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附录 A：关于扫掠网格划分优势的更多内容

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无论您求解的是什么物理问题，扫掠网格都有三大优点，即：

1. 可以减少网格单元的数量。
2. 可以在薄几何结构中生成高质量的网格单元。
3. 可以高效生成网格。

接下来，让我们来详细地了解每一项优点。

减少网格单元数量

对于任意类型的大小相同的均匀体网格（即所有单元大小相同），单元数量 与网格总体积 成正比，与网格大小 的立方成反比：

我们对这个比例常数很感兴趣。可以看出，对于给定的网格大小和体积：

• 棱柱网格的单元数量是四面体网格的 1/7。
• 六面体网格的单元数量是四面体网格的 1/17。

虽然在实际问题中，由于几何结构的复杂性所导致的细化，网格几乎永远不会是完全均匀的，但这给出了一个很接近的数量级。

用于离散模型域的单元数量会影响求解模型所需的计算时间和资源。但是在求解时，单元数量并不重要，自由度数（DOF）才是关键。例如，求解温度场（使用能量守恒方程）意味着求解每个计算点的单个自由度，而求解固体力学意味着求解每个计算点的至少三个变量，后者需要更多的计算时间和资源（当我们使用类似的求解策略时）。此外，对于非线性问题，我们可能会进行迭代求解，导致模拟会更加消耗时间和资源。

下面的动画展示了三种最常见的离散化类型（线性、二阶拉格朗日和二阶巧凑边点单元）的单元节点位置：

不同体网格单元的二阶拉格朗日单元节点（红色、黑色和蓝色点）位置。如果去掉蓝色节点，则得到相应的二阶巧凑边点单元。线性单元节点用红点表示，与网格顶点相对应。

请注意，对于三种离散化类型中的任何一种，虽然每个棱柱和六面体单元包含更多的自由度，但由于扫掠网格中的单元总数较少，因此得到了补偿。总的来说，考虑到网格单元的数量的极大减少，虽然净增益低于我们的预期，但效果仍然是相当显著的。另外需要注意的是，采用巧凑边点单元离散化的四面体单元与采用拉格朗日单元离散化的四面体单元具有相同的自由度数，这意味着采用巧凑边点单元离散化的扫掠网格具有更加显著的净增益。

可以看出，在离散度和大小相同的情况下，由棱柱或六面体组成的均匀网格与由四面体组成的均匀网格相比，仅需要：

• 大约 1/2 的自由度数，如果使用线性或二阶拉格朗日离散化
• 大约 1/4 的自由度数，如果使用二阶巧凑边点单元离散化

薄几何结构中的高质量单元

在本节以及整个课程中，我们应该牢记，质量指标更多是指可能会更容易获得仿真结果，而不是一个绝对的概念，如何理解这一点取决于模型和所求解的物理场类型。因此，当我们提到网格“好”时，意味着用户采取了符合物理场需求，最适于求解的网格质量。

好的单元质量是我们应该努力实现的目标，因为它会影响数值问题的稳健性。根据经验，网格应该能得到一个好的刚度矩阵（网格的质量反应了这一点）。关于网格质量的更广泛讨论不在本课程范围内，但它是数值分析的基本主题之一。

好的网格应该包含尽可能少的单元数量，但又要有足够的数量以确保解的精度。网格单元也应该具有高质量，因为质量更高的网格可以提供更好的收敛性。需要注意的是，这些属性通常是相互矛盾的，您需要根据自己的仿真需求来判断和决定哪种是最佳的折衷方案。

构成扫掠网格的棱柱或六面体具有良好的偏度质量，即使这些网格单元可能非常扁平。换句话说，它们可以沿一个方向拉伸或压缩，但其偏度质量不会受损，这与四面体不同。

从左至右：四面体、棱柱和六面体网格单元从最佳形状（所有长度相等）被垂直压缩为扁平形。

对于这种情况，其他类型的评估网格质量的指标（如体积与长度）报告的网格质量会偏低，扫掠网格单元也是如此，因为这些指标考虑了长宽比（最大与最小长度之比）。由此看来，这似乎是一个矛盾。那么，“值得信赖”的质量标准是什么呢？这要看情况。

