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Modeling with Partial Differential Equations in COMSOL Multiphysics

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使用偏微分方程（PDE）接口建模：多物理场方程组

本文是 “使用偏微分方程（PDE）接口建模” 系列课程的第 8 部分，将介绍如何使用 PDE 接口对方程组进行建模。例如，我们将使用 系数形式偏微分方程 接口重新创建模型向导中内置的 焦耳热 多物理场接口。使用预定义的焦耳热多物理场接口对这类方程组建模要比手动建模简单快捷得多，但是，学习如何从头开始设置相应的方程系统将帮助您为设置更多的通用方程组做好准备，包括 COMSOL Multiphysics^® 软件中没有内置选项的研究对象。

使用多个因变量建模

所有偏微分方程接口和方程形式都支持在一个偏微分方程系统中使用多个因变量，这些因变量可以通过多种不同方式进行耦合。有关方程系统建模可用选项的完整说明，请参阅 COMSOL Multiphysics Reference Manual 文档，特别是 Equation Systems 章节中的 Multiple Dependent Variables 部分。

基于方程或使用数学接口可以对多种不同类型的方程系统进行建模。例如：

变量代表不同的物理场。例如，焦耳热，其中的因变量是电压和温度。
变量代表相同的物理场。在这种情况下，因变量通常代表矢量或张量场的分量，例如，结构力学中的位移场分量。
上述两种情况的组合。

本文，我们将更深入地研究焦耳热的情况，即上文提到的第 1 类系统。下一篇文章我们将讲解第 2 类系统。

焦耳热和代表不同物理场的变量

当方程系统表示焦耳热时，偏微分方程系统可以写成：

其中，是电导率，是密度，是热容量，是热导率。第一个方程是电流守恒方程，第二个方程是含焦耳热源项的传热方程。

请注意，焦耳热源项也可以写成：

在 COMSOL Multiphysics^® 中定义焦耳热方程组有多种方法。要了解使用内置选项的更多信息，请参阅 COMSOL 学习中心的系列课程：定义多物理场模型。

除了使用内置物理场接口外，您还可以使用 系数形式偏微分方程、一般形式偏微分方程 或 弱形式偏微分方程 等接口来定义此方程组。在此，我们将重点介绍 系数形式偏微分方程 接口。为此，我们可以使用学习中心中关于使用偏微分方程为扩散型方程建模的文章中的知识。

我们可以将第一个方程确定为泊松方程。这意味着，对于 系数形式偏微分方程 的稳态版本来说：

我们可以确定系数为：

而所有其他系数均为零。对于热方程

我们需要与 系数形式偏微分方程 的瞬态版本进行比较：

可以看到：

使用 系数形式偏微分方程 时，有两种方法可以输入该方程系统：作为两个标量 系数形式偏微分方程 接口的系统，或作为一个矢量形式的 系数形式偏微分方程 接口的系统，其中包含两个分量和。

两个标量系数形式偏微分方程接口系统的焦耳热

使用两个标量 系数形式偏微分方程 接口与使用预定义物理场接口非常相似。首先添加一个 系数形式偏微分方程 接口，将 场名称 和 因变量 改为 V。

The Select Physics window with Coefficient Form PDE selected and the corresponding Review Physics Interface window.
在选择物理场 窗口中，系数形式偏微分方程 接口已被添加到模型中。

接下来，添加另一个 系数形式偏微分方程 接口，将 场名称 和 因变量 都设置为 T。

The Select Physics window showing that a second Coefficient Form PDE has been added and the corresponding Review Physics Interface window.
通过模型向导添加第二个 系数形式偏微分方程 接口。

在这种情况下，没有理由为 场名称 和 因变量 设置不同的名称。但是，如果我们创建了一个矢量方程组，就可以使用 场名称 作为因变量矢量的引用。

下一步，选择瞬态研究。模型开发树如下：

The Model Builder window with Geometry 1 selected.
通过模型向导添加物理场接口和研究后的模型树。

在本例中，我们将分析一个 1×0.1×0.01 mm 的简单导电体，其一侧的边界条件为 1 V，另一侧为 0 V（或接地）。

A model of a conductive block with its measurements labeled in mm.
简单导电体的几何模型。

选择单位

在 系数形式偏微分方程 接口的设置窗口中，将 因变量 的单位改为 电势 (V)，将源项的单位改为 电流源 (A/m^3)。

The Model Builder with the Coefficient Form PDE interface selected and the corresponding Settings window.
第一个 系数形式偏微分方程 接口的设置。

单击相应的图标（如下图）即可打开 物理场 对话框。在对话框中，您可以选择适当的物理量。

The Physical Quantity box with Electric potential (V) highlighted.

