如何在 COMSOL Multiphysics® 中计算几何对象间的距离

你是否曾在 COMSOL Multiphysics® 软件中模拟过变形的几何对象，并且想要求出它们之间的距离？在今天的博客文章中，我们将介绍如何利用确定最短距离场的方法计算对象之间的距离，并讨论如何将距离场用作多物理场模型的一部分。

使用“广义拉伸”组件耦合计算距离

我们将两个对象分别标记为 A 和 B，如下所示。我们要计算的三个距离是：

1. 到对象 A 的距离为距离场。这时，我们计算的是对象 A 周围和内部的所有点，距离 A 边界上最近一点的距离和方向，即 d_A。
2. 对象 B 边界上的每个点到对象 A 上最近点的距离，即 d_AB。
3. 对象 A 和 B 之间最短线段的端点，即 d_AB,min。

A 和 B 两个对象以及待计算的距离。

我们可以组合使用 COMSOL Multiphysics 中的“广义拉伸”和“最小值”组件耦合来计算上述所有不同距离。我们先看一看如何使用“广义拉伸”组件耦合。首先，给算子添加名称 A_b，并将其源选择 定义为对象 A 的边界。在高级 一栏中，使用最近点 作为网格搜索方法。相关设置如下，此算子的所有其他设置则可保留默认设置。

用于计算最近点距离的“广义拉伸”组件耦合的设置。请注意，网格搜索方法被设为 最近点。

我们将此算子引入名为 d_A 的变量，变量的定义如下：

sqrt((x-A_b(x))^2+(y-A_b(y))^2)

此变量被定义在待计算距离场的所有域中，在本例中，即对象 A 和 B 周围的域。我们也可以计算该距离场的梯度负值 -\nabla d_A(\mathbf{x})。由此一来，我们获得了指向 A 边界上最近点的向量场的分量。我们可以使用“微分”算子 d(d_A,x) 和 d(d_A,y) 来提取空间导数，如下方截图所示。

变量定义。

我们可以将这些变量应用在任意地方，例如绘制距离场，或者使材料属性依赖于距离。下图绘制了距离场的等值线及其方向矢量。请注意，对象 B 后方的区域中的距离也可以进行计算。显而易见，我们获得了大量的信息，但计算成本也相当之高，因为系统计算了周围域中每个点到对象A的最短距离。有时候，我们只需计算出对象之间的距离，并不需要所有信息。

两个对象的周围域到对象 A 边界的距离场（等值线）和最短方向（箭头）。

计算对象之间的间隙

下面我们要简化任务，舍弃方向，只计算两个对象之间的距离。我们使用同一个“广义拉伸”组件耦合，但这一次只需在对象 B 的边界上定义一个用于计算距离的变量。

定义对象之间距离的变量。

我们使用了同一个距离函数，但是没有对对象A和B周围的区域剖分网格。我们甚至也不必对 A 和 B 域剖分网格；只要在对象边界上创建网格即可。这种方法可以缩短计算时间，不过只能计算对象 A 到对象 B 边界上每一点的最短距离，而无法提取方向矢量。我们还可以反过来，计算从对象 B 到对象 A 边界上每一点的最短距离。在下图中，两种最短距离显示在对象边界中。

对象 B 边界上的每个点到对象 A 上最近点的距离以及正好相反的结果。

使用“最小值”组件耦合计算对象之间的最短线段

接下来，我们继续寻找两个对象之间最短距离的线段。在上一节中，我们计算了描述 A 到 B 及 B 到 A之间最短距离的变量 d_AB 和 d_BA；在这一节中，我们将找出域边界之间的最短距离。为此，我们建立了两个“最小值”组件耦合：一个用于对象 A 的边界，另一个用于对象 B。如下方截图所示，两个算子的名称为 minA 和 minB。

对象 A 边界上的 最小值组件耦合的定义。

接着，我们调用“最小值”组件耦合来提取最短距离。我们还可以向“最小值”组件耦合添加第二个变元，借此找到距离最短处的坐标。例如将变量 A_x 的表达式定义为 minA(d_BA,x)，可以获取对象 A 边界上 d_BA 最小值对应的 x 坐标。

两个域之间最短线段的坐标定义。

我们可以在任意地方调用定义上述坐标的变量，例如使用截线 特征来显示连接两个对象的最短线段，如下图所示。如果对两个对象之间的域剖分网格并求解，那么我们可以沿二者间的最短线段来绘制场结果。

用于确定对象之间最短线段的 截线 特征。

在 COMSOL Multiphysics® 中计算距离的局限和应用

这些用来确定距离的技术适用于任何模型。虽然本文展示的是二维示例，但它们都能延伸至三维空间。然而，计算三维距离场确实要花费相对较长的时间，而计算边界和间隙之间的距离则计算量相对较少。

在计算非平滑形状周围的距离场时，我们需要考虑得更加细致。在下图中，凹角周围的距离场是非平滑的，因此在与边界的两个不同部分等距的线上，方向矢量均未定义。要解析距离场的非平滑性，必须提高网格的精细度。

粗化网格（左图）和细化网格（右图）上带凹角对象的周围和内部距离场。在这种情况下，距离场的平滑度取决于网格。

只要我们在适当细化的网格中计算了距离场，就能像对待模型中的任何其他变量一样处理距离场。举例来说，我们可以使材料属性随着与表面间距离的增加而变化。下图显示了一种代表性的材料分布。

一种代表性的材料分布，此分布为与表面间距离的函数。

我们还可以使用距离函数来可视化模拟结果。假设我们只需对距离表面一定范围之内的区域进行求解。在这种情况下，我们可使用过滤器 子特征来制作体图，然后输入一个逻辑表达式，使模型仅显示到对象表面一定距离之内的结果，相关示例如下。

使用距离函数仅绘制与表面相距 5 mm 之内的解。

关于在 COMSOL Multiphysics® 中计算对象之间距离的结语

在上文中，我们演示了如何计算模型中到边界的距离场、边界间的距离和两个边界间的最短线段。这种方法也适用于计算三维模型中始于边和点的距离场。计算出的距离值可以应用于模型设置、物理定义和结果计算中的任何地方。我们在上文中分享了数个示例，现在轮到你来动手了。我们十分乐意听到你的想法！

更多资源

• 查找 COMSOL Multiphysics 中的各种建模帮助资源：
  • 使用 COMSOL Multiphysics® 中的帮助工具和建模指导
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