模拟磁性仿真时访问外部材料模型

在设计含有铁磁材料的磁性器件时，定义材料的磁属性尤为重要。不同材料（或者同种材料经过特定工艺加工）对相同刺激的反应各不相同，材料属性不合适可能会引起设备故障。COMSOL Multiphysics® 软件 5.2 版本扩展了当前对描述磁性材料的支持，允许通过外部常规程序来访问材料模型。在这里，我们将演示这一新功能如何应用于涉及磁滞的情况，并探讨当前模拟铁磁材料的可能性。

指定磁性模型的方法

在 COMSOL Multiphysics 中，所有推荐的公式中都包含大量可使用的域磁性材料对应的本构关系；例如磁场，无电流、磁场、磁场和电场和磁场公式。有时也可分别简写为 Vm 公式、A 公式、A-V 公式和 T 公式。

在接口中新增一个磁域时，默认情况下 COMSOL® 软件认为使用以下这个物理量即可完全描述：相对磁导率。由于相对磁导率非常接近 1，所以适用大部分抗磁性材料或顺磁性材料。对于软铁磁，可能仅定义相对磁导率就够了，只要输入一个较大的数值即可。如果磁导率的描述不够丰富，COMSOL Multiphysics 则提供了具体功能来直接定义：

• H-B 曲线或 B-H 曲线，其中数据制成查找表存储在材料中。AC/DC 模块中有 165 种材料已预加载了此类 B-H/H-B 曲线。
• 在考虑硬铁磁（即永磁体）和磁滞情况时，剩余磁通密度和磁化这两个功能就显得非常重要了。本篇博客文章中，我们将重点讨论磁化。

与相对磁导率类似，其他物理量可以任意定义，且与适当的动态模型相关联。例如，磁化可以关联为偏微分方程的解。Vector 矢量磁滞建模教程中的 Jiles-Atherton 磁滞实现中展示了这一点。

矢量磁滞建模教程中的磁通密度仿真结果。

假如材料模型包含非线性表达式，无法用标准变量或其他的偏微分方程来描述或描述相当困难，那该怎么办呢？COMSOL Multiphysics 5.2 版本的亮点之一是提供了一种指定外部材料磁性模型的新方法。该功能支持任何要耦合到电磁解的模型。让我们来一起了解一下这个功能…

新的外部材料用于定义材料模型

在 B-H 曲线和 H-B 曲线节点下，现在新增了一个选项用于将特定域的磁属性与外部材料相连接。在外部材料中，有两种指定磁性的实现方式：

• 广义 B(H) 关系
• 广义 H(B) 关系

第一个选项适用于磁场，无电流和磁场公式，第二个选项适用于磁场和磁场和电场。因此，COMSOL Multiphysics 对所有磁场接口都提供相同的支持。

之所以需要这两种不同的连接关系有几个原因。在磁场，无电流和磁场公式接口中，先计算因变量“磁场 H”。外部材料根据磁场的值输出磁通密度 B 的值。在磁场和磁场和电场接口中，则先计算因变量“磁通量 B”。因此，本构关系必须输出 H 作为 B 的函数。

在指定计算材料数据的公式时，COMSOL Multiphysics 会从指定为外部材料级别的共享库中调用原生函数。在 Windows® 操作系统中，该库就是一个动态链接库 (DLL)。

模型经适当编译后也可以在 Linux® 操作系统和 Mac OS X 上运行。

此操作就是编译 C 源代码的结果。该源代码可以包含 COMSOL Multiphysics 中定义的其他状态变量。包括磁化在内的这些状态变量使材料库和有限元模型之间进行通信。编码的动力学是任意的，所以每次迭代时，磁化、自洽磁场和磁通量遵循一个特定的磁滞模型而发生变化。

使用源代码的另一个优点是，可以更安全更方便地将模型分发给同事和客户。使用“App 开发器”甚至可以创建易于上手的包含外部材料函数的 App，使同事和客户都能查看结果。也可以自己保留材料模型的详细数据，如果有些磁性材料的详细数据属于限制级别，比如微磁学、纸币的磁性防伪油墨和军用设备消磁，使用包含这些材料的 App 是非常合适的。

