使用 COMSOL^® 计算和使用部分电感

为了求解由非磁性材料组成的电气系统的稳态与频域电感矩阵和交流电阻，COMSOL Multiphysics^® 软件 6.0 版本对 AC/DC 模块的 磁场，仅电流 接口的功能进行了扩展。这个功能对于分析印刷电路板和电源总线系统非常有用，因为它可以计算总电感和部分电感。但是，我们需要理解部分电感的概念才能正确理解和使用这个功能。接下来，让我们来了解更多详细内容！

定义和计算总电感和部分电感

为了理解总电感和部分电感，我们假设一个正方形线圈回路，如下图所示。当电流沿着这个闭合回路流动时，周围空间会产生磁场。我们可以通过求解空间中存储的总磁能 W_{m}^{tot} 和流过线圈的电流 I，由公式 L^{tot} = 2 W_m^{tot}/I^2 定义和计算总电感 L^{tot}（简称为“电感”）。这个正方形线圈回路的导线直径为 1mm ，边长为 2cm，总电感为 50.6nH。

由理论公式计算总电感的正方形线圈回路，这个回路位于球形自由空间内被 无限元域截断。

该模型使用了一个被 无限元域 截断的球形域，整体模拟方法与 COMSOL 案例库中的亥姆霍兹线圈案例非常相似。该模型同时使用了 磁场，仅电流 接口和 磁场 接口进行计算，并证明了这两个接口中的公式能给出一致的结果。

虽然 磁场、仅电流 和 磁场 接口都可以使用，但这两个接口中的公式存在许多差异。现在，我们只关注使用 注磁场，仅电流 接口需要满足的三个要求：

1. 不包含导磁材料，例如电感器磁芯。
2. 所有导体需要采用实体模拟。
3. 不仅可以计算总电感，还可以计算部分电感。

很显然，本文示例中由圆导线构成的回路线圈模型满足前两个要求，因此我们现在只需要关注第三点：部分电感的计算。

虽然需要一个完整的电流回路才能定义总电感的概念，但部分电感的思想是将整个环路细分为多个部分，每个部分都贡献了各自的自感和互感。这些贡献叠加后产生整个环路的总电感。从理论和仿真的角度来看，我们完全可以自由选择分割方法，并且可以选择最适合工程目的所需的任何细分方法。

将一个电感细分为 4 个部分，有 4 个部分自感和 12 个部分互感。由于对称性，仅命名了 12 个互感中的 6 个部分。

下表列出了细分导体体积的几种不同的可能方法。对于每一个域，使用单独的 导体 特征模拟，并在每个域的任一端施加 终端 和接地 边界条件，使电流总是沿着环路流向同一方向。现在，我们得到的输出是一个部分电感矩阵，这个矩阵的数值非常值得研究。矩阵对角线上的项称为部分自感，非对角线项称为部分互感。

线圈的细分方案	部分电感矩阵 (nH)
	\begin{bmatrix}11.84 & 0.85 & -0.89 & 0.85\\0.85 & 11.84 & 0.85 & -0.89\\-0.89 & 0.85 & 11.84 & 0.85\\0.85 & -0.89 & 0.85 & 11.84\\\end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}14.0 & 0.2 & -1.75 & 0.2\\0.2 & 14.0 & 0.2 & -1.75\\-1.75 & 0.2 & 14.0 & 0.2\\0.2 & -1.75 & 2& 14.0\\\end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}25.38 & -0.08 \\-0.08 & 25.38 \\\end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}38.4 & -1.3 \\-1.3 & 14.8 \\\end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}49.3 & 0.5 \\0.5 & 0.3 \\\end{bmatrix}

选择不同线圈细分的部分电感矩阵表。矩阵项的总和始终相同。

请注意，仅在这个案例中，部分自感始终为正，且大于所有互感。部分互感既可以是正也可以是负。矩阵所有项的总和等于总电感：L^{tot}= \sum_{i,j}
L_{ij} 。无论线圈如何细分，这个公式都是成立的。然而，对于不同的细分，自感的成分大于互感的成分。

基于这一观察，即线圈的某些细分方法会产生对角线占主导地位的部分电感矩阵，对于上表中的第一种细分，在自由空间仅建立一个线圈部分的子模型是合理的。如下图所示，模型使用了单个 导体 域，两端都施加了终端 和接地 条件，从而仅输出一个11.84nH 的部分自感。这个结果与之前计算的部分电感矩阵的对角项相等。

