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使用 COMSOL Multiphysics^® 的偏微分方程接口建模

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本课程分为 11 个部分，介绍如何在 COMSOL Multiphysics^® 中使用偏微分方程（PDE）接口进行建模仿真。通过 COMSOL^® 软件中全面、详细的分步演示，您将学会如何求解微分方程，包括偏微分方程（PDE）、偏微分方程组和常微分方程（ODE）组。课程的每一部分都包含示例模型文件，您可以按照自己的节奏进行学习。本课程不但适合软件初学者，也适用于希望提升基于方程建模技能的有经验用户。课程涵盖了广泛的物理学和数学知识，其中包括电磁学、结构力学、声学、化学工程和流体流动，等等。尽管对于本课程所列举的几乎所有示例，软件中都有对应的、容易使用的内置物理场接口，但是无论从哪方面考虑，学习如何使用 COMSOL Multiphysics^® 中基于方程的接口来求解对应的方程，对您掌握软件功能都很有帮助。例如，您可以：

• 掌握实现自定义方程的必要技能
• 扩展和修改内置的物理场接
• 更深入地理解软件的底层设置和运行原理

此外，出于教学目的， COMSOL Multiphysics^® 也是一款能够通过亲身体验来学习偏微分方程的优秀软件。

本课程并不会讲述偏微分方程的所有基础知识及其概念和应用，而是介绍如何使用 COMSOL Multiphysics^® 进行偏微分方程建模。如果您需要对一般的偏微分方程数学建模知识进行复习，请阅读 COMSOL 网站的多物理场仿真百科知识中的 “物理定律、偏微分方程和数值建模” 章节。

模型向导，展开了偏微分方程建模的数学接口分支。

整个课程涵盖的主题如下：

第一部分：泊松方程和拉普拉斯方程

• 从使用偏微分方程数学接口建模开始
• 建立您的第一个方程
• 使用有限元法和边界元法进行求解
• 定义您自己的场量并检查结果

第二部分：扩散方程

• 使用经典偏微分方程接口建模
• 使用 系数形式偏微分方程 和 一般形式偏微分方程 接口建模
• 偏微分方程各个系数的物理含义
• 理解边界条件
• 基于方程建模用户界面中的语法

第三部分：对流-扩散方程

• 连续性方程
• 对流和扩散通量
• 使用 系数形式偏微分方程 接口求解对流-扩散方程
• 数值稳定性
• 非线性方程

第四部分：坐标变换

• 使用柱坐标系变换偏微分方程
• 对流-扩散-反应偏微分方程的轴对称建模
• 使用 系数形式的偏微分方程 和 一般形式的偏微分方程 接口分析化学反应器

第五部分：使用低维度的 PDE、ODE，以及 DAE 接口

• 低维度的 PDE 接口
• 使用 系数形式边界偏微分方程 接口
• 使用方程接口计算壳电流
• 耦合不同维度的 PDE
• 使用分布式 ODE 和微分代数方程（DAE）
• 使用代数方程

第六部分：全局 ODE 和 DAE 接口

• ODE 的 全局方程 接口
• 初始值问题
• 线性标量 ODE
• 线性 ODE 方程组
• 非线性 ODE 方程组
• 混沌方程组
• DAE
• PDE 和 ODE 耦合

第七部分：亥姆霍兹方程

• 波动方程和亥姆霍兹方程
• 求解平面波问题
• 辐射边界条件
• 复值变量
• 赫姆霍兹方程模型的网格划分和求解技巧

第八部分：多物理场耦合方程组

• 使用多个因变量建模
• 使用偏微分方程接口计算焦耳热
• 定义单位

第九部分：矢量和张量方程组

• 使用偏微分方程分析结构力学
• 使用 系数形式偏微分方程 接口计算平面应力
• 自定义方程和内置方程的结果比较

第十部分：使用标量方程的弱形式

• 能量最小化问题
• 变分法
• 理解偏微分方程的弱形式
• 使用弱形式计算静电和电流方程
• 点电荷和点源

第十一部分：使用方程组的弱形式

• 线弹性方程的弱形式
• 使用弱形式计算平面应力
• 方程视图 窗口
• 常见物理场的弱形式
• 使用 弱形式偏微分方程 接口的不同方法

课程第 9 部分内置的模型树示例，显示了使用预定义物理场接口的模型设置（左）和基于方程的模型设置（右）。

学习完这门课程后，您将透彻的了解在 COMSOL 软件中用偏微分方程建模的工作流程，并可以尝试分析您自己的自定义方程组。