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使用偏微分方程（PDE）接口建模：对流-扩散方程

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本文为使用偏微分方程（PDE）接口建模系列课程的第 3 部分，我们将对 第 2 部分 中演示的使用扩散方程建模的技术进行扩展，讨论如何通过 系数形式偏微分方程 接口来创建对流-扩散方程模型。

连续性方程

通过分析质量守恒连续性方程，我们可以更好地理解系数形式偏微分方程中一些项的来源。首先，让我们复习一下用于描述流体中质量传递的连续性方程：

其中， 是质量密度，  是流体的速度，可能来自于流体方程（如纳维-斯托克斯方程）的解。这个 连续性方程 描述了通过对流传递的质量守恒。

连续性方程也可用于化学物质的质量传递。在这种情况下，用摩尔密度或浓度 代替质量密度 。在不发生反应的情况下，方程的形式如下：

如果把反应计算在内，等式将改为

其中， 称为 反应项。在此，为简化起见，我们假设 。

 是质量（或摩尔）通量。对于稳态传递，我们可以得出

连续性方程为

另一种模拟质量守恒的方法是使用封闭表面 上积分形式的连续性方程：

其中  是单位表面法线，或者更通俗地说，对于通量而言：

这一关系表明，质量通量在封闭表面  上守恒，或者说平衡，也可以说 “从一侧进入控制体积的质量必须从另一侧出来”。

大致来说，稳态连续性方程表明，从一侧进入控制体积的任何通量都需要从另一侧出去。

加入时间导数项后，我们还可以计算随时间变化的速率。

请注意，除质量和浓度外，守恒方程还可用于许多其他不同的物理量，如电荷或热量的守恒。有关守恒方程的更多信息，请 点击此处。

对流和扩散通量

质量通量经常会有一个扩散项：

其中， 是扩散系数。

在这种情况下，连续性方程为

或者

A microchannel mixer model in the rainbow color table with a slice through the middle.
微通道混合器案例模型 中的扩散通量（红色箭头）和对流通量（蓝色箭头），通道中间的彩色切面可以直观地看到物质的浓度。扩散通量从高浓度区域流向低浓度区域。在这个示例中，对流通量来自纳维-斯托克斯方程的解。

根据流体是否可压缩，可能存在两种不同的对流项。为了理解这一点，让我们来分析对流项的散度：

对于不可压缩流体，我们可以得出 ，因此:

在系数形式偏微分方程中，  称为 守恒对流项，而 称为 非守恒对流项，或简称 对流项。

对流-扩散方程的系数形式偏微分方程

现在，让我们将下列项与以浓度变量 为因变量的系数形式偏微分方程的各项进行比较：

可以看到，对于连续性方程所描述的质量传递而言：

或者

如果有一个化学反应项 ，那么

请注意，在流体可压缩的情况下，我们使用 ，如果已知流体不可压缩，则可以使用 。请注意，我们需要从这两个系数中选择一个来表示对流。

对于 系数形式偏微分方程 接口，有两个重要的边界条件。第一个是用于模拟边界通量的广义 纽曼 边界条件：

,

第二种是用于在边界上分配固定因变量值（在本例中为浓度）的 狄利克雷 边界条件：

可以看到，对于纽曼条件，从偏微分方程 “继承” 并指定了进入边界的质量通量。

守恒源项 提供了一种表示矢量源的方法，比标量源项 ，更适合某些应用。例如，在使用 电流 接口时，电流守恒偏微分方程中的守恒源项对应于外部产生的电流 ：

使用守恒源项的另一种情况是多孔介质流动仿真，其中重力以一种自然的方式作为外部源项 进入方程，得到达西定律偏微分方程：

有时，守恒源项来自另一个因变量所代表的另一个物理方程。例如，在结构力学中，这个项可能与温度或湿度差异引起的体积应变相对应。

数值稳定性

从数值分析的角度来看，对流-扩散方程非常有趣，因为它的求解具有挑战性。如果对流比扩散多，就会出现数值不稳定性。为了解决这个问题，我们可以通过各种方法增加人工扩散项。最简单的方法是通过增加扩散系数的值来增加扩散；然而，这将增加计算域所有方向的扩散，也称为 各向同性人工扩散。这种方法的缺点是，虽然可以稳定方程，但对解的改变有点大，因此本质上我们求解的不是原始方程。由数值分析理论可知，增加各向异性人工扩散比增加各向同性人工扩散更好。沿速度场方向（  或 ）增加的扩散称为 流线扩散，垂直于该速度方向增加的扩散称为 侧风扩散。由数值分析理论可知，流线扩散应多于侧风扩散。更多信息，请阅度博客文章 使用 COMSOL 理解稳定性方法。

如果我们在 数学 接口下选择 稳定-对流扩散方程 接口，稳定性将以数学上一致的方式自动完成，如下图模型向导所示。此外，如果使用任意一种内置的物理场接口模拟传递（如 稀物质传递 接口）或流体流动，稳定性也会自动实现。当采用稳定性方法后，网格越精细，添加的人工扩散就越少。因此，随着网格的细化，解会逐渐趋近于原始方程的解。