一艘军舰在消磁码头进行消磁。

材料函数也可以用其他编程语言编写，因此可以方便地使用旧代码而不用 C 代码。

实践新功能

为展示新磁化功能的工作原理，我们在“案例下载”中新增了一个名为外部材料、AC/DC 模块、广义 H-B/B-H 关系的教程。该示例包含一个模型文件、一个 C 语言源文件以及一个共享动态链接库 (DLL)，该库经编译可链接到64 位 Windows® 操作系统。此教程解释了，在使用 AC/DC 模块中的“软铁”材料作为 B-H 曲线的“来自材料”时，重现如何使用外部材料。

为解释可以在外部材料中定义的状态变量，我们将集中讨论以下具有磁滞效应和功能的情况：

• 外部材料状态变量 M， 表示局部磁化。
• 磁场，无电流公式。由此，外部材料计算磁通量 B 与磁场 H 和 M 的关系。在此例中，B = \mu_0(H + M)。
• 不使用代码难以指定磁化的动力学。

首先，我们讨论标量一维的情况，然后将示例扩展到一般的矢量三维的情况。一维中只需要磁化、磁场和磁通量的 x-分量。分别表示为 M、Hx 和 Bx。还需要找到最后收敛步骤中的磁化和磁场，分别表示为 oldHx 和 oldM。

磁化动力学 M 包括：

• 按比例随磁场变化的比例常数 xi。M = oldM + xi * (Hx – oldHx)。
• 磁化模量的最大值 Ms。如果 abs(M) > Ms，那么 M = Ms * sign(M)。
• 仅在材料未饱和，或材料饱和而局部磁通量与局部磁化方向相反时递减。

通过偏微分方程接口要实现这些动力学相当困难，尤其还存在条件语句的情况下。然而，如下图所示，只要按照几步简单的操作说明即可轻松实现。

实现一维标量磁滞模型的流程图和对应的 C 代码。

该模型是非线性的，H 的结果值也许和 oldH 差别相当大，以致于一次迭代无法找到所有空间点都满足 Maxwell 方程的合适解。非线性收敛由标准的 COMSOL Multiphysics 求解引擎自动处理。对于快速而稳健的收敛，我们只需指定 \frac{\partial \text B_\text i }{\partial \text H_\text j}。这是一个 2 阶张量，其分量存储在变量 “Jac”（雅可比）中。对于目前的三维模型，它假定了一个非常简单的表达式，\text{ (1+xi)*}\mu_0\text * \delta_{ij}（非饱和时）以及 \text{ (1+xi)*}\mu_0\text * \delta_{ij}-\mu_0\text{*xi*}\frac{\text H_\text i\text H_\text j }{\text{(Ms)}^2}（饱和时），\delta_{ij} 是克罗内克函数。一维中只有雅可比矩阵的第一分量相当重要。其值为 \text{ (1+xi)*}\mu_0（非饱和时）以及 \mu_0（饱和时）。雅可比定义包含在标量一维和矢量三维代码中。

让我们来看一看该模型的部分结果。首先，考虑以下一维的情况，其中正弦均匀磁场施加于一个样本，这是一种最初未磁化的磁性材料。磁化结果类似下方绘图。

标量一维模型的结果。绿线表示外加磁场，带记号的蓝线表示磁化。

相应的磁通量则显示为下图中 B-H 平面上的轨迹。

标量一维模型显示磁通量 B 的动力学与外加磁场 H 在一个正弦周期中的关系。起始点为原点，磁通量的动力学依次变为蓝线、绿线和红线。

第一次施加磁场时为蓝色曲线。此时，磁通量迅速增加达到磁化模量最大值 Ms，然后按照比例常数 \mu_0 缓慢增加。这是第一段磁化曲线。

当磁场由最大值降到最小值时，磁通量为绿色的下降曲线，这是磁滞曲线的上半段轨迹。该曲线的倾斜度发生了两次变化，一次是在上一个时间步的磁通量为负时，此时磁化方向反向（在到该点前磁化值一直增加，直到最大值 Ms）。在斜率变化较快的区域，磁化下降。倾斜度第二次变化发生在磁化达到 –Ms 时。接着，磁化停止，施加的磁场进一步下降使磁通量按比例常数 \mu_0 变化。

