理解不同类型的相互作用曲线

在工程学以及其他科学领域，一个常见的问题是：如果将两个或多个独立的源相结合，会产生什么作用。这种效应常常以图形的形式表示为相互作用曲线。这篇博客，我们将介绍一些相互作用曲线的示例，并探讨其背景知识。

内容简介

1. 梁的弯曲和拉伸
2. 幂律
3. 紧固件
4. Tresca 屈服标准
5. 重新探讨梁柱
6. 剥离
7. 疲劳
8. 安全系数
9. 等值线图
10. 结语

梁的弯曲和拉伸

作为一个入门示例，让我们来研究同时承受轴向力和弯矩作用的梁的极限荷载。假定梁的横截面为矩形，高 2a ，宽 2b。采用屈服应力为 \sigma_{\mathrm y} 的理想塑性作为失效标准。

在极限载荷下，整个截面上的应力（无论是拉伸应力还是压缩应力）均等于屈服应力，应力分布如下图所示：

失效状态下的应力分布。

图中，e 为中心轴到应力反转位置（中线）的距离。

由一侧的应力分布与另一侧施加的轴向力 N 和弯矩 M 平衡，可知

和

 
可以看出, 当 e = a 和 e = 0 时，可分别获得最大承载力 N_{\mathrm f} 和 \displaystyle M_{\mathrm f}:

 
和
 

 
式中，A 为横截面积， Z_p 称为“塑性截面模量”。

这类表达式常常以非量纲的形式书写：

 
和
 

使用这种形式，可以消除参数 e，从而得到一个简单且明确的关系：

或

此表达式给出了导致梁截面失效的力和力矩组合。这种关系通常以相互作用曲线的形式表示。该方程或相应的图形可用于快速评估允许承载状态。

一个矩形钢梁的相互作用曲线。

对于无量纲相互作用定律，最常见的形式是将失效曲线表示为 f( \xi, \eta ) = 1，因此 f( \xi, \eta ) < 1 代表安全区域。以梁弯曲为例，\eta + \xi^2 = 1.

幂律

许多相互作用定律都是幂律类型。幂律用数学形式可表达为

指数 \alpha 和 \beta 不一定是整数，尽管它们的常见值为 1 和 2。通常，\alpha = \beta 。在这种情况下，此定律的两个参数是对称的。但并不是所有的情况都如此；例如，在开始的梁示例中，就出现了 \alpha \neq \beta 的情况。

在幂律中，一个参数的最大值总是出现在另一个参数为零的时候。这直观上似乎是显而易见的，但稍后我们将给出一个反例。

幂律有一个特例，即 \alpha = \beta = 1 的情况，其结果是纯加法作用，可以用一条直线表示。如果对一个载荷施加临界值的 40%，就可以对另一个载荷施加临界值的 60%。

紧固件

通过对铆钉的简单分析，可以得到一个 \alpha = \beta = 2 的幂律示例。铆钉可能受到拉伸力（N）和剪力（T）的共同作用。铆钉中的拉伸力为

式中，A 为横截面积。在弹性状态下，剪力在横截面上的分布很复杂，但由于我们

这里主要关注的是失效状态，因此可以假定剪力是均匀分布的，

使用 von Mises 等效应力，失效标准为

单个失效载荷为

和

剪力的失效载荷是假定的 von Mises 标准的影响。

因此，将最终结果用力的形式来表示是

此示例为幂律的一种情况，即 \alpha = \beta = 2。当使用“平方和的平方根”类型的标准来组合不同的影响时，这种定律很常见。

然而，这并不是所有紧固件类型的标准。旧版本的 MIL-HDBK-5H《MILITARY HANDBOOK: METALLIC MATERIALS AND ELEMENTS FOR AEROSPACE VEHICLE STRUCTURES》（参考文献 1）中提出了螺栓的几种相互作用标准。螺栓与铆钉并不完全相同，但在忽略连接部件之间摩擦力的保守假设下，这两种情况是相似的。使用该文件中的符号（t = 拉伸力；s = 剪力），

