COMSOL 博客

应力线性化建模简介

作者 Henrik Sönnerlind

2017年 5月 16日

在一些工程应用中，必须通过模拟一组穿过薄结构横截面的应力线性化来近似表示一般的三维应力水平。对于高压容器分析、焊缝疲劳分析以及确定混凝土中的钢筋要求等应用而言，此模拟非常重要。在本篇博客文章中，我们讨论了为什么使用这种方法以及如何应用 COMSOL Multiphysics® 的结构力学模块来计算线性化应力。

膜应力和弯曲应力

在用板或壳单元进行结构分析时，通常假设沿厚度方向的面内应力的变化是线性的。在局部坐标系中， z 代表沿壳表面的法线方向，因此可以写为

\sigma_{ij}(x,y,z) = \sigma_{ij,m}(x,y)+\frac{2z}{d}\sigma_{ij,b}(x,y)

其中，d 是厚度，指数 i=x、j =y，\sigma_{ij,m} 为膜应力，\sigma_{ij,b}（或者\frac{2z}{d}\sigma_{ij,b}）为弯曲应力。

线性应力分布可分解为膜应力和弯曲应力图。
线性应力分布可分解为膜应力和弯曲应力。

对于其他应力分量，壳理论意味着

\sigma_{zz}\approx 0

和

\sigma_{iz}\propto \left( 1- \left( \frac{2z} {d} \right)^2 \right).

除非壳较厚，横向剪切应力 σ_iz 明显小于面内应力。

为什么膜应力更危险

整个截面的膜应力值相同。假定材料是没有硬化的弹塑性材料，那么所有的点都会在同一时间达到失效应力。因此，引起初始塑性的载荷也是失效载荷。

无硬化的弹塑性材料的应力-应变曲线。变量 σ _ý表示屈服应力。

下面，我们来看一下梁中单轴应力状态的纯弯曲行为。只要材料是弹性的，那么整个截面的应力分布都是线性的，且中性面应力值为零。随着载荷的增加，最外层纤维的应力达到屈服极限，但是其余部分仍是弹性状态。因此在没有完全失效的情况下，还有可能再增加载荷。

初期屈服时应力分布的示意图，部分通过屈服和塌陷。
初始屈服时的应力分布（左），部分屈服（中），完全屈服破坏（右）。

失效时的弯矩是初始屈服时弯矩的 1.5 倍。因此，如果允许的应力仅考虑最大应力时，膜应力状态引发破坏的风险大于弯曲应力状态。

如果我们考虑弯曲应力和拉应力的组合应力状态，那么可能需要计算力矩 M 和轴向力 N 的组合，该组合力会引起失效破坏。

M=\frac{\sigma_y}{4} \left( d^2 -\left(\frac{N}{\sigma_y}\right)^2 \right)

拉伸和弯曲作用下，破坏应力状态。

对于弹性材料而言，膜应力和弯曲应力可以用力矩和轴向力表示，即：

\sigma_m = \frac{N}{d}

和

\sigma_b =\frac{6 M} {d^2}.

用膜应力和弯曲应力表示力矩和轴向力时，可以得出以下破坏公式：

\frac{\sigma_b} {\sigma_y} = \frac{3}{2} \left( 1 -\left(\frac{\sigma_m}{\sigma_y}\right)^2 \right).

当实际应力分布不重要时

在三维结构中，应力分布与几何不连续性处的线性分布明显不同。此时，应力线性化非常重要。膜应力和弯曲应力之和是实际应力分布的线性近似值，具有合力和力矩保持不变的特性。

应力张量分量的图
三维结构中的应力张量分量的线性分布。

在上图中，最大应力为 305MPa。如果应力是单轴状态，并且材料的屈服应力为 350MPa，则意味着最大应力已经达到屈服应力的 87％。但是，预测的线性应力仅为屈服应力的 64％。其中，膜应力贡献了 32% 的屈服应力。

如果我们要计算防止失效的安全系数，那么实际应力分布并不重要。失效发生时，无论处在拉伸还是压缩状态，应力都等于屈服应力。拉应力和压应力之间的关系仅由力和力矩平衡确定。

下图示例显示了在弹塑性分析中，随着载荷的增加应力的线性分布情况。当载荷系数升高到略大于 0.38 时，最大应力首先达到屈服应力。当载荷系数增大到 0.76 时，将直接发生破坏。

随着外部载荷的增加，横截面上的应力分布图。
随着外部载荷的增加，横截面上的应力分布。载荷系数用膜应力与屈服应力之比表示。

在这个示例中，选择 σ_m=σ_b。由上面的公式可知，当

\sigma_m = \sigma_b = \frac{\sqrt{10}-1}{3}\sigma_y = 0.72 \,\sigma_y.

