使用 COMSOL Multiphysics® 模拟铁磁材料

铁磁材料在电子元件和电动机械中无处不在。电磁建模的分析对象可以是各种广泛的应用，或是某种恰好具有磁性的材料特性（比如结构钢的力学阻力）。在这两类情况中，铁磁零件都会对其周围的磁场造成影响，所以精确模拟铁磁材料的影响对于设备或系统的正常运行至关重要。

铁磁材料的分类

分类是认识不同材料呈现的各种磁性能的有效手段。最简单的一种分类体系如下：

1. 弱磁性材料
   1. 可使外加磁场产生微弱变化（例如顺磁性材料和抗磁性材料）
2. 软铁
   1. 可有效集中外部磁通量，但本身不具有“固有”磁化强度（因此如果放在没有磁场的区域中，软体会退磁）
3. 硬铁，下文称之为永磁体
   1. 即便没有外加磁场也会产生磁通量

第 2 和第 3 类材料被称为铁磁体。

不过，这种分类并不像表面上那么简单，因为软铁和永磁体之间的界限未必如此清晰，而且某些特性是两种类型所共有的。一种材料在无外部磁源时可能表现出微弱的磁化强度（类似于永磁体），但是，它的磁化强度也会因为外加磁场而大大增强（类似于软铁）。

此外，有的材料会表现出滞回性能，也就是说，在应用并移除外部载荷之后，它的磁性将变得与原先不同。外部载荷不一定指电流所产生的磁场，也有可能是物理位移（参照下方视频）。

综上所述，在处理铁磁材料时，我们需要描述各种截然不同的磁性能。在本篇博客文章中，我们将分析 COMSOL® 软件的相关可用选项。

磁性本构关系概述

磁性能的多样性体现在各种不同的系统中（包括有利或不利影响），所以表征磁性能范围的能力非常重要。

“AC/DC模块”能够通过下表第一列的八种预定义本构关系，自动添加所有类型的磁性能，它也允许用户输入自己用代码编写的外部材料。弱磁性材料的表征通常利用第一个选项——相对磁导率，这也是 COMSOL Multiphysics® 软件的系统默认选项。

处理铁磁材料则可能需使用另一种本构关系。下表中的前四个选项适用于软铁，再往下四个则适用于永磁体。两组均按照本构关系的复杂程度进行递增排序：越靠后，磁化动力学就需要通过更多特性来描述。

软铁或硬铁模拟所使用的规律与所需的参数数量一览。*“AC/DC 模块案例库”中的示例仿真 App 可以基于标准的 B-H 曲线自动计算 等效 B-H 曲线的函数。欢迎阅读已发布的博客文章，了解关于这类功能的更多信息。**外部磁性材料是 B-H 曲线的一个子选项。详细信息请参阅关于访问外部材料模型的博客文章。

下方八张绘图解释了上表中的各种本征关系在 B-H 平面中的典型动力学特征。在 B-H 绘图中，y 轴表示磁通密度 B。磁通的解释不存在太多模糊性，因为它可以直接测量。x 轴是磁场 H 的量度。H 的解释或许依赖于受分析系统的具体情况（下文的案例将解释这一点）。

目前我们只考虑理想的磁路。磁路材料是一个长度为 L 的圆环，由 N 匝载流为 I 的线圈均匀绕成。在此例中，H = N*I/L。根据应用不同，制造商可能用这种设计（或另一种设计，例如爱波斯坦方圈）来展示 B-H 曲线。

