薛定谔-泊松方程 多物理场接口可用于模拟包含诸如量子阱、量子线和量子点等载流子的量子约束系统。在本文中，我们将以砷化镓纳米线的基准模型为例，演示如何使用 COMSOL Multiphysics® 软件附加的“半导体模块”提供的这项功能。
薛定谔-泊松方程多物理场接口
自 COMSOL Multiphysics® 5.4 版本起，用户可以使用全新的薛定谔-泊松方程 多物理场接口，在静电 接口和薛定谔方程 接口之间创建双向耦合，借此模拟量子约束系统中的载流子。“静电”的电势对薛定谔方程中的势能项有贡献。“薛定谔方程”特征态的概率密度的加权和对“静电”中的空间电荷密度有贡献。此接口支持所有空间维度，包括一维、一维轴对称、二维、二维轴对称以及三维。
求解薛定谔-泊松系统
薛定谔-泊松系统的特殊之处在于，静电分析需要稳态研究，而求解薛定谔方程需要特征值研究。为了求解双向耦合系统，我们对薛定谔方程和泊松方程进行迭代求解，直到获得自洽解。迭代过程包含以下步骤：
第 1 步
为了提供良好的初始迭代条件，求解泊松方程
(1)
从而计算出电势 V，其中 \epsilon 是介电常数，\rho 是空间电荷密度。
在这一初始化步骤中，\rho 取自实变量的最佳初始估计值；比如 Thomas-Fermi 近似的值。
第 2 步
上一步获得的电势 V 对薛定谔方程中的势能项 V_e 有贡献
(2)
q 为载流粒子的电荷，其计算公式为
(3)
其中 z_q 是电荷数，e 是单位电荷。
第 3 步
利用基于 Eq. 2 推导出的新势能项，求解薛定谔方程，得到一组特征能量 E_i 和一组对应的归一化波函数 \Psi_i。
第 4 步
利用概率密度的加权和，计算粒子密度分布 n_\mathrm
{sum}
(4)
=\sum_i
{N_i}
~|\Psi_i|^2
其中，权重 N_i 通过对平面外连续态的费米-狄拉克分布进行积分而计算出来（因此取决于模型的空间维度）。
(5)
{m_d} {\pi \hbar^2}k_B T~F_0\left(\frac{E_f-E_i}{k_B T}\right)~~~\mbox{1D}
(6)
{2 m_d}
{\pi \hbar^2}
\right)^
{1/2} (k_B T)^{1/2}
~F_{-1/2}\left(\frac
{E_f-E_i}
{k_B T}
\right)~~~~\mbox
{1D axisymmetry or 2D}
(7)
\right)}~~~~\mbox
{2D axisymmetry or 3D}
其中，g_i 为谷简并因子，E_f 是费米能级，k_B 是玻尔兹曼常数，T 是绝对温度，m_d 是状态密度有效质量，F_0 和 F_{-1/2} 是费米-狄拉克积分。
为简单起见，Eq. 4 的加权和只包含一个用于求和的索引 i。当然，求和可以包含多个索引。比如本文的纳米线模型计划对角量子数和（每个角量子数对应的）特征能级进行求和。
第 5 步
对于给定的粒子密度分布 n_\mathrm
{sum}，我们重新计算空间电荷密度 \rho，并重新求解泊松方程，由此获得新的电势分布 V。新的空间电荷密度的简明算式为
(8)
此算式往往导致迭代发散。下列公式可以推导出更好的估计值
(9)
{sum}
\exp\left(e^
{-\alpha}
~\frac{-q (V-V_\mathrm
{old}
)}
{k_B T}
\right)
其中 V_\mathrm{old} 是上一次迭代的电势，\alpha 是一个额外调整参数。
上方公式的依据是，我们观察到粒子密度 n_\mathrm{sum}
是基于 V_\mathrm
{old} 的计算结果，一旦泊松方程重新求解，即可得到新的 V，n_\mathrm{sum}
也随之变化。换句话说，Eq. 8 可以更明确地写成
(10)
因为 n_\mathrm{sum} 是 V_\mathrm{old}
的计算结果，所以 \rho 可用于重新求解泊松方程以得到新的 V。
为了获得自洽解，更优的方程式为
(11)
{new} = q~n_\mathrm{sum,new}