和

 
有趣的是，我们得到以下所有类型的相互作用标准：

相应的相互作用曲线如下图所示。

不同螺栓相互作用标准的相互作用曲线。红色曲线是由铆钉理论得出的曲线。

目前，螺栓相互作用标准的首选项是

如何解释这与铆钉分析（两个项的指数都是 2）的差异？

推荐标准允许的载荷高于铆钉分析所显示的结果。在无法获得底层推理逻辑的情况下，我们只能做出猜测。其中一个重要的差异是，螺栓的作用力不是按失效应力归一化的，而是按“允许力”归一化的。螺栓的允许力来自两个不同的区域：基于螺纹区域的允许拉伸力，基于螺杆的允许剪力。在某种程度上，这是两种不同的失效机制。螺纹区域的横截面积明显较小，减少了约 25%。

考虑到这一点，此示例实际上存在两个相互竞争的标准：

1. 螺纹区域的拉伸力超载导致的失效
2. 螺杆区域的拉伸力和剪力共同作用导致的失效

在纯拉力作用下，螺纹是最薄弱的部分。在纯剪力作用下，则是螺杆。在组合载荷作用下，任何一个位置都可能是关键部分。

在螺杆区域，可以使用 von Mises 标准。在这种情况下，螺栓（在保守假设下）类似于铆钉。

式中，\kappa 是螺杆和螺纹区域的横截面积之比。这是因为 N_{\mathrm f } 是针对螺纹区域定义的，而螺杆区域的拉伸失效载荷更高。

螺纹不受任何剪力，其失效标准也很简单：

使用 \kappa = 1.25，该标准可直观显示为：

推荐的相互作用曲线（蓝色）与螺杆和螺纹失效组合的比较。

可以看出，在剪力占主导的情况下，基于 von Mises 标准和基于 R_{\mathrm s}^3 + R_{\mathrm t}^2 = 1 标准的曲线非常吻合。对于纯拉伸力和纯剪力之间的所有比值，后一种标准都偏于保守。使用一条简单的分析曲线比使用分段函数（由于面积比 κ 不同，因此对每种螺栓尺寸，该函数都是唯一的）更方便。

下图是 COMSOL Multiphysics^® 软件 壳 接口 紧固件 下 安全 子节点的截图。在此接口下，您可以使用任何类型的幂律。

在 COMSOL Multiphysics 中计算紧固件安全系数的设置。

Tresca 屈服标准

之前曾有人指出，使用 von Mises 屈服应力会产生一个幂律，即

那么，很自然引出一个问题：如果使用 Tresca 失效标准，会对相互作用曲线产生什么影响？标准中使用的往往是更为保守（但在数学上不那么容易接受）的 Tresca 标准。

Tresca 等效应力被定义为最大主应力和最小主应力之差。我们可以利用 Mohr’s circle（莫尔圆）进行分析。对于由单一直接应力和剪力组成的应力状态，莫尔圆的直径（2R）也是两个主应力之差。因此，莫尔圆将失效描述为

 
根据 Tresca 失效标准，纯剪力的疲劳应力为

 
出人意料的是，我们得到了与 von Mises 标准完全相同的幂律相互作用曲线！

唯一的区别是，当使用 Tresca 失效标准时，表达式中使用的剪力疲劳荷载 {T_{\mathrm f}} 要小 13%。

重新探讨梁柱

梁柱通常由混凝土制成。混凝土是一种压缩强度与拉伸强度相差很大的材料。抗拉强度（\sigma_{\mathrm t}）仅为抗压强度（\sigma_{\mathrm c}）的10%。

当压缩应力大于拉伸应力时，失效状态下的应力分布。

如果重新对矩形梁进行初始分析，考虑不同的拉伸应力和压缩应力，可以得到

 
和

在继续讨论之前，必须说明一个重要问题：在实际操作中，混凝土结构通常需要通过钢筋进行加固。要进行全面分析，就必须考虑钢筋的数量、钢筋在横截面上的位置以及钢筋的屈服应力。这些因素使得代数分析变得极为复杂。然而，当前的简化分析仍足以说明基本原理。