下面，我们列举了一些案例，大致介绍如何针对一些典型应用中常见的磁性材料来使用这些条件。

软铁的适用规律

本构关系	B-H 特性	注解
相对磁导率		如果磁场很小，则可能用于软铁 此规律可以对短路供电下电力变压器柱中的层压铁芯进行很好的描述
磁损耗	•	所有铁磁材料在较高频率下的典型特征 高频电感器、变压器或通量集中器中的铁氧体材料通常会在数据表中提供此类数据
B-H 曲线		钢铁软磁性材料的最常见描述 包含磁饱和效应 用于可移动的磁路，比如马达和发电机（即磁阻不断变化的磁路） 对于小磁场，B-H 曲线表现为相对磁导率 本构关系
等效 B-H 曲线		专用于交流供电的 B-H 曲线 本构关系的一般规律 适用于静态电路，或几何构型相对于外部交流磁场缓慢变化的情况 感应加热装置中的铁磁零件，或开路状态下的变压器芯可能会使用此条件 对于小磁场，等效 B-H 曲线表现为相对磁导率 本构关系

永磁体的适用规律

本构关系	B-H 特性	注解
磁化		稀土永磁体的常见描述 用于现代马达、发电机和传感器
剩余通量密度	•	磁化 本构关系的一般规律 可以更好地引入与电流磁化反向的外加磁场所导致的退磁效应 在外加磁场变化很小的情况下，适用于与铝镍钴合金类似的材料
B-H 非线性永磁体		COMSOL Multiphysics 5.3a 版本将它添加到了“AC/DC 模块”的磁场 与磁场，无电流 接口中 针对于磁体厂商只提供了单轴数据时，永磁体退磁现象的模拟 常用于高温条件下的铝镍钴合金和稀土磁体 B-H 曲线 和磁化 本构关系的结合，因为它采用了与 B-H 曲线 本构关系相似的描述，但移动了 B-H 平面的曲线
磁滞 Jiles-Atherton 模型		包含大量不同参数，因此可灵活地模拟不同材料 可用于计算马达和其他电机内的微调损耗（尽管有时其适用范围会因难以获取材料参数而受到限制）

需要注意的是，我们没有提到第一个表中的外部磁性选项。这是一个子选项，选定 B-H 曲线 本构关系之后就可以显示，它可用于模拟更多的通用磁力规律。一篇已发布的博客详细介绍了一个相关案例。该选项通常适用于可能包含条件逻辑的定制磁滞模型。

上表讨论的所有参数和函数均可能是模型中其他参数的函数。认识到这一点极其重要，因为我们可以利用这一函数关系添加多物理场效应，或者在处理材料非线性时拥有更多自由度。

在磁路的拓扑优化教学模型的案例中，相对磁导率 本构关系被手动添加了非线性依赖关系，由此使其表现与 B-H 曲线 完全相同。此案例表明，转换本构关系与在相对磁导率输入框中写入 murOfB(mf.normB) 一样简单。这是一个实用技巧，因为磁导率随即被设为了 1-p^2+p^2*murOfB(mf.normB)，所以规律描述的是 p 为 0 的区域内的空气和 p 为 1 区域内的软铁（模型中 p 是根据拓扑优化而变化的函数。请注意，正如模型文档所解释，输入 normB 的函数时还需要进行其他操作，以避免收敛问题。模型中“将复数变量拆分成实部和虚部”的选项处于开启状态）。

感应加热是设置磁导率函数的另外一个实用用途。在此类情况中，材料超过了居里温度。这时，通常将磁导率设为形如 1+f(T)*(mur(normB)-1) 的函数，其中，f(T) 函数在低温时从 1 开始不断降低，达到居里温度时降为 0（高于居里温度互仍为 0）。在精确模拟钢的多个感应加热过程（比如淬火）时，需要采用此方法。更普遍的做法是，从文献或者数据表中获取很多 B-H 参数与温度的函数依赖关系，然后使用相同的方法将它们插入仿真中。

尽管很多参数在表格中被称为“标量”或“函数”，但它们可能是“张量”，或是由一组函数来填充矢量或张量。认识到这一点很重要，因为磁性本质上是一个矢量。实际上，对于第一张表中的所有特性，“AC/DC 模块”提供了完整模拟各向异性材料的选项。矢量磁滞教学模型中讨论了相关的案例，该模型采用了各向异性的 Jiles-Atherton 材料，并重现了已发表的数据。

