电池广泛应用于各种便携式电子产品中，其各种性能标准的重要程度因应用场景的不同而各有侧重。不过，充电时间和使用寿命往往都备受关注，因为这两者都直接关系到时间成本和经济效益。在这篇博文中，我们将使用 COMSOL Multiphysics® 软件的附加产品——优化模块，深入探讨锂离子电池这两项性能指标之间的关系。
锂离子电池
让我们考虑一个一维的锂“卷芯”模型，该模型由石墨负极、NMC 111 正极以及 1.0 M 的 LiPF6（六氟磷酸锂）组成。其中，电池衰减是基于负极石墨电极体积电流的巴特勒–沃尔默（Butler–Volmer）表达式来计算的：
其中，c_l 是电解质盐浓度，\phi_s 和 \phi_l 分别是固相电势和电解质电势。电荷损失可以通过对负极进行积分计算得出。
这是衡量电池在一个充电周期内衰减程度的很好的指标。随后，我们会计算出导致电池衰减达到 10% 所需的循环次数，并根据允许的最大循环次数对该变量进行约束。
时间最优控制
优化的目的是在限制充电衰减的同时，尽可能地缩短充电时间。这可以通过调整充电曲线来实现。我们使用了控制函数 功能，用于使充电电流随时间变化。为了使问题求解更加稳定，可以采用不同方式进行正则化。在此我们使用了一个基于五个二阶伯恩斯坦多项式的函数，其中共享点取为中点的平均值，以使函数的斜率保持连续。当电池充满时，时间相关的求解器必须停止，因此停止条件是根据控制函数的积分来设定的。
下方的动画展示了一款设计目标为能承受2000 次充电循环的电池，其优化过程的演变情况。
MMA（移动渐近线法）优化求解器在不违反衰减电荷约束的情况下，成功缩短了充电时间。需要注意的是，为了便于可视化展示，这里使用了移动限制人为地增加了优化迭代次数。
通过改变衰减电荷，可以追踪充电时间与衰减之间的帕累托最优前沿。
图中绘制了在充电至 90% 和 100% 荷电状态（SOC）时，最大循环次数与充电时间的关系曲线。为了更好地展示时变电流的优势，图中还特意包含了恒定充电电流（虚线）的结果作为对比。
结果显示，衰减电荷与充电时间呈指数关系：充电时间增加约 4 分钟，最大循环次数就能提升 10 倍。图中还引入了恒定电流的结果作为参考。可以看出：用恒定电流将电池充至 90% 需要 38 分钟，而采用优化后的充电曲线仅需 22 分钟。最后，如果电池的设计寿命要求较低（比如只需 200 次循环），充电时间可以缩短至 18 分钟。
总结
电池的衰减对充电倍率高度敏感，因此，只需在充电时间上做出微小的让步，就能换来电池寿命的显著提升。此外，这种结合了“基于条件终止时间”的梯度优化功能，具有广泛的适用性，可用于解决各类最优控制问题，时间最优控制便是其中之一。
下一步
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