共轭传热

我们将在本篇博客中解释共轭传热 这一概念，并会展示相关应用。共轭传热综合了固体传热和流体传热。固体传热以传导为主；流体传热则以对流为主。我们在很多情况下都能观察到共轭传热。如设计散热器时，就可以结合散热器中的传导和周围流体中的对流来进行优化。

固体和流体传热

固体中的传热

大多数情况下，如果固体传热仅考虑传导，则可以使用 Fourier 定律进行描述，此时将定义传导热通量 q 与温度梯度成正比，即：q=-k\nabla T。

对于瞬态问题，静止固体中的温度场则证明了传热方程的以下形式：

流体中的传热

由于流体运动，传热方程中的三个贡献项分别为：

1. 流体传递意味着能量传递，在传热方程中，该项作为对流贡献。根据流体和流型的热学属性，可能以对流或传导传热为主。
2. 流体流动的粘性效应将导致流体加热。通常忽略该项，但在快速流动的粘性流体中，则应考虑。
3. 如果流体密度会根据温度变化，则应在传热方程中加入压力功贡献项。它代表了诸如压缩空气会产生热之类的著名效应。

为了说明传导及所有这些贡献项，我们得到了下方的瞬态传热方程以说明流体中的温度场：

共轭传热应用

有效传热

设计高效冷却器、加热器或换热器时，能否有效结合流体和固体中的传热这一点非常关键。

流体通常在长距离中扮演载能体的角色。强制对流是实现高换热率的最常见方法。在一些应用中，还可以通过结合对流与相变来进一步提升其性能，例如，从液态水到蒸汽的相变。

即便如此，我们还是需要固体，特别是在换热器中分隔各种流体，避免它们在能量交换过程中发生混合。

壳管式换热器中的流动和温度场显示了薄金属壁分隔的两种流体之间的传热。

散热器通常由具有较高导热系数的金属制成，如铜或铝。可以通过增加固体部件与周围液体间的交换面积来增强散热。

排气扇和多孔格栅带来的空气流提供冷却的电源单元中的温度场。使用两个铝制翅片来增加流动和电子组件之间的交换面积。

节能

也可以结合流体和固体中的传热来将各种器件中的热损降到最低。由于大部分气体（尤其是在低压环境下）的导热系数较低，因此静态气体可用作绝热体。因为气体的重量很低，所以优先用于各类应用。但在所有情况下，都必须限制对流传热，特别是要降低自然对流效应。可通过壁面的安放位置和小型空腔来控制自然对流。当用于微小尺度时，该原则也就引申出了绝缘泡沫的概念，在绝缘泡沫中，微小空气腔（气泡）被限制在泡沫材质中（如聚氨酯），使这种材料绝缘性能较高且质量较轻。

窗户横截面（左）和窗框放大图（右）

ISO 10077-2:2012 标准的窗框和玻璃横截面的温度剖面图 (窗户的热性能)

流固耦合

流体/固体界面

温度场和热通量在流体/固体界面连续，然而在运动的流体中，温度场会快速变化：在靠近固体处，流体的温度与固体接近；但在远离界面的地方，流体温度则接近于入口或周围流体的温度。流体温度从固体温度变为流体整体温度的区域称作热边界层。利用 Prandtl 数 (Pr=C_p \mu/k) 来表示热边界层的大小与动量边界层的相对大小：当 Prandtl 数等于 1 时，热和动量边界层的厚度应相同；当 Prandtl 数大于 1 时，动量层较厚；与之相对，当 Prandtl 数小于 1 时， 动量边界层要薄于热边界层。20°C 大气压下，空气的 Prandtl 数为 0.7；这是由于空气中动量和热边界层的尺寸类似，但动量边界层略薄于热边界层。20°C 水的 Prandtl 数为 7；因此，水温在靠近壁面处的变化要比速度变化更剧烈。

靠近较冷固体壁面处的自然对流空气的归一化温度(红色) 和速度 (蓝色) 曲线

自然对流

自然对流模式对应由浮力效应驱动流动的结构。基于预期的热性能，自然对流可能有益（例如在冷却应用中），也可能有害（如绝热层中的自然对流）。

Rayleigh 数 Ra 用于表征由自然对流带来的流型和传热。Rayleigh 数由流体材料属性、空腔尺寸 L ，以及温差 \Delta T定义，而温度差则根据流体周围的固体来设定：

