特邀博主 André Gugele Steckel 和Thomas Bisgaard 介绍了使用 COMSOL Multiphysics® 软件中的模型降阶和代理模型技术来高效设计电池系统。
在设计各类电池系统时，寿命预测都是重中之重。在这篇博文中，我们提出了一种利用新型降阶模型，通过仿真来高效、快速进行此类研究的方法。这种方法代表了设计思路的转变，不再依赖传统的“制造-测试”法或通用设计原则——在试图设计寿命长达数十年的系统时，传统方法既昂贵、缓慢，又不够精确。在这一新方法的应用范畴内，COMSOL Multiphysics® 软件凭借其强大的多物理场仿真功能大放异彩，更重要的是，它还实现了用于模型降阶的代理模型功能。
简介
电池市场增长
2022 年，电动汽车的销量突破了 1000 万辆，这在很大程度上推动了当年车用锂离子电池需求 65% 的增长（参考文献 1）。与水力发电等依赖重力的传统方法相比，电池技术在规模化扩展上表现更为稳健，其在大规模储能领域的应用也日益受到关注。电池组的效率、寿命和可回收性是实现可持续发展的关键设计目标，这也意味着必须负责任地使用锂和镍等关键原材料。
为什么使用仿真？
仿真是一种强有力的辅助工具，不仅能减少实验迭代次数，还能避免设计中出现不必要的容量冗余，从而帮助工程师以较低的资源和材料成本达成设计目标。然而，为了将小尺度（单体电池电化学）仿真与大尺度（电池包）仿真结合起来，工程师们往往被迫依赖一些可能产生偏差的假设和非物理参数。在本文探讨的这种革命性的集成方法中，深度神经网络（DNN）被用来连接这两个尺度，在保持模型高保真度的同时，将计算成本维持在较低水平。
这种方法能够在充放电循环期间，以全时间分辨率计算三维电池包模型中各点的衰减情况。例如，借助这些仿真工具，设计工程师可以纳入真实的使用场景，从而优化电池管理系统和温控系统，并通过平衡容量、寿命和应用规格来提高收益。图 1 展示了该模型各尺度及其特征的概览。
研究方法
本文介绍的方法旨在对电池进行多尺度和多物理场建模。这种方法能够对细节进行精细建模，并利用这些结果将模型扩展至整车的电池包。这种多尺度建模涵盖了锂离子在阳极和阴极之间的详细电化学输运过程（包括向存储颗粒内部的扩散），到整个电池及电池包内的多个电池互联的系统级建模。
我们结合使用了传统的模型降阶技术与 COMSOL® 中的代理模型技术。通过使用深度神经网络，我们得以用一种前所未有的方式对多尺度系统进行建模。
图 1. 采用多尺度方法对电池包进行模拟，每个模型尺度都具有不同的特征。
电芯与颗粒尺度：电池电化学
锂离子电池由一系列重复堆叠的层状结构组成：阳极、隔膜、阴极以及两侧的集流体（图 2）。每一层的厚度通常在 5 微米到 60 微米之间。阳极、隔膜和阴极均为多孔结构，其基质内部填充有液态电解质。石墨是最常见的阳极材料。石墨阳极可以与 NMC（镍-锰-钴）阴极或 LFP（磷酸铁锂）阴极搭配使用。绝缘的隔膜允许电解质通过。电解质通常由溶剂（常见为烷基碳酸酯）中溶解的离解盐（常见为六氟磷酸锂 LiPF6）组成。值得注意的是，针对不同化学体系的下一代电池研发工作正在进行中，其中包括钠离子电池（作为锂离子电池的替代品）和固态电池。
图 2. 锂离子电池的结构。
Doyle–Fuller–Newman 模型（参考文献 2）是锂离子电池仿真中最常用的模型。在处理锂离子传输时，该模型将电极域视为均质体，但包含了一个代表电极颗粒半径的额外维度。因此，在对电池进行一维建模时，加入径向维度会使维度增加，即“伪二维”模型（图 3）。电解液中的锂离子充当电荷载流子，通过扩散和迁移在电解液中进行传输。
图 3. 锂离子电池的 “伪二维（P2D）”模型，即 DFN 模型。这种多尺度（涵盖电芯和颗粒尺度）模型在电池模块中提供 P2D、 P3D 和 P4D 版本。此外，还提供集总参数形式的 P1D 版本。
当电池快速放电时，电极颗粒表面附近的锂会被消耗，消耗速度高于内部扩散补充的速度。这种不平衡会导致显著的电压降，并最终减少可用能量；这种情况在低温下尤为严重，因为此时扩散速率会成为速率限制因素。假设电极颗粒为球形，嵌入或脱嵌的锂离子与电极颗粒表面发生反应的速率为 i_{tot,j} :
浓度为 c_{P,j} 的嵌入锂在半径为 \delta_{P,j} (径向坐标为 r )且扩散系数为 D_{eff,S,j} 的电极颗粒内部扩散。F 是通用法拉第常数，t 是时间，j 是一个指数，代表阳极 (j=n) 或阴极 (j=p)，以便于区分不同区域的物理属性。