The Add Physics window in COMSOL Multiphysics with the Stabilized Convection-Diffusion Equation interface selected on the left and the Add Physics window with the Transport of Diluted Species interface selected on the right.
稳定对流-扩散方程 接口（左）和 稀物质传递 接口（右）。

非线性方程：求解 Eikonal 方程

现在，让我们来看看如何求解非线性对流扩散偏微分方程。举例来说，我们求解计算边界距离的程函（Eikonal）方程时，可以通过使用不同版本的程函方程，采用更复杂、更稳健的方法来实现。如果我们愿意，可以使用偏微分方程接口来实现这个更稳健但也更复杂的方程。不过，壁距离 接口已经内置了这一功能，多个流体流动接口都使用该接口进行各种与距离相关的计算。有关该接口的更多信息，请参阅 COMSOL 博客 使用 壁距离 接口的技巧概述。

这里，让我们将问题简化一下。首先，假设在计算域内，可以用一个偏微分方程的解来表示到表面的距离 。事实证明，至少在相当光滑的边界附近，程函方程可以用来计算 到边界的距离：

如果使用狄利克雷条件：

那么，在内部或外部的任何一点， 都将是到边界的最短距离。然而，只有当 “足够接近” 边界时，这个结论才是正确的。我们所说的 “足够接近” 取决于几何形状，当远离边界时，最终可能会到达一个点，在这个点上有此方程的多个解，这时这个策略就失效了。换句话说，由 的等值线或等值面形成的 “相位前沿”（对程函方程解的光学解释）发生了碰撞。

如何使 COMSOL Multiphysics^® 软件中的一个 PDE 接口来计算程函方程呢？

有多种方法。其中一种方法是可以将梯度场  视为流体的速度场。如果我们取偏微分方程的平方，就可以得到：

将这个方程与下面的 系数形式偏微分方程 进行比较：

其中

且

可以看到，在这种情况下，速度场来自因变量本身的梯度。方程中引用了变量自身，这意味着我们获得了一个非线性偏微分方程。使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 PDE 接口，可以计算很多非线性偏微分方程，虽然它们通常比线性偏微分方程更难求解，甚至许多非线性偏微分方程都没有解，并可能与合理的物理现象不符。程函方程也不例外，除非使用一些特殊的方法，否则很难求解，如前面使用内置 壁距离 接口时所述。

在这个例子中，我们将尝试使用通用偏微分方程模板求解程函方程，预计至少会遇到两个问题：

• 如之前了解的，对流方程通常很不稳定，除非我们添加一些扩散因素
• 当相位前沿碰撞时，可能没有唯一解

解决这些问题的最简单方法是加入一些人工各向同性扩散，这有时被称为 黏度法。我们可以通过指定一个扩散系数来做到这一点，它不能太大，以免破坏解的质量。但是，我们将不得不满足于只能得到程函方程的近似解，最终将求解的方程为：

我们可以使所需的扩散量与单元大小成正比。单元大小可使用一个内置变量 h 来获取，我们可以在扩散系数的表达式中使用它，其值越小，需要添加的扩散量就越少，结果也就越接近原始程函方程的解。

由各向同性扩散数值稳定理论（详细信息请参阅 理解稳定性方法）可知，为了避免振荡，我们需要的各向同性扩散量  是：

其中，  ，  是一个常数，取决于单元阶次和网格单元大小的变化速度。对于程函方程，我们可以得出

这样关系就简化为

但是，对于一般的非线性方程和几何结构，很难证明这种策略是否有效，也很难确定应该增加多少人工扩散。这里使用的设置显示在下面的截图中，使用的值为 。 由于扩散系数  无单位，因此使用单位转换 1/m 将长度单位 h 进行无量纲化。

系数形式偏微分方程 的设置，用于直接求解程函方程。

狄利克雷边界条件 适用于某些边界，如下图所示。

The COMSOL Multiphysics UI showing Dirichlet Boundary Condition 1 selected in the Model Builder, the corresponding Settings window, and a test geometry in the Graphics window. 利用 狄利克雷边界条件 求解程函方程

如下图所示，通过使用等值面或过滤器数据集，可以检索到与边界或壁一定距离相对应的相位前沿。（有关使用这些数据集的更多信息，请参阅 这篇博客）。 因此，这种方法可用于生成偏移面。等值面可以导出为 STL、PLY 或 3MF 文件，并用于不同仿真的几何导入。

The COMSOL Multiphysics UI showing Isosurface 1 selected in the Model Builder, the corresponding Settings window, and a test geometry with a colored slice plot in the Graphics window. 在一个长约 50 个长度单位的测试几何结构（包括不同曲率对象）中的程函方程解。在这张结果图中，显示了距离 1.0 所生成的灰色偏移等值面。彩色切面图显示的是解。

扩展学习

本文中相关的模型文件包含一个 MPH 文件，使用了 系数形式偏微分方程 求解程函方程。为了更快、更高效地求解，使用了带多网格预处理的 GMERS 迭代求解器。作为练习，这些结果可以与使用内置 壁距离 接口求解的结果进行比较，您将发现两者的结果非常一致。欢迎下载本文随附的模型文件，开始学习。