一般情况下，刚度矩阵的最大和最小系数之比与长宽比的平方成正比。换句话说，对于细长的单元，矩阵会因为拉伸的单元而变得条件不良。从物理学角度来看，如果待求解的物理场具有较强的交叉梯度（对角线上的梯度，在大多数固体力学问题中很常见），则 不 应使用高纵横比的扫掠网格，因为求解可能无法收敛或不准确。

然而，对于其他特定的场，交叉梯度或许可以忽略不计。在这种情况下，偏度质量是一个很好的指标（棱柱和六面体单元保持高值）。因此，扫掠网格使我们能够使用更少的单元和自由度数，同时保持解的稳健性。

在薄几何结构上量化扫掠网格单元的好处

假设在物理场上可以使用细长的网格单元，有两种情况需要考虑。

第一种情况适用于细长的几何结构，如电缆和管道。您需要创建一个沿几何结构长度方向存在或多或少拉伸的扫掠网格。例如，扫掠网格单元的长宽比为 ，自由度数比四面体少 （如果是巧凑边点单元离散化，则为 ）。

Two stacked elbow pipe geometries with different meshes.

弯管几何结构的两种网格的比较。扫掠网格（上）由长度为面网格大小两倍的棱柱组成（因此，）。与长宽比为 1 的棱柱相比，如果使用二阶拉格朗日单元离散化，前者的自由度数减少了约 2 倍。总的来说，与四面体网格（下）相比，扫掠网格的自由度数减少了 4 倍。

第二种情况适用于窄的几何结构（厚度较小的板状几何）。对于这种几何结构，效果更加明显。为了达到各向同性，四面体需要至少具有与这个较小的厚度尺寸相当的大小，而扫掠单元在扫掠的垂直方向上可以很大。对于纵横比为 的扫掠网格单元，自由度数现在减少了 ！（对于巧凑边点单元离散化，则减少了 。）这一原理也可用于使用边界层网格求解壁面附近的高流速梯度问题。

谐振器几何结构的两种类型网格的比较，放大其中一个角。左图显示的是使用棱柱单元扫掠网格划分的几何体，右图显示的是使用非结构化自由四面体网格划分的几何体。在这两种情况下，网格都以相同的单元数解析深度。然而，棱柱的长宽比为 50。这意味着表面上的单元数量减少了 2500 倍。总的来说，这意味着右侧网格的自由度数大了约 5000 倍。

高效生成网格

相比较而言，使用四面体网格划分大型网格时，内部节点的插入可能需要很长时间，因为它是非结构化的。而生成扫掠网格的速度相对较快，因为扫掠网格基本上只需要对边界进行网格划分，内部节点是自动推导出来的。这是在本文的讨论范围内的一个简化解释。然而，尽管网格生成速度更快，但为了使几何结构 “可扫掠”，可能还需要一些几何操作，这部分操作通常需要额外的时间，在某些情况下不可忽视。

示例

如果使用得当，扫掠网格可以更快地完成针对不同设计的网格划分，并且比其他类型的网格所需的内存资源更少，从而使整个解决方案和产品的开发过程更快、更精简。使用扫掠网格的最大优势是，我们可以将垂直于扫描方向的网格离散化与沿扫描方向的离散化解耦，这在很多情况下都很有用，例如下图中的 表面微机械加速度计 教程模型就是一个很好的例子。微机电系统（MEMS）由于具有高纵横比，因此非常适用于扫掠网格。

The geometry for the Surface Micromachined Accelerometer.

MEMS 加速度计教程模型的几何结构。为便于观察，隐藏了顶部空气域。

为模型几何结构生成缺省四面体网格将超过 120,000 个单元，而使用棱柱单元的扫掠网格仅包含 30,000 多个单元，差异显著。由于该几何结构具有特殊的拓扑结构，扫掠网格中的单元比理论预测的要多。在自由度方面，扫掠网格比缺省网格少了 1.3 倍。前者的最小单元质量也高于后者。

MEMS 加速度计教程模型的缺省四面体网格（左），单元尺寸设置为 常规。在相同的几何体上使用扫掠网格（右）包含的单元明显更少。