Grashof 数是另一个流型指标，它是浮力相对粘性力的比例：

Rayleigh 数可通过 Prandtl 和 Grashof 数的关系式表示：Ra=Pr Gr。

如果 Rayleigh 数较小（通常<10³），则可以忽略对流，大部分传热由流体中的传导造成。

于较大的 Rayleigh 数，则需要考虑对流传热。浮力相对于粘粘力较大时，流型为湍流，否则为层流。两个流型之间的过渡由 Grashof 数的临界阶次确定，即 10⁹。当 Pr 的量级近似为 1 或更大时，热边界层，即固体壁面和流体整体之间的典型温度转变距离，可近似为 \delta_\mathrm{T} \approx \frac{L}{\sqrt[4\,]{Ra}}。

当与热表面接触时，一杯冷水中的自然对流所带来的温度剖面图

强制对流

强制对流模式对应于这一结构：流动由带来主要浮力效应的外部现象（例如、风）或器件（例如、风扇和泵）驱动。

此时，流型可使用雷诺数作为指标近似表征为等温流：Re= \frac{\rho U L}{\mu}。雷诺数代表了惯性力对粘性力的比例。当雷诺数较低时，以粘性力为主，并能观察到层流；当雷诺数较高时，系统阻尼非常低，会带来较小的扰动；如果雷诺数足够高，流场最终将演变为湍流的流型。

可以使用雷诺数计算动量边界层的厚度，即 \delta_\mathrm{M} \approx \frac{L}{\sqrt{Re}}。

由强制对流提供冷却的散热器周围的流线和温度剖面图

辐射传热

辐射传热可以与上文介绍的对流和传导传热相结合。

在大部分应用中，流体相对热辐射是透明的，固体则为非透明。因此，辐射传热可表示为表面对表面辐射，在实体壁面之间通过透明的空腔传递能量。由漫反射灰体表面所发射的辐射热通量等于 \varepsilon n^2 \sigma T^4。当一个表面被带有均匀 T_\mathrm{amb} 的物体包围时，净辐射通量为 q_\mathrm{r} = \varepsilon n^2 \sigma (T_\mathrm{amb}^4-T^4)。当围绕表面的温度不同时，每个表面对表面的交换则由表面的视角因子确定。

不过，流体和固体都可以是透明或半透明的；因此辐射可以在流体和固体中发生。在参与（或半透明）介质中，辐射线将与介质（固体或流体）相互作用，随即吸收、释放和散射辐射。

温度差较小且发射率较低的应用中，可以忽略辐射传热；但在温度差较大且发射率较高的应用中，辐射传热相当重要。

表面发射率分别为 \varepsilon = 0（左） 和 \varepsilon = 0.9（右）的散热器温度剖面图对比

小结

大部分应用中都综合了固体传热和流体传热。这是因为固体周围或固体壁面之间的流体发生了流动，且固体浸在流体中。对传热模式、材料属性、流型和几何结构的精确描述，使我们能够对温度场和传热进行分析。这类描述也是数值仿真的起点，我们可据此预测共轭传热效应、或测试不同的结构，从而改进特定应用的热学性能。

标记

C_{p}：定压热容（SI 单位：J/kg/K）

g： 重力加速度（SI 单位：m/s²）

Gr：Grashof 数（无量纲数）

k：导热系数（SI 单位：W/m/K）

L: 特征尺寸（SI 单位：m）

n：折射率（无量纲数）

p_\mathrm{A}：绝对压力（SI 单位：Pa）

Pr：Prandtl 数（无量纲数）

q：热通量（SI 单位：W/m²）

Q：热源（SI 单位：W/m³）

Ra：Rayleigh 数（无量纲数）

S：应变率张量（SI 单位：1/s）

T：温度场（SI 单位：K）

T_\mathrm{amb}：环境温度（SI 单位：K）

\bold{u}：速度场（SI 单位：m/s）

U:典型速度大小（SI 单位：m/s）

\alpha_{p}:热膨胀系数（SI 单位：1/K）

\delta_\mathrm{M}:动量边界层厚度（SI 单位：m）

\delta_\mathrm{T}：热层厚度（SI 单位：m）

\Delta T：特征温度差（SI 单位：K）

\varepsilon：表面发射率（无量纲数）

\rho：密度（SI 单位：kg/m³）

\sigma：Stefan-Boltzmann 常数（SI 单位：W/m²T⁴）

\tau：粘性应力张量（SI 单位：N/m²）