此时 n_\mathrm{sum,new} 是未知数，因为它来自下一次迭代时薛定谔方程的解。然而，我们可以使用玻尔兹曼统计进行预测，玻尔兹曼统计描述了势能 V_e=qV 和粒子密度 n_\mathrm{sum} 之间简单的指数关系。
(12)
{sum,new}
= n_\mathrm
{sum,old}
~\exp\left(\frac{-q (V_\mathrm{new}-V_\mathrm
{old}
)}
{k_B T}
\right)
当 \alpha=0 时，得到 Eq. 9。此公式相当适用于高温条件，此时玻尔兹曼统计是一个很好的近似值。在较低温度下，将 \alpha 设为正数有利于加快收敛。
第 6 步
通过重新求解泊松方程获得新的电势分布 V 后，将其与上一次迭代的电势 V_\mathrm{old}
进行比较。如果两次分布在预期容差范围内一致，则得到自洽解；否则，回到第 2 步继续迭代。
专用的薛定谔-泊松 研究类型可以在求解器序列中自动生成上述步骤。
基准示例：纳米线模型
砷化镓纳米线教学模型的基础是 J.H. Luscombe、A.M. Bouchard 和 M. Luban 发表的一篇题为“Electron confinement in quantum nanostructures: Self-consistent Poisson-Schrödinger theory”的论文。
在几何无限长并呈圆柱形对称的假设前提下，选择一维轴对称空间维度。然后，在半导体 分支下选择薛定谔-泊松方程 多物理场接口，从而将薛定谔方程 接口及静电 接口与薛定谔-泊松耦合 多物理耦合添加到“模型开发器”中。
为纳米线模型选择 薛定谔-泊松方程接口。
根据论文中的描述，将纳米线的半径设为 50 nm。电子有效质量设为自由电子质量的 0.067 倍（根据论文中的费米温度结果），并假设介电常数为 12.9。在模型中，将费米能级设为 0 V，壁上的电势设为 -0.7 V，使之与研究人员描述的费米能级钉扎边界条件相匹配。为了比较论文的图 2 和图 3，我们在 10K 温度下模拟了 2- 1018 cm–3 的均匀电离掺杂杂质。上述数字均作为全局参数输入模型。
纳米线模型的全局参数。
按照论文提供的方法，我们首先求解 Thomas-Fermi 近似解，接着将其作为全耦合薛定谔-泊松方程的初始条件。然后将托马斯-费米近似的公式作为局部变量输入到模型中。
纳米线模型的局部变量。
定义了全局参数和局部变量后，我们可以在“模型开发器”中直接将它们输入到几何、材料和物理场节点下。以下是一些注意事项：
- 如上文所述，角量子数 m被参数化，以便对其值进行扫描与求和，然后输入到薛定谔方程 物理场节点的设置 窗口中
- 回想关于计算超晶格带隙的博客文章，特征值尺度 λscale 与无量纲特征值 λ 相乘，得到特征能量 E_i（E_i = λscale λ）
- 举例来说，如果 λscale 等于1 eV，特征值为 1.23，则特征能量等于 1.23 eV
- 如上文所述，在静电 接口中添加电势 边界条件，并设定纳米线的线壁的值
- 此外，添加了两个空间电荷密度 域条件，一个用于电离掺杂杂质，另一个用于 Thomas-Fermi 近似（在薛定谔-泊松研究 中应该禁用后一项）
创建薛定谔-泊松多物理场耦合
在薛定谔-泊松耦合 多物理场节点的设置 窗口中展开方程 栏，查看添加到此节点的公式——如果你阅读了求解薛定谔-泊松系统的篇章，应该很熟悉这些公式。设置中的耦合接口 栏允许选择两个耦合的物理场接口。模型输入 栏设置了系统温度，如下方截图所示：
薛定谔-泊松耦合节点的 设置窗口的上半部。
粒子密度计算 栏（下方截图）指定了概率密度的统计加权和，参考 Eq. 4。如果选择费米-狄拉克统计，抛物型带 这一默认选项，则使用 Eq. 5~Eq.7 计算权重 N_i。用户也可以通过自定义选项输入不同的权重表达式。
为了考虑到成对的简并角量子数（m = ±1，±2，以此类推），我们使用公式 1+(m>0) 来计算简并因子 g_i，当 m = 0 和 2 且 m > 0 时，计算结果为 1。
薛定谔-泊松耦合节点的 设置窗口的下半部。
