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Modeling Speaker Drivers in COMSOL Multiphysics^®

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三维有限元频域分析

当二维轴对称模型所需的所有假设都不成立时，您需要在三维中求解问题。本文中，我们将以下图所示的几何结构为例，讨论在三维中建立动态扬声器驱动器模型的一些注意事项。这个模型是我们在扬声器驱动器系列课程第 2 部分中建立的二维轴对称模型的三维描述，其中对几何结构进行了修改，以包括盆架和其他细节。这些细节不再是轴对称结构，而是在 x = 0 和 y = 0 平面上具有对称性。在本系列的第 1 部分，我们曾提到利用对称性可以有效减小三维模型的大小。本文，我们使用了 1/4 的几何结构（如下图右侧所示），并在物理场中应用了对称条件。这种设置可以捕获所有具有这些对称特征的三维模式。

The structure of the speaker driver model.

The geometry of a quarter of the speaker driver model.

扬声器驱动器的结构（左），应用对称性对 1/4 驱动器结构进行分析时使用的几何结构（右）。

线圈几何分析

您需要在三维模型中对线圈特征进行一些设置，以确定几何形状和电流方向。使用 均质多匝线圈 特征时，线圈类型 输入将决定如何指定电流方向，可供选择的选项有 线性、圆形、数值 和 用户定义。最常用的数值选项在专用的预处理研究步骤 线圈几何分析 中计算电流方向，如下图所示。其他三个选项不需要任何预处理。需要注意的是，线圈几何分析 研究步骤必须先于主要研究步骤，并且只求解磁场物理场接口。

The COMSOL Multiphysics UI showing the Model Builder with the Coil feature selected, the corresponding Settings window, and the dynamic speaker model in the Graphics window.

三维模型中的 线圈 特征需要进行一些设置，以确定几何形状和电流方向。

A close-up of the Coil Geometry Analysis feature selected in the Model Builder and the tables in the Physics and Variables Selection section of the Settings window.

线圈几何分析 研究步骤是 数值 线圈类型的一个重要步骤。

计算线圈中的电流需要线圈几何形状的额外信息，您可以在默认的 几何形状分析 子节点及其下的 输入/输出 边界条件中输入这些信息。如果模型仅表征通过对称切割获得的几何结构的一部分（如本教程中的 1/4 线圈），需要使用 对称明细 设置，分别输入 线圈长度倍增因子 F_L 和 线圈面积倍增因子 F_A（均为无量纲整数），以添加适当的校正因子。线圈实际长度使用乘积 F_L·L 来获得（用于计算线圈电压和电阻），其中 L 为域长度。线圈的横截面积计算公式为 F_A·A，其中 A 代表域的横截面积。线圈几何分析 研究步骤将会自动计算 L 和 A 的值。

A close-up of the Geometry Analysis subnode selected in the Model Builder and the Coil length multiplication factor and Coil area multiplication factor settings in the Settings window.

使用对称条件仅模拟 1/4 线圈长度时，使用校正因子 4 指定线圈长度倍增因子 F_L。

几何分析 节点默认添加了一个输入子节点，用于指定导线进入域的边界，或者在闭环线圈中指定导线穿过的内部边界。与输出节点（用于几何分析）结合使用时，还可定义开路线圈中的电流流向（从输入到输出）。

在物理场中应用对称条件

在设置模型时，需要使用对称边界条件指定几何对称性。您只需要使用内置的对称特征，就可以模拟此分析所需的所有物理场。

对称特征

在压力声学分析中，这一边界条件将加速度（以及速度）的法向分量设为零：

对于零偶极子域源 () 和恒定流体密度 () 而言，这意味着压力在边界处的法向梯度为零：

在热黏性声学分析中，对称条件对应于力学自由度中的滑移条件（即法向速度为零，因此切向应力也为零）和温度变化中的绝热条件（即热通量为零）。

在结构力学分析中，对称条件将法向位移设为零：

在磁场分析中，使用的是 对称平面，将法向磁通密度设为零：

外场计算的对称设置

如下图所示，为了得到正确的外部场，模型中使用的对称条件也需要反映在 外场计算 设置中。

A close-up of the Exterior Field Calculation feature selected in the Model Builder and the corresponding settings and model.

为了得到正确的外场，需要在 外场计算 设置中反映对称条件。

选择适用于所求解问题的对称类型，所用选项及其后续设置应与基础声学问题中使用的条件相匹配。可用的 对称类型 选项包括 对称平面（默认）、扇形对称 和 具有一个对称平面的扇形对称。

对称平面 选项适用于所有对称平面分别与一个直角坐标平面（可能有偏移）对齐的情况，文本中的 90^° 扇形示例就是这种情况，因此使用了该选项。请注意，位于 z = 0 处的无限挡板与位于 z = 0 处的对称平面在数学上是相同的，因此也需要包含在外场计算的对称设置中。

扇形对称 选项用于使用一个扇形（360^° 旋转的细分）。表示的几何结构。当其中一个对称平面与任何一个笛卡尔坐标平面不对齐时可以通过该选项获得外场解，例如在模拟 60^° 或 30^° 扇形时。

具有一个对称平面的扇形 对称选项允许将扇形对称与单个对称平面相结合。当您不仅需要 扇形对称 来反映几何结构，还需要一个对称平面来考虑无限挡板时非常有用。详细请参阅本页面随附的模拟了三维扬声器几何的 60^° 扇形的模型案例 dynamic_speaker_driver_3D_sector_symmetry.mph。