时，破坏发生。

该值与最终的参数值 0.76 非常接近。出现偏差的原因是由于模型使用了小的塑性硬化来稳定分析的结果。

由此得出结论，为确定塑性失效的安全条件，采用线性应力作为相关参数，因为它与轴向力和弯矩成比例。如果使用实际的峰值应力值，会导致设计过于保守，还必须考虑隐含在弯曲失效中的安全系数。如果结构需要承受周期性载荷，则峰值应力至关重要，因为它决定表面是否产生疲劳裂纹。

应力线性化在高压容器中的应用

根据美国机械工程师协会（American Society of Mechanical Engineers，ASME）编著的《锅炉和高压容器规范》第三章第 1 部分 NB 段的描写，应力线性化是分析高压容器的一个重要部分。这里，我们需要将压力分为主要应力或次应力。

主要应力用于保持力和力矩平衡的应力，次应力由其他效应引起。通常，次应力是由几何不连续性或位移控制的载荷引起的局部效应。次应力超过弹性极限时不会导致屈服破坏，因为它们已经重新分布了。

在分析过程中，应力分析沿截面的多条线进行，称为应力分类线（stress classification lines，SCL）。由于 应力分类线 不唯一，因此我们必须根据工程判断来确定关键的线路。

尽管不是完全正确（但是保守），线性化应力有时被视为等效于主要应力。如果无需详细说明，该规范的基本要求是：

主要膜应力的应力强度（Tresca 等效应力）不应超过屈服应力的 2/3。当仅存在膜应力时，抵抗塑性破坏安全系数为 1.5。
膜应力与弯曲应力之和的应力强度不应超过屈服应力。如果仅存在弯曲应力，则抗破坏的安全系数也为 1.5。这是因为在这种情况下，初始屈服不等于截面的完全屈服破坏。
允许次要应力达到屈服极限的两倍。
有类似的需求，但需要具有更高的安全系数，以防止达到极限应力。

有趣的是，如果膜应力正好达到第一个标准所允许的极限值，仍允许增加一定量的弯曲应力。由上文的讨论可知，这是因为弯曲应力减少了部分截面应力。

如上所述，当涉及静态失效时，具体的应力状态并不重要，因为破坏状态下的应力分布完全由力和力矩平衡确定。在下图中，将破坏作用曲线与规范规定的应力极限进行了比较。

A graph showing the ASME criteria for primary stresses.
ASME 基本压力标准。应力由屈服应力标准化。

应当指出，由于高压容器通常在高温下运行，因此允许应力的室温值可能不够充足。

为了避免在每个载荷循环中积累塑性应变，因低周疲劳而导致快速失效，要求次应力避免重复加载-卸载循环时的循环塑性变形。

其他应用

通常，合格的结构单元的一些标准是基于“手算”的应力或壳（或板）分析的结果制定的。当进行完整的三维分析时，模拟结果可能会“太好”。实际上，通过指定较低的允许名义应力，已经考虑了局部应力集中效应。鉴于此，如果使用完整三维分析的准确结果，我们的设计可能会比较保守。在这种情况下，应力线性化提供了一个有用的工具，它可以将三维应力状态转变回到一组名义应力。

例如，在分析焊缝时可能会发生这种情况。通常，焊缝处的局部几何形状无法很好地定义（除非它是一个高质量焊缝且已打磨的非常平滑）。因此，实际的局部应力的计算没有太大意义，此时我们必须使用名义应力法。

A photograph of a pipe weld.
区域供热管道中的焊缝。图片由 BjörnAppel 提供,Bentername Warden。获CC BY-SA 3.0许可，通过Wikimedia Commons共享。