最后，当磁场再次上升到最大值时，磁通量为红色曲线，这是磁滞曲线的下半段轨迹。红线的轨迹与绿线相似。在红线上，倾斜度第一次变化对应磁通量变为正（磁化值为 –Ms，在该点之前磁化值一直增加，但为负）。在倾斜率第二次变化后，M = +Ms，红色曲线表示材料磁化到第一段磁化曲线终点这一运行点上。更多振幅相同的循环不断进行着先绿线后红线的重复。

尽管这个简化模型无法解释磁性材料的部分行为，但却能正确反映预期的磁滞。

注意，在绿色曲线上移动时，如果在倾斜率达到第二次变化之前磁场继续增加，则磁化也会开始继续增加。相应地，磁通量随着绿色曲线增加，但没有发生磁滞。如果不希望出现这种情况，则修改代码进行修正。

现在总结一下我们的观点以及上述模型中使用的代码，其中的磁化是一个遵循新流程图和代码的矢量。

实现矢量磁滞模型的流程图和相应的 C 代码。

代码只需编译一次即可用于一维、二维和三维。让我们先来看一个简单的二维模型。在这里，正方形使水平方向产生一个磁通量。正方形右侧是一个矩形样本，即上面描述的磁滞材料。下方绘图显示两种不同情景中发生的磁化。

磁性材料最初要么未磁化（左图），要么部分磁化（右图），外磁场先施加后移除。彩色点表示磁化的大小（和模量成正比）及颜色（表示方向）。彩色点上的黑色箭头和灰色箭头分别表示磁化和磁通量。

在以上两个场景中，颜色相同的区域表示磁化方向相似的域，突出显示磁化的矢量性质和磁域形成。尽管初始配置不同，但最终配置相似。

在下方绘图中，两种磁化模式在开始时完全相同，但脉冲之后差别很大。

现在，磁性材料在垂直方向已完全磁化，外磁场先施加后移除。右侧场景中的外磁场更强。

接下来，我们来看两个点的 B-H 关系。在下方绘图中，磁滞 B-H 曲线清晰可见。它们比之前的一维情况中光滑很多，部分原因是由于磁化可以旋转。

左图：两个具代表性点的位置。右图：绘图展示了低点的 B-H 曲线（x-分量）上， y-分量相似（蓝线），高点的 B-H 曲线（ y-分量）上 x-分量相似（绿线）。

此流程适用于更常见的实例。为方便演示，我们在三维中使用相同的外部材料。在下方模型中，扳手下的线圈产生了一个磁脉冲。

注意，材料模型对应“广义 B(H)”关系。为创建此模型，将几何分拆成两个部分。线圈下部使用磁场公式。扳手上部使用磁场，无电流公式。在接触面上这两个磁场已适当耦合。

使用矢量磁滞模型的几何构型。

扳手由之前所述的外部磁性材料制成，且最初未磁化。线圈电流达到最大时，磁通量如下图所示。

线圈电流达到最大时的磁通量。矢量长度表示磁通量（用对数刻度表示），颜色标尺为线性。

脉冲停止后，由于存在剩磁，扳手周围一直存在一些磁通量，如下图以及动画所示。

线圈电流消失后的磁通量。矢量长度表示磁通量（用对数刻度表示），颜色标尺为线性。

线圈产生电流脉冲时，磁化模量的动力学。

外部材料增强了磁性仿真

我们已了解到，使用新的外部材料模型，定义磁性材料时会多几个额外的选项且自由度更大。对于包括 Jiles-Atherton 和 Preisach 之类的经验模型，以及诸如微磁学中使用的基于能量最小化的模型，我们在这里展示的可以为实现类似不同模型带来一些启发。

有兴趣探索仿真中如何使用外部材料吗？

• 下载教程：外部材料、AC/DC 模块、广义 H-B/B-H 关系
• 如希望更详细地了解如何编译 C 代码用于不同的操作系统，欢迎阅读 COMSOL Multiphysics Reference Manual 中的 “Working with External Materials” 部分
• 有任何问题，请联系我们

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