非近轴高斯光束的倏逝分量

高斯光束是波动光学中最常用的光源。本篇博文讨论了非近轴高斯光束背景场的倏逝分量，这是 COMSOL Multiphysics^® 软件 5.5 版本中波动光学和 RF 模块的电磁波、频域 接口的一个新增功能。

近轴和非近轴高斯光束简介

高斯光束是电磁光束中的一种，它能聚焦到尽可能小的光点。当聚焦角度较小时，被称为近轴高斯光束，如果聚焦较紧，则被称为非近轴高斯光束。

近轴高斯光束历史悠久，由 Kogelnik 和 Li 的近轴理论定义(近轴理论见参考文献 1，近轴公式见参考文献 2)。但是，非近轴高斯光束的理论使用起来并不那么方便(参考文献 3)。

COMSOL 软件从 5.3a 版本开始引入了非近轴高斯光束背景场。对于非近轴情况，使用该公式比使用近轴高斯光束更好。非近轴高斯光束的公式由两部分组成：

1. 传播分量
2. 倏逝分量

从 COMSOL 5.3a 开始包括传播分量，并且从 5.5 版本开始，该公式已经完善，即包括了倏逝分量。该分量可以计算场的一小部分，这对于高度非近轴高斯光束很重要。

角谱公式

在之前关于非近轴高斯光束的推导的文章中，我们已经讨论了基于角谱的方法，对非近轴公式做了一般的介绍。这篇博文，我们将讨论实用性更强的公式。

以沿 z 轴方向传播的全矢量场为例，根据偏振的选择，有各种不同的表示方法。至少有三篇参考文献（参考文献 3-5）提出了明显不同的数学方法，但它们的基本要点都是一样的。在这篇博文中，我们遵循 Chaumet 的表述，这是最简单和最容易理解的。对于半空间（即 z>0）来说，遵循以下公式

 
其中，k_0^2=(\omega/c)^2 = k_x^2+k_y^2+k_z^2 和 A_i(k_x,k_y), i=x, y 称为角谱函数，偏振由 E_{x,0} 和 E_{y,0} 确定。

通过手算很容易确认，这个场自动满足亥姆霍兹方程和麦克斯韦方程（高斯定律）。另外，很容易看到，这个公式可以对角谱函数采取任意的可积分函数。

前一篇文章我们提到，这个公式表示平面波以不同角度传播，形成高斯光束的三维图。z轴是主要的传播方向，因此平面波的传播角度由横向平面上的投影 \vec{k}_0 表征，即 xy 平面，用 \vec{k}_x  和 \vec{k}_y 表示。对所有的平面波求和意味对 k_x 和 k_y 积分。

对于高斯光束，通常在焦平面中选择角谱函数并假定为高斯分布，即

这个角谱函数意味着许多波处于接近零的角度，即 z 轴，并且随着角度的增加，高角度的贡献逐渐减小。我们可以看到，在 -\infty 到 +\infty，对每个 k_x 和 k_y 积分的大部分贡献来自 -k_0 到 k_0。这个解称为传播分量。（这是从 5.3a 版开始添加的内容。）

在数学上，麦克斯韦方程接受另一个解：积分范围从 k_0 到 +\infty 和从 -k_0 到 -\infty 也有贡献。该解称为倏逝分量。这是从 5.5 版本开始添加的特征。在这种情况下，例如，在 k_x=k_0，k_y=k_0 ，遵循 k_z^2 = k_0^2 – k_x^2-k_y^2 = -k_0^2，所以 k_z = ik_0。将这个值代入上述公式，我们可以得到因子 \exp[-k_0z]，表示场在远离焦点的传播就会迅速衰减；即 z=0。因此，与传播分量相比，它只是一小部分。去掉这个分量仍然是非近轴高斯光束的一个很好的近似值，但随着聚焦角变高，它变得不可忽略。

在 COMSOL Multiphysics® 中模拟非近轴高斯光束

在物理场节点中，可以看到用于定义非旁轴高斯光束背景场的设置。有几点我们必须注意。

没有完美的横向模式

首先，众所周知，除了二维平面以外，在焦平面附近的非近轴高斯光束基本上没有完美的横向模式。这是因为纵向分量中总是有一些小量。从这个事实来看，场偏振的定义已不再明确。

