通过搭接剪切试验估计超弹性材料参数

今天的特邀博主是来自Lightness by Design 公司的 Björn Fallqvist，他讨论了超弹性材料分析的不同方法，包括搭接剪切试验和损伤模型。

本系列博文分两部分，本文为第一部分，介绍了一个简单的搭接接头剪切测试，用于确定聚合物的材料参数。第二部分文章将提出一个基于物理学的材料损伤演化规律。

背景介绍

许多软材料，尤其是橡胶和生物组织，它们的应力和应变之间的关系不是线性的，即使在小载荷下也是如此。这些聚合物材料的微观结构导致了它们的非线性行为。例如，在生物聚合物网之类的材料中，聚合物链是缠结在一起的，并且经常交联。宏观材料产生的响应取决于几种不同的机制，其中一种是由热交换引起的细丝滑动、细丝拉直产生的熵刚度和交联刚度（以及粘黏）。

聚合物类材料这种复杂的行为，导致我们经常使用的理想化线弹性材料模型是无效的，因此必须采用不同的建模方法。通常，我们选择超弹性模型来进行建模，模型中的应变能量密度函数用于表征材料的状态和相关的应力。

COMSOL中有多种超弹性函数可供选择的，无论哪种函数，分析都涉及确定至少一个材料参数。这些参数需要通过实验确定，我们之前的一篇博客文章对此进行了详细描述（参考文献1）。然而，通常不同变形状态的数据要么无法获取，要么获取成本很高。

简单的搭接剪切试验可用于确定聚合物的材料参数，接下来我们将对这种方法进行介绍。

超弹性材料建模

假设存在一个应变能量密度函数，我们可以使用此函数对超弹性材料进行建模：

该函数是变形状态的函数，用变形梯度 \mathbf{F} 表示。

通过将 \psi 与右 Cauchy-Green 张量 \mathbf{C} 进行微分，可以得到第二 Piola-Kirchhoff 应力 \mathbf{S}，然后将其转换为所需的应力状态。

一般来说，\psi 可以是控制各种机制的任意数量的内部变量的函数，例如，黏弹性行为和损伤。唯一的要求是这些变量必须满足热力学普遍性规律；即，耗散能必须大于或等于零。

通常，\psi 是一个包含许多材料参数的表达式，具体取决于模型的复杂性。在这篇文章中，我们使用了 Yeoh（参考文献2）提出的模型，它包含三个项：

其中，c_1, c_2 和 c_3，I_1 是材料参数，是右 Cauchy-Green 张量的第一主不变量 （\mathbf{C}
）。

许多超弹性材料表现出不可压缩的特性。在计算上，\psi 被分成等容和体积部分：

\mathbf{C} 的第一不变量 I_1 被其等容对应项取代。最后一项取决于体积模量 K 和雅可比 J（即，右 Cauchy-Green 张量的第三主不变量）。为了模拟不可压缩性，为 K 分配一个足够高的值（通常约为剪切模量的 1000 倍）。

进行搭接剪切试验

使用放置在两个较硬的矩形条之间的样品进行搭接剪切试验。试验设置如图 1所示。

图1. 搭接剪切试验。

将两个板水平拉开直到试样破裂，记录力-位移曲线。在这篇博文中，我们分析了一个黏合剂样品。

黏合性能

本文中用作示例的实验数据由 Lindhe Xtend AB 提供，在此表示感谢。Lindhe Xtend 开发了具有独特的侧向灵活性的假肢 Xtend Foot。侧向灵活性在所有表面上都具有完美的平衡性和稳定性，能让用户在户外和不平坦的地面上移动时获得更大的信心。它减少了用户对跌倒的恐惧，增强了他们自由行走的愿望，并提高了假肢使用者的生活质量。

Xtend Foot 的相关测试数据如下：

• 黏合剂厚度：3mm
• 试样和板的宽度：25mm
• 板厚：5mm
• 黏合剂试样长度：5mm
• 测试温度：20°C
• 位移速率：13mm/min

图 2为所记录力-位移曲线。

图 2. 黏合剂的力–位移曲线。

我们选择使用紫色曲线作为测试的基础。在更严格的分析中，我们可以确定一条平均曲线，但对于方法演示，一条曲线就足够了。该曲线表现出初始硬化和由于材料破裂而导致的软化。我们选择了一些点来优化，见表1。

表 1. 选定的数据点。

计算模型

几何模型

模型的几何结构是在 COMSOL Multiphysics® 软件中使用相关坐标的块几何工具构建的，见图 3。

图 3. 模型的几何结构。

对这些块进行分区以便于划分网格。由于几何和载荷沿试样和板的长度方向对称，因此只需建立一半模型。

网格

如图4所示，优化方案中的网格特意进行了粗化。

图4. 模型网格。

通过扫掠建立外部板域和黏合剂域，连接到黏合剂的板域是用自由四面体网进行网格划分。因为这里我们寻找材料参数的结果是反作用力，所以粗网格是可以接受的。研究黏合剂中的详细应力/应变状态需要进行进一步的细化。