四分之一正方形回路线圈模型可以计算部分自感，并能准确地预测总电感。使用 磁场，仅电流 接口的 终端 和 接地 条件，可以使线圈在有网格的自由空间内不闭合。

现在，上述模型在导线末端（应用终端 和接地 边界条件）产生和终止了电流，但这就是磁场，仅电流 接口与众不同的能力：它能够计算任何一组导电域的部分自感（和部分互感），即使是那些未连接在闭环中的域。

下一个示例，考虑线圈的第二种细分方法。对于这种细分方法，我们仅以一段短而直的圆导线为例。这是一个特别有趣的示例，很多手册均对其进行了解析计算，如下表所示。对于这个直导线案例，我们将在一个频率范围内观察电感和交流电阻，也就是从趋肤深度远大于导线直径的低频过渡到趋肤深度远小于导线直径的高频。为了求解这个问题，必须使用 边界层网格计算趋肤效应。另外，我们没有使用无限元 域，而是在球面模拟空间的边界上使用默认的外部边界 条件，这是基于模型内的电流应用近似的边界条件，因此需要研究计算域的半径。

仿真结果显示了直流电阻与手册中计算的值完全一致，低频电感也相当接近（小于1% ）。后者的轻微误差与末端效应有关，分析的导线长度越长，直导线的模拟值和手册值就越接近。

导线内部的剖面放大图。仿真计算的磁场显示了末端效应。

交流电阻在较大的范围内也基本吻合，但在较高频率下存在明显偏差，因为此时趋肤深度远小于导线直径。这种偏差是趋肤效应引起的，因此在高频下，需要使用非常精细的边界层网格来求解。

直导线交流电阻的计算结果与基于趋肤深度的解析值的对比。在非常高的频率下，需要非常精细的网格，并且位移电流可以忽略不计的假设不再成立。

在较高的频率下，还存在另一个问题：可以忽略附近电介质的假设不再成立。也就是说，位移电流开始变得显著。对于这种情况，应该改用 磁场 接口，它可以将电流模拟为在导体表面上流动，而不是求解体内的场。磁场 接口求解位移电流，以及导电和感应电流。磁场，仅电流 接口忽略所有位移电流，仅考虑导体域本身内的传导电流和感应电流。

仿真计算出的直导线部分自感与手册中计算的低频和高频电感解析解（忽略了末端效应）的对比。

综上所述，我们已经了解了如何计算部分电感，以及此接口中内置公式的适用范围，那么如何才能正确地使用这个接口呢？需要注意的是，我们永远无法测量这些部分电感，因为只有闭环的总电感是可测量的。但是，假设我们有一个非常复杂的大型系统，那么计算总电感的成本将非常高。

在只对重新设计的一个小型子系统进行模拟前，我们需要做出两个假设：

1. 模拟的和非模拟组件之间的部分互感对总电感的影响相对较小。
2. 未被模拟的组件的部分自感保持相对固定。

如果这些假设成立，那么只对系统的一个部分（或几个部分）进行模拟是合理的。虽然我们可能永远不想计算总电感，但只要理解了上述假设以及这些部分电感对总电感的贡献的概念，建立的子模型仍然具有预测价值。

现在，我们通过几个典型示例来说明这个接口的适用性。

磁场，仅电流 接口的典型应用

磁场，仅电流 接口适用的情况包括：

• 计算电路板元件的部分电感
• 电源总线系统
• 电缆和连接器
• 绝缘栅双极晶体管 (IGBT)
• 附近没有磁性材料的线圈

下图为一个包括多个空芯电感器的电路板示例。依据上文介绍的知识，我们现在可以正确地建立模型并提取单个电感器的部分自感，或几个紧密连接的电感器之间的部分自感和部分互感。相关示例，请查阅 PCB 线圈的电感矩阵计算案例模型。

包含多个空心电感的电气元件。使用 磁场，仅电流 接口，可以一次计算几个电感的交流电阻和部分电感矩阵。

结束语

这篇博客，我们介绍了如何使用 磁场，仅电流 接口计算总电感和部分电感，以及交流电阻。首先，通过一个可以与其他方法进行对照验证的案例模型，验证了总电感计算的整体正确性。然后，研究了部分电感以及部分电感和总电感之间的关系。我们还研究了交流电阻的计算，理解如何使用 磁场、仅电流 接口进行频域仿真的有效机制。学习了这些知识，我们就可以自信地解决这一类型的问题了！

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