在电荷密度计算 栏（上方截图）输入电荷数 z_q 来求解 Eq. 3。如果选择了修正 Gummel 迭代 默认选项，则使用 Eq. 9 计算新的空间电荷密度 \rho。软件提供了其他选项，其中包括允许输入自定义数学表达式的用户定义选项。
全局误差变量 的默认表达式 (schrp1.max(abs(V-schrp1.V_old)))/1[V]，计算了两个最新迭代生成的电势场之间的最大差值，单位为 V。请注意，前缀 schrp1 应与薛定谔-泊松耦合 节点的名称 字段一致，变量名称 V 应与静电 接口的因变量名称一致。在更加复杂的模型中，它们可能变成非默认名称，若名称不匹配，表达式将变为黄色。遇到这种情况时，需要进行手动修改。
建立薛定谔-泊松研究步骤
“研究 2”下的薛定谔-泊松 研究步骤自动在求解器序列中生成了自洽迭代。上文中介绍求解薛定谔-泊松系统的章节概述了迭代方案。
如果我们处理的是一个全新的问题，那么在研究设置 栏下的特征频率搜索方法 菜单中，我们通常需要选择手动 搜索默认选项以查找特征能量的范围。一旦确定范围，我们就可以切换为区域 搜索选项，然后正确设置特征值的范围和数量，以确保求解器找到所有重要的特征态。针对本教程，能量估计值的范围介于 -0.15~0.05 eV 之间。如前文所述，它们分别对应无量纲特征值的 -0.15 和 0.05。
输入框中的实部和虚部别指代特征值的实部和虚部。为了查找束缚态的特征能量，我们将实部输入设为预计能量范围，并使虚部以 0 为基础小范围上下浮动，借此捕获数值噪声或略有泄露的准束缚态，如下图所示：
薛定谔-泊松研究步骤的 设置窗口的上半部。
正如我们之前指出的，第二个空间电荷密度 域条件仅适用于“研究 1”中的 Thomas-Fermi 近似解。因此如上方截图所示，物理场和变量选择 栏禁用了该条件。
在迭代 栏下，终止方法 下拉菜单的默认选项是最小化全局变量，它会自动更新结果表，后者记录了求解过程中每次迭代后的全局误差变量。内置的全局误差变量 schrp1.global_err 计算了两个最新迭代生成的电势场之间的最大差值，单位为 V，且已配置在薛定谔-泊松耦合 多物理场节点中。（请注意，前缀 schrp1 应该与薛定谔-泊松耦合 节点中的名称 一致。）因此，将容差设为 1E-6 意味着当最大差值小于 1 uV 时，迭代即结束。相关设置请参考下方截图。
薛定谔-泊松研究步骤的 设置窗口的下半部。
在因变量值 栏下，我们选择“研究 1”中的 Thomas-Fermi 近似解作为研究的初始条件。然后使用辅助扫描 功能来求解一系列非负角量子数 m。如上文所述，至于负值，我们可以使用公式 1+(m>0) 来计算简并因子 g_i。专用的求解器序列将自动计算所有特征态的概率密度的统计加权和。
检查自洽结果
因为 Thomas-Fermi 近似提供了良好初始条件，而且 Eq. 9为空间电荷密度提供了良好的前向估计值，经过八次迭代后求解器便完成了收敛。电子密度、势能和部分轨道贡献图与参考文献公布的数据相当吻合。
比较电子密度、势能和部分轨道贡献与参考文献中的数据。
下图显示了电子密度和势能分布中的 Friedel 型空间振荡。
绘图局部放大了电子密度和势能分布的 Friedel型空间振荡。
下一步操作
在本篇博客文章中，我们以砷化镓纳米线基准模型的自洽薛定谔-泊松结果为例，证明了借助薛定谔-泊松方程 接口和薛定谔-泊松 研究类型，用户可以更轻松地创建并求解薛定谔-泊松系统。要想亲自尝试此模型，请单击下方按钮跳转至“案例下载”页面，即可下载文档，如果拥有有效的软件许可证，还可以下载本教程的 MPH 文件。
希望这些新功能对你有所助益，我们欢迎各位读者分享自己在研究中使用这些功能的经验。
参考文献
- J.H. Luscombe, A.M. Bouchard, and M. Luban, “Electron confinement in quantum nanostructures: Self-consistent Poisson-Schrödinger theory,” Phys. Rev. B, vol. 46, no. 16, p. 10262, 1992.
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