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使用偏微分方程（PDE）接口建模：坐标变换

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本文是使用 COMSOL Multiphysics^® 软件的 PDE 接口建模系列课程的第 4 部分，介绍如何使用柱坐标建立轴对称对流-扩散-反应偏微分方程。有一种简便的方法是使用质量传递的内置物理接口，只需在添加模型组件时选择 二维轴对称 选项即可。出于教学目的，本文将重点介绍如何手动进行必要的坐标变换，并向您展示如何使用 系数形式偏微分方程 和 一般形式偏微分方程 接口实现轴对称方程。这里使用的技术适用于任何以柱坐标和类似的球坐标表示的方程或方程组，并且可以在方程或方程组没有内置轴对称选项时使用。

管式反应器

为了说明如何使用柱坐标，我们将使用 系数形式偏微分方程 接口和一般 形式偏微分方程 接口，建立一个简化版的 带非等温冷却夹套的管式反应器 教程模型。您可以在 COMSOL 软件的案例库和官网案例下载页面找到对模型的完整介绍和介绍与原始模型相对应的模型文件，以及基于同一模型创建的仿真 App。

管式反应器模型研究了层流状态下管式反应器中的液相基本化学反应：

在原始模型中，反应器配有冷却夹套，以限制由于反应放热而导致的温升并避免爆炸。如下图所示，该模型由相关物质的物料平衡以及反应器和冷却套的能量平衡来描述。

管式反应器示意图。

本文，我们将使用该模型的简化版本，即忽略冷却套，仅模拟等温条件下反应器中的质量传递和反应。

下图显示了管式反应器的三维几何结构（一个圆柱体）。

管式反应器的三维几何结构。

我们将利用边界条件和流动模式呈现轴对称这一事实，使用下图所示的几何图形在二维环境中进行建模并求解。

管式反应器的二维几何形状为一个轴对称模型。

在此二维模型中，通常 y 轴 被当作对称轴，这里重命名为 z 轴。同样，X 轴 也被重新命名为 r 轴。要完整描述柱坐标，除了 r 坐标 和 z 坐标外，还需要方位角 。 不过，基于模型中的假设，后续我们可以消除方位角分量。

我们将在稳态下研究反应器，因此希望求解的对流-扩散-反应方程（以笛卡尔坐标表示）为：

其中， 是扩散系数， 是物质 的浓度， 是流体速度，and 是反应速率。

柱坐标

在 COMSOL Multiphysics^® 中，数学 接口始终假定 nabla（或 del）符号 采用直角坐标定义。

为了在柱坐标中定义偏微分方程，首先需要手动进行必要的坐标变换，然后将系数与系数形式偏微分方程或一般形式偏微分方程匹配，因为它们总是用直角坐标表示的。有关柱坐标的更多信息，请参阅 此处。

在圆柱形的 r 坐标， 坐标 和 z 坐标 中，标量场 的梯度算子是：

而向量场  的散度算子为

将其应用在我们的对流-扩散-反应方程式，得到

在此，我们假定流体速度使用柱坐标表示，因此

现在，假设解满足轴对称，这意味着所有关于  的导数都消失了。此外，我们还可以假设 是一个常数，然后得到：

展开这个乘式，我们将得到：

为了进一步简化，利用链式法则展开第一项：

假设层流的水流没有径向成分，因此

综合上述各项，我们就得到了

将上式重新进行排列，得到：

这种公式几乎可以用于系数匹配。但是，如果 ，我们会遇到对称轴上存在的除零问题。

要解决这个问题，只需将等式乘以  即可：

将方程转换为柱坐标或球坐标时，必然会出现除零问题。与 数学 接口不同，二维轴对称的内置物理场接口会自动处理这个问题。

要将此偏微分方程与 系数形式偏微分方程 模板匹配，首先需要 “忘记” 我们是在使用柱坐标并意识到：

然后与下式比较：

这样，我们就可以使：

请注意，对流系数 并不包括 x 分量 ，这是由于扩散系数取决于 ，因此已经隐含了这一系数。当我们确定 时，已经隐含地将该系数带入了散度算子。要了解其原理，需要小心 “向后” 应用链式法则。当我们用 在扩散项上应用散度算子时：