锂离子电池的电容量会随着时间的推移而衰减。根据其历史工况，多种衰减机制会导致其内阻增加。对于随时间观察到的容量和功率损耗，温度、荷电状态和负载曲线是一些重要的影响因素。正因为如此，随着电池的使用，容量和功率都会发生损耗。本文考虑的主要衰减机制是电池在充放电循环过程中形成的固体电解质界面（SEI）。通过采用参考文献 3 中 Safari 等人的方法，可以对 SEI 的形成进行建模。在该模型中，溶剂（碳酸乙烯酯）会穿过 SEI 层扩散，并在电极表面发生反应。在这个过程中，溶剂和锂都会被消耗（图 4）。本文的研究中未考虑其他老化机制，如锂析出、阴极破损和电极断裂等。对电极颗粒所定义的二维域进行扩展，可以使用以下模型来描述并包含 SEI 层的生长：
这组方程使得利用生长速率\frac{d\delta_{SEI}}{dt} 来追踪电池任意位置的 SEI 层厚度（即衰减状态） \delta_{SEI} 成为可能。假设 SEI 层的厚度远小于颗粒半径，且电解液中的锂损耗远小于其初始含量。SEI 层中随空间变化的溶剂浓度为 c_{EC,P}， 扩散系数为 D_{EC,P}，电解液锂浓度为 c_{solv}， SEI 层孔隙率为 \varepsilon_{SEI} 。SEI 层形成过程中锂离子的消耗属于i_{tot,j} 的一部分。
图 4. 因固体电解质界面（SEI）层形成引起的电池衰减。
将参数拟合至真实数据
电池模型涉及大量的物理参数，其中一些参数可以通过受控实验来确定，例如，通过量热法确定热传递特性，通过显微镜分析确定电极特性。另一部分参数则被视为系统特定的参数，这些参数是根据单体电池的循环性能实验条件进行拟合的。像 Battery Archive 这样的数据库提供了各种电池化学体系在不同条件（如温度、充电电流、放电电流和健康状态）下的标准化且经过清洗的实验数据。我们利用系统知识制定了一种参数拟合策略，该策略支持依据数据类型进行顺序参数拟合。例如，利用首个循环的时间序列数据，将动力学参数与电位-时间数据进行拟合；并借助循环时间序列数据估算衰减参数。在Butler–Volmer 动力学的电极扩散系数和交换电流密度中，采用了阿伦尼乌斯形式表达式（双参数），以准确表征其温度依赖性。
由于参数拟合涉及高度非线性的动力学过程和时间积分，因此采用了一种直接搜索方法（暴力法）：基于由随机采样定义的实验设计对大量样本进行模拟，并对每次仿真的目标函数（成本函数）进行评估。模拟与实验测得的电池电势之间的均方差被用作目标函数。此外，使用拉丁超立方采样（LHS）从均匀分布的参数范围中进行采样。
我们使用 COMSOL Multiphysics® 软件中的 App 开发器开发了一个定制 App，该仿真 App能够自动循环处理参数集和数据集，并输出目标函数。表 A 重点列出了六个实验数据集，每个数据集的时间序列中都包含数十万个数据点。使用同一组参数，所有数据集都实现了极好的匹配。图 5 展示了电池单体在充放电能量（W*h）和容量（A*h）方面，仿真结果与实验结果在衰减性能的对比。
| fID | 正极材料 | 温度 | 充电电流 | 放电电流 | SOC 最小值 | SOC 最大值 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | NMC | Medium | High | High | Low | High |
| 2 | NMC | Medium | Low | Low | Low |
High |
| 3 | NMC | Low | Medium | Medium | Low |
High |
| 4 | NMC | Low | Low | Low | Low |
High |
| 5 | NMC | High | Medium | Medium | Low |
High |
| 6 | NMC | High | Low | Low | Low |
High |
表 A. 包含用于带有定性条件参数拟合的数据集。
图 5. 单个 NMC 电芯的循环数据，对比了模拟与实验的充放电能量及容量。数据来源：参考文献 4。
三维电池模拟：基于电化学模型的构建