材料模型

板比黏合剂硬得多，可以认为是刚性的。在这里，我们对其施加了钢的材料特性（杨氏模量 210GPa，泊松比 0.3，密度 7850kg/m³）。Yeoh 模型的超弹性参数 c_1, c_2 和 c_3 均设置为 0.1MPa。在材料模型公式中，使用了比例因子来执行简单的优化方案。在 COMSOL Multiphysics 中，材料参数和缩放因子 s_{f1yeoh}, s_{f2yeoh} 和 s_{f3yeoh} 被定义为参数。

为了便于后续建立损伤模型，我们在超弹性材料定义中使用了用户定义的应变能函数，见图5。

图 5. 超弹性材料定义。

变量“omeg”用于修改应变能密度，稍后我们将对其进行解释。目前，\omega = 1。

边界条件

由于模拟了一半的试样和板，因此沿中心平面应用了对称条件，如图 6 所示。

图 6. 对称条件（平面外）。

指定试样的一端为固定约束，另一端指定为与时间相关的位移的函数，如图 7 所示。

图7. 板端面的边界条件。固定约束（左）和指定位移（右）。

研究类型和优化设置

由于损伤模型是基于速率形式的常微分方程建立的，因此使用瞬态研究进行求解。对于超弹性模型，稳态研究就足够了。

对现有的材料数据进行优化，需要我们定义在每个时间步长上所施加的与位移相对应的反作用力。因此，我们必须对指定的位移设置启用弱约束，并将其合并到表面上，如图 8 所示。第二个原因是我们只对几何的一半进行了建模。

图 8. 优化反作用力的定义。

接下来，我们定义一个具有全局最小二乘目标的 优化 节点，见图 9。

图 9. 优化设置。

由于我们使用瞬态求解器进行求解，因此必须使用图 7 中定义的变形率将表 1 中的位移转换为第一列中的时间。对纯超弹性模型的第一次分析，我们仅使用前三个点，因为下一篇博客里对软化过程需要更复杂的分析。

最后，我们定义一个瞬态研究并插入一个优化 节点，见图 10。

图10. 研究步骤中优化 节点的定义。

我们对三个比例因子进行了优化，它们参与对超弹性材料模型定义中材料参数的缩放作用。唯一的限制是 s_{f1yeoh}必须是非负的，因为它会缩放剪切模量。为了在求解过程中跟踪缩放参数的值，可以方便地定义它们的全局变量探针。这样就会把它们储存在探测表中以进一步使用。

要定义一项使用优化参数分析的研究，只需要创建一个新研究并将求解的变量值设置为之前的解，如图 11 所示。

图11. 使用优化的参数值设置分析。

结果：网格的位移和影响

变形图与所选的材料参数无关，如下图 12 所示，用于直观的显示分析结束时的状态。

图 12. 分析结束时模型的变形。

如前所述，网格会影响应变状态。我们还对精细化模型进行了分析（没有损坏），如图 13 所示。

图13. 细化的模型网格。

图 14 显示了第四个数据点 (8 mm) 处的黏合剂域中的第一主应变。

图14. 黏合剂域中的第一主应变，未精细化（左）和精细化后（右）。

可以看出，细化模型中的应变值要高得多，未细化模型中没有明显的梯度变化。分析过程中应变的最大值如图 15 所示，显示反作用力是为了表明网格细化不会影响它的值。

图 15. 黏合剂域中的最大主应变和反作用力。未细化和细化的网格结果。

结果：优化超弹性模型的材料参数

材料参数及其优化后参数的总结，如表2 所示。

表2. 初始和优化缩放和材料参数；无损伤。

产生的力-位移曲线如图 16 所示。

图 16. 超弹性模型的力–位移曲线。

可以看出，在材料软化之前，Yeoh 模型预测结果与试验数据具有极好的一致性。

敬请关注

接下来的博文中，我们将为材料提出基于物理学的损伤演化定律，该定律容易实施，并结合了材料软化（单调和循环加载）、蠕变和循环过程中滞后曲线的稳定。

敬请关注本系列博客的第 2 部分内容。

关于作者

Björn Fallqvist 是 Lightness by Design 公司的一名顾问，从事基于数值分析的产品开发工作。他于 2016 年获皇家理工学院博士学位，致力于开发本构模型以捕捉生物细胞的机械行为。他的主要专业兴趣是材料表征领域，专长是使用各种材料模型描述物理现象。

参考资料

1. C. Kumar, “通过各种超弹性材料模型对测量数据进行拟合“, COMSOL Blog, 2015.
2. O.H. Yeoh, “Some forms of the strain energy function for rubber”, Rubber Chemistry and Technology, 5, vol. 66, pp. 754–771, 1993.