作为轴向力的参考疲劳载荷，我们可以选择纯压缩应力失效，即

作为弯曲的疲劳载荷，我们选择了可能的最大力矩。很明显，当 e= 0 时会出现最大力矩，因此

引入一个参数\beta，表示抗拉强度和抗压强度的比值，即\sigma_{\mathrm t } = \beta \sigma_{\mathrm c } 。同样，令e = \epsilon a ，将更容易写出无量纲关系式。现在

和

这里，压缩荷载被视为正值（P = -N）。这是分析梁柱的习惯做法，因为预期荷载主要是压缩荷载。

下图为 \beta = 0.1 的相互作用曲线，按照惯例，将力绘制在纵轴上，弯矩绘制在横轴上。

混凝土梁的相互作用曲线。

请注意，在这种情况下，最大允许力矩与零轴向力并不重合。从上述表达式中可以看出，当其变为以下形式时，出现最大弯矩承载力

由于 \beta 较小，令人惊讶的是，最大弯矩承载力出现在压缩力几乎为疲劳荷载的 50% 时。从图中还可以推断出，当没有轴向力时，弯矩承载力比最大值降低了 70%！

如果考虑加固因素，相互作用曲线的形状就会发生变化，但不会发生根本性的变化。要查看此类图表，可在网上搜索 “梁柱相互作用曲线”。

剥离

两个粘合表面之间的剥离通常被认为是拉伸失效和剪切失效的综合作用。在这种情况下，承载能力通常由模式 I（拉伸）G_{\mathrm {Ic}} 和模式 II（剪切） G_{\mathrm {IIc}} 的断裂韧性来描述。

最早提出的用于描述混合模式剥离的一个相互作用标准是幂律，

在这种情况下，指数 \alpha 和 \beta必须与实验相匹配。没有第一性原理可以依赖，您可以将此模型视为有两个参数（\alpha 和 \beta），而 G_{\mathrm {Ic}} 和 G_{\mathrm {IIc}} 的值是根据单模式实验确定的。另外，也可以使用全部的四个参数，以尽可能地匹配一组具有不同模式组合的实验数据。在这种情况下， G_{\mathrm {Ic}} 和 G_{\mathrm {IIc}} 与纯拉伸或剪切试验的结果并不完全匹配。

大多数情况下，幂律与测量结果并不能很好地匹配。Benzeggagh-Kenane (B-K) 标准提供了另一种常用的相互作用定律：

这一标准所代表的物理含义并不明显。它指出，应用的模式 I 和模式 II 能量释放率之和等于失效时的有效断裂韧性 G_{\mathrm {c}}：

有效断裂韧性是G_{\mathrm {Ic}} 和 G_{\mathrm {IIc}} 的加权和，其中权重取决于所施加载荷的比率。显然，对于纯 I 型断裂或纯 II 型断裂，可以使用单模式标准。为了理解 B-K 标准的含义，可以使用相互作用曲线进行解释。

如果已经测量单向强度，则只需一个参数与实验相匹配，即指数 \eta 。或者，也可以使用所有三个参数以获得更好地曲线拟合。

相互作用曲线可以用一个描述载荷的参数来参数化，

R 将从 0（纯I型）变化到 1（纯II型）。

假设剪切断裂韧性和拉伸断裂韧性之比为 \kappa ，则

通常，\kappa < 1。重新排列公式，B-K 标准可以写成以下两种无量纲形式

 
或

这可以看作是以 R 为参数的相互作用曲线的参数化表述。

下表列出了B-K 标准和幂律的四种不同材料的材料参数。数据来自参考文献 2。两种模型的断裂韧性值 G_{\mathrm {Ic}} 和 G_{\mathrm {IIc}} 并不相同。断裂韧性值是整体曲线拟合的一部分。

将这些数据绘制成相互作用曲线，如下图所示。幂律曲线已根据模型之间的断裂韧性差异进行了缩放。这就是为什么幂律曲线的终点不都在值 1 处的原因。

四种不同材料的混合模式剥离相互作用曲线。实线表示 B-K 标准，虚线表示同一材料的幂律。

可以看出，相互作用曲线有一些出人意料的特性，这些特性是其各自数值特性的影响。通过这种方式可以清楚地看出，对同一种材料的预测可能会因使用的模型不同而存在很大差异。

层压复合材料案例模型中的混合模式剥离就是使用 B-K 标准对剥离进行模拟的一个示例。

疲劳

在评估疲劳失效风险时，通常认为允许的应力幅值取决于平均应力。拉伸平均应力越大，允许的应力变化就越小。由于存在多个标准，平均应力和应力幅值之间存在多种不同的相互作用曲线。最常用的三种标准是 Goodman 标准、Gerber 标准和 Soderberg 标准。