许多物理现象仅在三维空间中存在，因此，为了全面且准确地模拟这些现象，建模工作也需要扩展到三维。这包括对诸多方面进行建模，例如，电池组侧面的冷却、母线排的发热，以及众多不同电芯之间的电流分布。另一个需要考虑的方面是，电池组内部的温度梯度会导致电池出现分布不均的衰减现象。同样值得注意的是，维度的增加会带来显著的计算成本。此外，对于全电池尺度的模型而言，不可能保持与一维化学模型相同的细节水平，因为计算成本会过高。为了使全三维模型准确表征电池的性能，需要将一维化学模型计算得出的一部分信息纳入其中，并忽略不需要的大部分信息。因此，电化学部分很可能需要使用降阶模型来描述，从而使其在三维模型中在计算上是可行的。
本次研究采用了在 COMSOL Multiphysics® 6.1 版本中实现的深度神经网络（DNN）架构。针对P2D 模型中最重要的输入和输出参数，在我们预期模型运行的范围内，能够生成训练 DNN 所需的数据集。
图 6. 数据生成、DNN 训练以及采用基于深度神经网络的代理模型对 P2D 模型近似求解的概念工作流程。
为了获得具有代表性的参数范围（图 6），我们对最重要的控制参数——温度、电流（与记录的电压一起用来训练 DNN）、荷电状态和 SEI 层厚度——进行了拉丁超立方采样。虽然在 COMSOL Multiphysics® 的模型开发器中也可以进行拉丁超立方采样，但我们选择使用 App 开发器中的 方法编辑器，以便控制每一个单独的仿真。通过这种方式，可以将仿真任务分配到多个并行的 COMSOL® 进程中，并自动将结果收集到一个文件中。此外，这种方法缩短了每次在 P2D 模型内部进行修改后生成必要数据所需的时间。App 开发器中的脚本编写也使得整个操作序列的自动化变得更加容易。如果这最终要打包成一个易于使用的 COMSOL 模型，或者是提供给客户使用的 COMSOL App，这将非常有益。
在求解 P2D 模型的每次迭代后，都会存储特定的输出结果。具体来说，我们选择了那些会被整合到完整三维模型中的值，例如，预测 SEI 层的生长速度，以便通过时间积分将其转化为 SEI 层的厚度。
有了这个数据集之后，接下来的任务就是寻找神经网络的最佳配置，包括激活函数、神经元层的深度和宽度、学习率，以获得最优性能。我们根据深度神经网络对 “样本外数据集” 的预测精准度对其进行了评估。另一项关键的性能指标是，针对特定的网络宽度和深度，评估计算该网络所需的时间。例如，一个非常宽且深的深度神经网络，不仅训练时间很长，而且会导致获取结果时的等待时间显著增加。
图 7. 动画从左到右展示了电芯在单次放电过程中的温度分布、荷电状态以及 SEI 层厚度。由于电池最右端存在恒定的室温边界条件，该系统呈现出空间分布不均匀的特性。
图 7 展示了耦合了温度、荷电状态以及 SEI 层厚度的三维模型与仿真结果。该图直观地揭示了电池在使用过程中所承受的应力大小。此外，仿真结果还展示了热量在电池内部是如何产生和分布的，以及电池内部不同区域在 SEI 层生长方面的衰减情况。这是一种耦合动态效应：衰减会改变电池后续的充放电行为，进而影响系统内部的温度分布，继而又会通过 SEI 层的生长进一步加剧电池的衰减。
对于图 7 所示的系统，可以看出，温度梯度导致了放电速率和 SEI 层生长的不均匀性。
电池包的多物理场仿真
在实际应用中，电池通常成组使用，而不是单独运行（图 8）。因此，对整个电池组进行建模变得更有意义。具体来说，可以针对电动汽车的电池组进行建模。虽然对整个电池模组或电池包进行建模会增加计算成本，但它能更准确地反映电池在运行过程中的热行为以及衰减情况。通过在模型中纳入流体流动和电流分布，可以更真实地呈现系统中的热量产生和冷却情况。通过计算温度分布和荷电状态，就可以利用该模型预测 SEI 层沉积位置，进而推断电池何处会发生衰减。由于整个电池组内部的温度分布是非均匀的，因此衰减程度也是不均匀的。
图 8. 该图展示了储能电池系统从电芯到电池模组，再到完整电池包的规模化过程。图中还重点标注了在电池模组和电池包层级可更准确表征的物理现象，包括流体流动、电流分布以及欧姆损耗和发热。
电流、温度、荷电状态和 SEI 层均是基于 COMSOL® 中的 弱形式偏微分方程 接口进行模拟的。
电池包周围的流动和温度是利用 CFD 模块 和 传热模块中的流体流动和传热接口进行模拟的。 然后，通过设定的温度边界条件和无滑移边界条件，将流场和温度场耦合在一起。
图 9. 电池模组在快速放电过程中的动画演示。从左至右依次为：温度分布、荷电状态以及 SEI 层厚度。由于电池模组外侧边缘设定了恒定的室温边界条件，系统呈现出不均匀的效应。
通过这些模型（图 9），我们可以看到，我们能够计算出电池内部的温度、电荷以及 SEI 层衰减的分布情况。这些信息能为电池组制造商提供宝贵的见解，帮助他们优化系统运行方式并预测使用寿命。