我们来看下面的截图。这是一个二维平面内非近轴高斯光束沿x轴传播的设置的例子。即使选择高斯光束的振幅为(0,1,0)，也会存在 x 分量电场。无论您的设置如何，COMSOL Multiphysics 都会尝试求解麦克斯韦方程，并输出必要的纵向分量(如果有的话)。

混叠

上述公式包含积分。在 COMSOL Multiphysics 中实现这些公式时，所有这些数学运算都必须进行数字化和数值处理。如果采样数量不够大，则会出现称为混叠的采样问题，在该问题中会出现伪影。波矢数 和最大横波数 的设置与这个问题有关。如果 自动 不起作用，我们可能需要调整一下这两个数。

波矢数 定义了我们想用多少个不同的角度来传播平面波，而不是连续的无限多的角度。在下面的设置中，选择了 51 个角度而不是无限大的数字。这对于二维来说足够大了，但在三维情况下要小心，因为它会停止运行仿真，在 三维中总波数是波矢数的平方。

最大横波数定义了允许有多少虚拟纵波数。例如，如果选择 2*ewfd.k0 作为横波数，如下面的截图所示，会得到 k_x^2 = k_0^2- k_y^2 = k_0^2 – 2k_0^2 = -k_0^2。在这种情况下，它是二维的，所以横波数是 k_y，纵向波数是 k_x。这个设置意味着允许 k_x 从 0 到 \pm ik_0 范围内而外传播分量 -k_0 \le k_x \le k_0。倏逝分量基本上很小。所以，在大多数情况下 2*ewfd.k0 是足够的。

二维模型的 倏逝波设置的屏幕截图。

下面是对带传播分量的近轴平面波展开(PWE pro)、带倏逝分量(PWE eva)的平面波展开和束腰半径为 0.5 \lambda 的带传播分量和倏逝分量的高度非近轴平面波扩展（PWE pro+eva）的比较。第一个表面绘图是场模，对于 PWE eva 和 PWE pro+eva，只显示了正半空间，因为它是在半空间定义的。线条图是场的 x- 和 y- 剖面。这些图表明，近轴和非近轴高斯光束之间的差异发生在横向焦平面附近。

通过不同方法计算的电场模数的比较：近轴近似、平面波展开(传播分量)、平面波展开(逝分量)和平面波展开(传播和倏逝分量)。

通过不同方法计算的 x 轴和 y 轴电场的比较：近轴近似、平面波展开（传播分量）、平面波展开（倏逝分量）和平面波展开（传播和倏逝分量）。

最后的表面图是亥姆霍兹方程的误差（请参阅上一篇文章了解误差的定义）。这些图深刻地表达了对亥姆霍兹方程的解的严谨性的改进。

通过不同方法计算的亥姆霍兹兼容解的误差幅度比较：近轴近似、平面波展开（传播分量）、平面波展开（倏逝分量）和平面波展开（传播和倏逝分量）。

结束语

通过添加倏逝分量，非近轴高斯光束背景场特征就成为包含麦克斯韦方程所有可能的严格解的完整公式。从上面的剖面图中可以看出，近轴高斯光束公式完全适用于非近轴区域。但是，如果我们查看误差图，很明显它不满足高度非近轴域中的亥姆霍兹方程。这就是为什么我们需要非近轴高斯光束的严格公式。

参考文献

1. H. Kogelnik and T. Li, “Laser beams and resonators”, Applied Optics, vol. 5, no. 10, pp. 1550–1567, 1966.
2. “Gaussian beam”, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_beam.
3. P.C. Chaumet, “Fully vectorial highly nonparaxial beam close to the waist”, JOSA A, vol. 23, no. 12, pp. 3197–3202, 2006.
4. R. Martinez-Herrero, P.M. Mejias, and A. Carnicer, “Evanescent field of vectorial highly non-paraxial beams”, Optics Express, vol. 16, no. 5, pp. 2845–2858, 2008.
5. P. Varga and P. Török, “The Gaussian wave solution of Maxwell’s equations and the validity of scalar wave approximation”, Optics Communications, vol. 152, no. 1–3, pp. 108–118, 1998.