如果允许的幅值应力称为 \sigma_{\mathrm a}，平均应力称为 \sigma_{\mathrm m}，这些标准可以写为以下形式：

Goodman:

 
Gerber:

 
Soderberg:

允许的应力幅值已按平均应力为零时的疲劳极限 \sigma_{\mathrm a0}进行了归一化处理。\sigma_{\mathrm u} 和 \sigma_{\mathrm y } 分别表示极限应力和屈服应力。如下图所示，可以将这些标准可视化为相互作用曲线。

疲劳评估中应力幅值与平均应力之间的相互作用。平均应力轴已经根据极限应力进行归一化，并假定极限应力比屈服应力大 30%。

安全系数

当你使用一个失效标准时，常见的要求是提出一个单一的安全系数、安全裕度或类似的量。这当然是合理的，但并不总是容易做到的。大多数情况下，安全系数代表的是在达到失效标准之前，载荷可以增加多少。然而，相互作用曲线的整个理念是有两个独立的载荷源。使用由 f( \xi, \eta ) = 1 表示失效的符号，让我们考虑一种安全状态 f( \xi_0, \eta_0) = q < 1。安全系数 s至少有三种合理的定义：

1. 在第二载荷保持不变的情况下，增加第一载荷的安全系数：f( s\xi_0, \eta_0) = 1
2. 在第一载荷保持不变的情况下，增加第二载荷的安全系数：f( \xi_0, s\eta_0) = 1
3. 两个载荷成比例增加时的安全系数：f( s\xi_0, s\eta_0) = 1

大多数情况下，根据这三种关系中的任何一种计算安全系数都需要求解一个非线性方程。

举例来说，假设初始示例中的横梁加载到以下水平

下图中以图形的形式对三种安全系数进行了解释。相互作用曲线可以轻松地用于图解安全系数，而无需求解方程。

相互作用曲线，以及三种不同的安全系数。

在这种情况下，描述安全系数的三个方程为

等值线图

现在让我们来看看相互作用曲线在结构力学领域之外的应用。等值线图 用于确定医用药物之间的相互作用。

同时服用两种药物可以增强彼此的效果。这就是所谓的“协同作用”。但是，也有可能出现相互抵消的情况，即“拮抗作用”。协同作用可能是有益的，因为它们可以减少剂量，进而减少副作用。

当然，同样的观点也可以应用于毒性研究，当两种有毒物质混合时，其效果会比两种单独效果的总和更强或更弱。

等值线图是两种物质之间的相互作用曲线，显示了产生相同效果的组合。通常，会对曲线进行归一化处理。下图显示了等值线图的主要形状。

三种不同类型药物相互作用的等值线图。

结语

无论是从定性还是定量的角度来看，相互作用曲线图都是了解两个作用综合效果的有力工具。

似乎大多数结构失效曲线都是拮抗型的，通常能够承受两种不同荷载的组合，其承载能力高于单纯叠加所能承受的作用。然而，这种现象是否具有普适性仍需进一步探讨。如果你有一些反例，欢迎留言讨论。事实上，早期的一些剥离曲线图确实在部分范围内表现出协同行为。不过，这可能是曲线拟合时产生的假象。任何指数小于 1 的幂律都会在某种程度上低于叠加线。

参考文献

1. 1. MIL-HDBK-5H, MILITARY HANDBOOK: METALLIC MATERIALS AND ELEMENTS FOR AEROSPACE VEHICLE STRUCTURES, 1998; http://everyspec.com/MIL-HDBK/MIL-HDBK-0001-0099/MIL_HDBK_5H_1804/
2. 2. J.R. Reeder, “3-D Mixed Mode Delamination Fracture Criteria – An Experimentalist’s Perspective,” NASA Langley Research Center, 2006; https://ntrs.nasa.gov/citations/20060048260