总结
通过在 COMSOL® 中使用代理模型，我们得以在兼顾化学属性和仿真结果的同时，对超大规模的系统进行建模——若非采用此方法，这类仿真在计算上将难以实现。这使得我们能够获取关于整个电池包的信息，了解它们在多次充放电循环中的演变过程，以及整个系统中衰减现象的演变情况。这些信息非常宝贵，可以在电池投入生产或进行长达数千小时的实测之前，为我们提供重要的参考依据。
我们在此展示的仿真技术并非电池领域所独有。该方法论广泛适用于各类系统——这类系统尽管底层物理机制各异，但都面临着相似的计挑战，例如大尺度和长瞬态效应。在这种情况下， COMSOL® 中的代理模型和深度神经网络功能确实可以成为重要的研究工具。
关于作者
André Gugele Steckel 是 resolvent 公司的仿真专家，该公司是一家总部位于丹麦的 COMSOL 认证咨询公司。他拥有丹麦技术大学（DTU）物理系的物理学与纳米技术硕士学位，以及工程物理学博士学位。他的研究领域涵盖多物理场仿真，尤其侧重于声流控、机电与压电换能器以及薄膜技术。他曾为 COMSOL 用户年会的电池仿真论文集撰稿，主题包括寿命衰减预测方法，以及利用高保真模型和代理模型分析运行与制造工艺对电池性能的影响。
Thomas Bisgaard 曾任 resolvent 公司的高级仿真专家。他拥有丹麦技术大学（DTU）化学工程专业的硕士和博士学位。他的专业领域涵盖多物理场与多尺度数学建模、过程动力学、优化与控制，其博士研究专注于热集成蒸馏与最优控制。他曾参与电池性能与寿命建模的技术工作，将机理电化学模型与代理模型方法相结合，以评估运行和制造工艺带来的影响。
参考文献
- “Trends in batteries,” IEA; https://www.iea.org/reports/global-ev-outlook-2023/trends-in-batteries
- M. Doyle, T.F. Fuller, and J. Newman, “Modelling the Galvanostatic Charge and Discharge of the Lithium/Polymer/Insertion Cell,” Journal of the Electrochemical Society, 140(6), 1993; https://iopscience.iop.org/article/10.1149/1.2221597/pdf
- M. Safari et al., “Multimodal Physics-Based Aging Model for Life Prediction of Li-Ion Batteries,” Journal of the Electrochemical Society, 156(3): 2009, A145-153; https://iopscience.iop.org/article/10.1149/1.3043429
- Battery Archive; http://www.batteryarchive.org/
Resolvent 提供的其他资源
想要了解更多关于本文中讨论的主题以及 Resolvent 的工作，请查阅：
- Resolvent 的一篇文章 “Extending battery pack lifetime using virtual design and testing”
- Resolvent 的 COMSOL 认证咨询 页面
致谢
作者谨此感谢以下机构提供的资金支持：欧洲 M-ERA.NET 3 项目（项目编号 9468 LaserBATMAN）、丹麦创新基金（资助编号 1139-00001）以及瑞典政府创新系统机构（Vinnova，资助编号 2022-01257）。 该项目旨在通过聚焦连接工艺（joining processes），优化电池组的制造。该联盟由以下企业和机构组成：University of Skövde（瑞典）、Technical University of Denmark （丹麦）、Volvo Group Trucks Operations（瑞典）、Aurobay Powertrain Engineering Sweden（瑞典）以及 Resolvent 公司（丹麦）。
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