The Physical Quantity box with Current source (A/m^3) highlighted.

The Physical Quantity box with Dimensionless (1) highlighted.

物理量对话框，显示了物理量的不同选择（左侧，中间）以及无量纲量（右侧）选择。

如果不想使用单位，可以在 物理量 对话框的常规部分选择 无量纲 选项。

电流守恒

假设电导率为，相当于中等导电性材料，那么 系数形式偏微分方程 节点设置如下：

The Model Builder with the Coefficient Form PDE node selected and the Coefficient Form PDE settings.
系数形式偏微分方程 节点的设置。

使用 狄利克雷 边界条件，将左边界的电压设为 1 V。同样，我们可以为右端边界添加第二个狄利克雷边界条件，将电压设置为 0 V，即接地电压。

The Model Builder with the Dirichlet Boundary Condition selected, the corresponding Settings window, and the Graphics window with the conductive block model.
狄利克雷边界条件 的设置。

传热

在第二个接口 系数形式偏微分方程 2 的设置窗口中，将 因变量 的单位改为 温度（K），将源项的单位改为 热源（W/m^3）。

The Model Builder with the second Coefficient Form PDE interface selected and the corresponding Settings window.
第二个 系数形式偏微分方程 接口的设置。

使用电导率，并进一步假设和，第二个方程的 系数形式偏微分方程 节点的设置如下：

The Model Builder with the Coefficient Form PDE node for the second Coefficient Form PDE interface selected and the corresponding Settings window.
第二个方程的 系数形式偏微分方程 节点设置。

其中源项对应于

在软件中，因变量的导数分量（直至二阶导数）总是以因变量名称表达式后附加空间变量名称的形式提供。如果因变量为 V，则导数分量为 Vx，Vy，Vz，Vxx， Vxy 等。

对于第二个方程的所有边界，使用 通量/源 边界条件：

系数和。这个边界条件意味着边界的冷却速度与周围环境的温差成正比。请注意，此边界条件也可以通过设置和等效实现。

The Model Builder with Flux/Source 1 selected and the Flux/Source settings.
通量/源 边界条件的设置。

第二个方程有一个时间导数项，因此需要更新 初始值 节点的值。我们假设该导体在 t = 0 时的温度为 300 K。

The Model Builder with Initial Values 1 selected and the corresponding Settings window, showing 300 as the initial value for T.
初始值节点的设置。

结果

现在，使用默认设置运行 研究 1，输出时间 为 0 到 1 秒，每 0.1 秒输出一次结果。

The Model Builder with Step 1: Time Dependent selected and the corresponding Settings window, showing the first and second Coefficient Form PDE interfaces under selections.
进行的瞬态研究的设置。

结果是在约 1 秒的时间内温度达到约 480 K。

The conductive block model showing the temperature distribution, with the center being yellow and the ends darkening into purple and black.
几何体的温度分布结果。

我们还可以绘制出物体两端的电压降。

The conductive block model showing the electric potential, with the left end being red, a rainbow ombre in the middle, and the right end being blue.
几何体的电势结果。

现在，您可以为电场或电流密度等量定义变量，然后在表达式中使用它们。

The Model Builder with Variables 1 selected and the corresponding Settings window, where the variable names, expressions, units, and descriptions are visible.
计算研究后定义的变量。

例如，再次求解后，我们可以将变量 normJ 绘制成如下结果图。

The conductive block model showing the electric potential, with the left end being blue, a rainbow ombre in the middle, and the right end being red, with ripples visible throughout.t
几何体电流密度大小的结果。