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如何构建多体动力学模块中的齿轮几何

作者 Pawan Soami

2016年 8月 17日

高还原度的齿轮几何模型，对于执行耦合了其他物理现象的多体动力学仿真而言帮助巨大。考虑到这一点，COMSOL 在“零件库”中提供了很多内置零件，帮助用户免去手动创建几何体的麻烦。有了这些高度参数化的齿轮零件，创建多种多样的平行轴线齿轮和行星齿轮系变得更加得心应手。请阅读本文了解到如何使用不同类型的内置零件创建一个“多体动力学模块”中高还原度的齿轮模型。

内置齿轮零件的优势

虽然从理论上讲，我们能够在仿真中通过精确模拟齿轮间的接触相互作用，对机械装置进行分析。然而，若将此方法应用于多体动力学分析，计算时间会相当长。一个更好的方法是引入数学公式来模拟齿轮之间的接触和相互作用。

借助相应的公式，我们能创建出高还原度的齿轮几何模型，为执行瞬态和频域研究提供精确的惯性属性。除此之外，“零件库”中的齿轮几何也可用于计算静态接触分析中齿轮的啮合刚度，并且适用于多物理场的耦合模拟。需要注意的是，虽然并未对齿轮的啮合刚度进行有限元分析，但是这种刚度仍然客观存在于成对的齿轮齿接触中。在多体动力学分析中加入真实齿轮几何的另一个好处是：在建立物理场或执行后处理时，可以展示出更好的视觉效果。

斜齿轮副的视图。
使用“零件库”创建斜齿轮副几何模型。

虽然可以手动建立几何体，但使用内置零件会让工作变得更加简单、高效。这些零件本质上是参数化的，这意味着只需简单地调整几何参数，就可以改变零件的形状，包括自由添加轴和圆角等多个特征。这些零件经历了大量检验，验证输入数据以及齿轮、轴和接触边界等选择的有效性，这些检验步骤确保了零件的性能更加接近物理实体。在“零件库”的帮助下，指定齿轮的位置和方向、使齿轮啮合与配对的齿轮对齐等操作变得非常简单。这些零件还包含鲁棒性几何操作，在创建复杂的齿轮几何形状时十分好用；此外，我们还可手动更改零件的几何操作。

“零件库”中齿轮零件分为三类：外部啮合齿轮，内部啮合齿轮与齿条。如您希望了解“零件库”中有关齿轮零件的更多信息，请阅读齿轮模拟系列的博客文章。

基于单个齿轮构建齿轮系

“零件库”中的齿轮基本上都是单个齿轮或齿条，但在真实的应用条件下，齿轮一般都是成对使用。为此，我们要用单个的齿轮零件来构建齿轮系。为了清晰地解释构建步骤，我们将使用以下二维直齿轮副作为示例。已知的物理量如下：

第一个齿轮的位置（x_1,y_1）
第一个齿轮的节圆半径（r_1）
第二个齿轮的节圆半径（r_2）
第二个齿轮的角位置（\theta）

图像展示了直齿轮副。
直齿轮副示意图，图中显示了两个齿轮的中心距和第二个齿轮的角位置。

为了将第二个齿轮设置在适当的位置，首先需要计算中心距 d：

d = r_1+r_2

将第二个齿轮的位置（x_2,y_2）定义为：

x_2 = x_1 +d \cos{\theta}

y_2 = y_1 +d \sin{\theta}

将第二个齿轮放置在正确的位置上后，下一步是对准两个齿轮的轮齿，在此示例中则称为啮合。具体方法是，将第二个齿轮在旋转中的啮合对齐角 \theta_a 定义为：

\theta_a = \frac{\pi}{n_2}+\mod \left(\frac{\theta}{\theta_{m1}}\right)\frac{n_1}{n_2}+\mod \left(\frac{\theta}{\theta_{m2}}\right)

其中 \theta_{m1} 和 \theta_{m2} 分别表示两个齿轮的啮合周期，其表达式为：

\theta_{m1}=\frac{2\pi}{n1};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\theta_{m2}=\frac{2\pi}{n2}

其中 n_1 和 n_2 分别表示第一个和第二个齿轮的齿数。

计算完第二个齿轮的位置以及啮合对齐角后，我们将它们作为表达式或数字添加到第二个齿轮的输入参数栏中，如下图所示：

二维直齿轮零件的输入参数，红框内的参数为齿轮中心和啮合对齐角。

设立齿轮参数

在此示例中，我们使用渐开线曲线来定义齿廓。每一种齿轮应用都有其独特的齿形和尺寸，因此对于不同的应用，须选择相应类型的齿轮齿。以下输入参数可用于控制齿轮齿的形状和尺寸：

齿数（n）
分度圆直径（dp）
压力角（\alpha）
螺旋角（\beta）
齿顶高与模数比（adr）
齿高度与齿顶高比（htr）
齿隙与分度圆直径比（blr）
齿顶圆角半径与分度圆直径比（tfr）
齿根圆角半径与分度圆直径比（rfr）

若这些位置上不需要圆角，那么可以将齿顶圆角半径或齿根圆角半径设为零。

图像显示了控制外部轮齿的各个输入参数。
控制外部轮齿的各个输入参数。

大部分输入参数之间存在一定的物理关系，通过搭配使用这些参数能使几何结构具有更好的扩展性。我们可以利用这些输入参数计算出多个齿廓参数：

法向模数：m = dp/n*cos\beta
齿顶：ad = adr*m
齿高度：ht = htr*m
齿根高：dd = ht-ad
基圆直径：db = dp*\cos\alpha
齿顶圆角半径：tf = tfr*dp
齿根圆角半径：rf = rfr*dp
节圆处的齿厚度：t = \pi *m/2 -blr*dp

针对一些特殊的应用，须采用相应特定类型的齿轮齿。对于高速齿轮装置而言，高压角齿轮更为适合，因为其磨损率小于标准齿轮齿廓的磨损率。同时高速齿轮装置中还需专门留出齿隙，为轮齿之间的润滑油膜留出空间，防止齿轮过热和轮齿损坏；另一方面，在仪器、机床和机器人等精密设备中，应当避免出现齿隙，因为这些装置中的齿隙会导致输入轴和输出轴之间出现空转，从而难以实现准确的定位。

图像展示了具有不同压力角和模数的齿轮。
具有不同压力角和模数的齿轮。左图：具有标准齿廓的齿轮。中图：大压力角齿轮。右图：大模数齿轮。