根据链式法则，我们将在 r 方向上得到一个额外项。为了清晰表达，分别写出了每个部分：

对 进行偏导，得出

而这个表达式中的第一项已经出现在前面推导出的方程中。

这表明，为了在柱坐标或球坐标下实现偏微分方程，有必要仔细推导转换方程，因为系数形式偏微分方程或一般形式偏微分方程中的系数可能有非直观的贡献。

管式反应器参数

在管式反应器模型中，扩散系数 取常数 m²/s.

假设速度具有已知的抛物线型分布：

其中， 是平均速度， 是管式反应器半径， 是径向坐标。

反应速率为阿伦尼乌斯表达式：

其中， 是活化能， 是频率因子， 是气体常数， 是恒温，因为我们假设反应器等温。但实际上，反应器通常不会是等温的。管式反应器 教程模型描述了这种更真实的建模情况，其中 是传热方程的因变量，并同时求解了传热方程与对流-扩散-反应方程。

边界条件

现在，我们已经确定了方程的系数和因变量

如下式所示

已知诺伊曼边界条件：

对应的形式为：

其中，系数  和  可用于模拟边界上的各种现象。

狄利克雷条件为：

且不受坐标变换的影响。在管式反应器的例子中，我们将在入口处使用此狄利克雷边界条件。

我们希望化学物质能顺利通过出口，可以通过使用诺伊曼边界条件来实现这一目标：

这样，我们就不会人为地从扩散通量项中获得通过边界的质量传递，而所有质量传递都隐含地来自对流方程项：

使用系数形式偏微分方程模拟管式反应器

为了使用 系数形式偏微分方程 接口设置管式反应器模型，首先使用模型向导启动一个新模型，并在 选择空间维度 窗口中选择 二维轴对称 选项，如下图所示。

模型组件空间维度的二维 轴对称 选项。

在下一个 选择物理场 页面中，选择 数学 接口的系数形式偏微分方程 ，将 场名称 和 因变量 栏更改为 cA，并将单位分别更改为 浓度 和 反应速率。如下图所示，在 物理量 对话框中，浓度 单位在 常规 选项下，反应速率 位于 传递 文件夹中。

系数形式偏微分方程 接口的设置。

然后，在下一个 选择研究 页面，选择 静态研究。

建立的几何模型是一个简单的矩形，宽 0.1，高 1.0，如下图所示。

模型的几何形状。

在模型向导的 选择空间维度 页面中选择 二维轴对称 选项时，软件会自动将 x 坐标 和 y 坐标 分别重命名为 r 坐标 和 z 坐标。此外，我们还将得到一条虚线，代表 r = 0 处沿 Z 轴 的对称轴。您应该将几何体视为绕该对称轴旋转 360 度所形成的结构。

对于内置物理场接口，当我们为模型组件的空间维度选择 二维轴对称 选项时，控制方程将实现自动转换（通过乘以  等方式）。但是，对于系数形式和一般形式等 PDE 接口，不会对方程进行转换。如上所述，您必须手动执行这些转换。

在定义偏微分方程系数之前，需要定义一些参数和变量，可取自 管式反应器 教程模型，在其文档中可以找到有关模拟的化学工程方面的更多信息。您可以通过下载与本文相关的文本文件，将参数和变量（如下所示）加载到模型中。

管式反应器模型的全局参数。

管式反应器模型的变量。

这里，等温反应的温度被定义为一个变量，其值为恒定的 315 K。你也可以用另一个传热方程来扩展模型，然后替换这个变量。

模型和推导之间存在一些符号上的差异。例如，模型中的扩散系数参数  被命名为 Diff， 而物质浓度 被命名为 cA。

系数形式偏微分方程 节点设置如下图所示。请注意，我们引入了一个单位比例参数 unit，以补偿将整个方程乘以 r 的结果，从而避免在对称轴上除零。该参数值为 1[1/m]，用于消除因乘以 r 而产生的长度单位。或者，我们也可以在模型向导中使用其他单位。不过，在这个示例中，我们需要修改所有参数的单位，因此引入这个比例因子更为方便。