使用迭代求解器求解大型模型

如前所述，三维扬声器驱动器模型通常需要求解线圈几何以获得线圈特性。因此，一个完整的研究通常包括以下三个研究步骤：

使用 线圈几何分析 仅求解磁场接口，这对于计算三维模型中线圈特征的电流非常重要。
使用稳态研究仅求解磁场接口，用于计算永磁体产生的静（直流）磁场。
使用包括所有物理场接口和所有多物理场耦合的 频域扰动 研究，计算出稳态偏置解的频率响应（AC）。

对于较小的问题，使用直接求解器通常是最佳选择。直接求解器的优点是最稳健和通用，但缺点是随着求解问题规模的增大，会占用大量内存。对于较大的问题，尤其是三维问题，唯一的选择往往是使用迭代法。与直接求解器相比，迭代求解器（对于大型问题）所需的内存和时间更少，而且随着模型大小的增大，迭代求解器的扩展性也更好。

然而，迭代求解器在求解磁场时可能难以收敛，因此需要特别注意提高求解器的性能，下一节将对此进行介绍。

改进迭代求解器对低频问题的收敛性

迭代求解器在低频时可能会出现收敛缓慢的现象，电磁线圈建模系列课程中对此进行过讨论。解决方案是在磁场分析包含的所有非导电材料中人为地添加小数值导电率，且为了使这些非导电域中的感应电流保持在最小值，应选择使由此产生的集肤深度远远大于非导电材料体积的导电率值。您可以使用以下公式估算数值电导率的合适值：

式中，是研究频率，是真空磁导率， and 是人造集肤深度。

在这个三维动态扬声器驱动器教程示例中，磁场分析所涉及的非导电材料包括磁体、空气、前体和喇叭。非导电区域的大小约为 165 mm ，建议使用与频率相关的电导率，使所有研究频率的集肤深度都远大于 165 mm 。下文介绍了对这些非导电区域手动设置人造数值电导率的过程。请注意，6.2 及更高版本的软件中提供了 自由空间 特征，可完全自动实现空气域的这一过程，所用的实现方法可参见这个教程模型文档

下图展示了一种计算整个频率范围内合适电导率的方法。首先，选取 500 Hz 的中间研究频率作为计算点 (f0)，并在全局参数节点（图中的上图）中定义该频率所需的数值电导率，即名为 sigma_num_f0 的参数，其集肤深度为 165 mm 的 20 倍。然后，在组件 1 中使用表达式sigma_num_f0sqrt(f0/freq) 定义与频率相关的电导率变量（sigmanum），其中 freq 是研究频率（图中的下图）的内部变量。请注意，变量 freq 仅在频域扰动研究步骤中可用，因此该定义仅（且必须）适用于该特定步骤。在前两个研究步骤中，定义在单独的变量节点中（中图）的 sigma_num 值为零。

A close-up of the Parameters node selected in the Model Builder and the Parameters table in the Settings window.

A close-up of the Variables node selected in the Model Builder and the Variables table in the Settings window.

A close-up of the Model Builder with a second Variables node selected and the corresponding Variables table in the Settings window.

为改进迭代求解器的收敛性，在扰动分析中定义与频率相关的人造电导率的设置选项。

下图中的曲线显示了所应用的人造导电率（左图），以及相应的人造集肤深度与非导电域大小之比（右图）与频率的函数关系。可以看到，在最高研究频率下，集肤深度仍然是 165 mm 的 10 倍以上。这确保了在所有研究频率下，无损耗域中的感应电流可忽略不计，因此人造电损耗也可忽略不计。

Two side-by-side graphs, with the first showing a dropping curve of the applied artificial conductivity that decreases quickly when frequency increases, and the one on the right showing the corresponding skin depth declining with frequency.

应用的人造导电率（左）和相应的人造集肤深度与非导电域大小之比（右）与频率的函数关系。

变量 sigma_num 用于定义磁场接口中所有非导电材料的导电率，如下图所示。这大大提高了低频迭代求解器的收敛性。

A close-up of the Model Builder with the Ampère’s Law node selected and the corresponding Constitutive Relation Jc-E settings and model.

A close-up of the Model Builder with a second Ampère’s Law node selected and the corresponding Constitutive Relation Jc-E settings and model.

在所有非导电材料中引入一个小电导率，可大大提高迭代求解器在低频下的收敛性。

最后，在每个研究步骤中为 sigma_num 选择一个变量定义，以便在前两个研究步骤中使用零电导率，在第三个扰动研究步骤中使用与频率相关表达式。如下图所示，在每个研究步骤的 物理场和变量选择 部分选择 修改研究步骤的模型配置 复选框，并禁用不需要的变量节点即可。

A close-up of the Model Builder with the Coil Geometry Analysis feature selected and the Physics and Variables Selection in the corresponding Settings window, with the Modify model configuration for study step check box selected.

A close-up of the Model Builder with the Stationary study step selected and the Physics and Variables Selection in the corresponding Settings window, with the Modify model configuration for study step check box selected.

A close-up of the Model Builder with the Frequency Domain Perturbation feature selected and the Physics and Variables Selection in the corresponding Settings window, with the Modify model configuration for study step check box selected.

在研究步骤中为 sigma_num 选择一个变量定义，以便在前两个步骤（上图和中图）中使用零电导率，在第三个步骤（下图）中使用与频率相关的表达式。