器设置。在所有这些因素中，建议逐步增加激励，即逐步将电压/电流增加到其工作值。另一种方法是使用连续求解器，它允许逐步将非线性因素引入控制方程，例如掺杂浓度和陷阱密度。这些方法有助于确保向工作值的平滑过渡，从而使模型获得更加准确、稳定的解。

进一步学习

进一步了解文中介绍的技术和探索新的建模技术，请查看以下资源：

• 提升非线性稳态模型的收敛性
• 提升非线性瞬态模型的收敛性
• 有限元网格划分和细化
• 执行网格细化研究
• 为几何模型划分扫掠网格