管式反应器模型的 系数形式偏微分方程 节点设置。

如下图所示，下边界为入口处固定浓度的 狄利克雷边界条件。

The COMSOL Multiphysics UI showing the Model Builder with Dirichlet Boundary Condition selected, the corresponding Settings window, and the Graphics window showing the tubular reactor model geometry. 入口处的 狄利克雷边界条件。

如下图所示，上边界的流出条件为  。

The COMSOL Multiphysics UI showing the Flux/Source selected in the Model Builder, the corresponding Settings window, and the Graphics window. 出口处的诺伊曼边界条件。

本模型中，我们使用了与原始教程模型相同的映射网格设置，如下图所示。

管式反应器模型中使用的映射网格。

求解后，我们得到了整个反应器的浓度图，如下图所示。

The COMSOL Multiphysics UI showing the Model Builder with Surface 1 selected, the Surface Settings window, and the Graphics window with the 2D model shown in the Rainbow color table.
反应器中物质 的浓度 。

如下图所示，在使用 二维轴对称 选项时，我们会自动得到一个带切口的旋转图。

The Model Builder with Surface 1 selected, the corresponding Settings window, and the Graphics window with the model in 3D. 物质 浓度 的三维视图。

这是我们在设置模型时使用 二维轴对称 选项的额外好处之一。

由于 变量 列表还包括 和 物质的表达式，因此我们也可以绘制它们的表达式。下图显示了 物质的浓度 图。

The Model Builder with Surface 1 selected, the corresponding Settings window with Concentration species C selected, and the Graphics window with a 3D version of the model. 物质 浓度 的三维视图。

本文中可下载的文件列表包括使用 系数形式偏微分方程 接口的管式反应器版本，以及使用 稀释物质传递 接口的版本，您可以对两者进行比较，结果大致相同。

请注意，由于模型中包含对流，您可能会想是否需要一些数值稳定措施来避免振荡。其实并不需要，因为与对流相比，本模型有相当强的扩散，而且网格相当精细（减少了对数值稳定的需求）。

使用一般形式偏微分方程模拟管式反应器

使用 一般形式偏微分方程 接口与 系数形式偏微分方程 接口非常相似。回想一下，稳态系数形式偏微分方程与一般形式偏微分方程之间的关系为

其中

和

这意味着，对于管式反应器，我们可以得到

请注意，软件中的梯度分量

分别称为 cAr 和 cAz。在软件中，因变量的导数分量（最高为 2 阶）可以通过在其名称后面附加上空间分量的形式用在表达式中。在迪卡尔坐标系的 x、y 和 z 坐标 情况下，如果因变量为 u，则导数分量为 ux、uy、uz、uxx、uxy 等。在这个示例中，因变量为 cA，坐标变量为 r 和 z，因此导数为 cAr、cAz、cArz 等。

对于一般形式偏微分方程，这表示 守恒通量  的分量将输入：

-r*Diff*cAr*unit
-r*Diff*cAz*unit

这里，与 系数形式偏微分方程 接口版本一样，unit 参数用于补偿我们将方程与 相乘这一操作。

输入的 源项 为：

(r*rA+Diff*cAr-r*uz*cAz)*unit

这是与基于 系数形式偏微分方程 版本的唯一区别。一般形式偏微分方程 的相应设置如下图所示。

管式反应器模型的 一般形式偏微分方程 节点设置。

本文随附的文件列表中还包括管式反应器的 一般形式偏微分方程 版本，其结果与基于 系数形式偏微分方程 的版本完全相同。

轴对称接口

在模型向导中，有几个内置接口可用于快速建立与管式反应器示例类似的模型，其中最重要的是 稀物质传递 接口（可在 化学物质传递 分支下使用）和 稳定对流扩散方程（可在 数学 接口>经典偏微分方程 下使用）。这些内置接口会处理乘法运算，无需手动进行坐标变换。