磁场的矢量性质对于模拟移动的磁力机械至关重要。下面的动画展示了旋转机械仿真中的磁通密度，外部域是参照 Jiles-Atherton 磁滞模型来描述的。左侧是旋转中的磁滞域，右侧是旋转中的内部磁体。对比左图的任意一点与右图中相应的点，矢量 B 和 H 的所有分量都遵循旋转矢量必须满足的转换。右侧动画是结果是左侧动画的刚性旋转结果。

旋转机械的磁通量，其中磁滞材料表明矢量性质是准确的，所以磁场源（左图）坐标系和磁滞域（右图）坐标系内的局部场完全一致。

利用 COMSOL Multiphysics® 模拟铁磁材料

下面，我们通过一个示例展示，当模拟同一铁磁材料在不同工艺流程中的特性时，可以采用的不同规律。这里的假设前提是：只有一组有限的可检索的典型材料信息可用。

在此示例中，我们模拟一个如下图所示的磁路。红色区域代表一块非线性软铁，被表征为不明显的剩余通量和磁滞 B-H 曲线（来自“AC/DC模块”的“材料库”中可用的软铁 材料：弯头在大约 5400[A/m] 时达到 1.5[T]）。蓝色区域代表缠绕在软铁芯上的线圈。绿色区域表示我们计划利用不同规律进行分析的对象，它可以是初始时没有磁化的铝镍钴合金元件。

磁路的几何结构，它包含软铁（红色）、线圈（蓝色）和类似于铝镍钴合金的材料（绿色）。开始时合金棒没有磁性，线圈通电后被磁化，被从磁路中抽出后（箭头方向）就会退磁。

我们可以对四种不同工作条件下的磁路进行仿真：

1. 由于线圈通电，铝镍钴合金元件从无磁状态向磁化状态转变
2. 由于步骤 1 对线圈通电，铝镍钴合金元件被磁化，甚至在线圈断电后，仍然保持最大的磁化强度
3. 在步骤 2 最后，磁化的铝镍钴合金元件被从铁芯中拔出，因此部分退磁
4. 磁化的铝镍钴合金元件被放回磁路中，基本上保持了被从磁路抽出时的低磁性剩余通量

我们或许会想调整整个周期的本构关系。这一操作确实可行，但通常需要铁芯厂商专门进行特殊的独立测量。例如，我们应该不难知道完全磁化材料的 H 值，以及对应的剩余通量和退磁曲线。

在此例中，假设我们已知外加的 30[kA/m] 磁场达到了磁饱和，B-H 平面第二象限的（单轴）退磁曲线记录在下方表格中。曲线从 H = 0 处的剩余通量 Br 开始，在（负值）矫顽磁场的 Hc 处 B = 0。需要注意的是。表中记录的数据精确地表征了 COMSOL Multiphysics “AC/DC 模块”的“材料库”中的可退磁非线性磁体 材料。

如果您希望导入自己的数据，请查阅软件内置的案例材料。需要注意的是，您需要提供矫顽磁场 Hc和适当放置的退磁曲线。考虑到初始的曲线跨越了第二象限，曲线应沿 H 轴平移 abs(Hc)。操作后，输入的 B-H 曲线将从 (0,0) 开始，在 abs(Hc) 值处剩余通量密度达到 Br。更多操作指导请查阅 AC/DC Module User’s Guide。

“AC/DC模块”的“材料库”中可用的 可退磁非线性永磁体材料的第二象限 B-H 曲线数据。

四个过程中铝镍钴合金元件中心的磁通密度水平分量的轨迹如下图所示。不同颜色代表不同的阶段：

1. 蓝色曲线：与电流馈电相关（该步骤从左开始，始于 H = 0 处，无电流；在右侧很远处达到最大磁化强度）
2. 绿色曲线：与断开电流的过程相关（从右侧很远处开始；在左边 H = 0 处磁通密度达到有限值，此时线圈中没有电流流经）
3. 红色曲线：与由于被从磁路中取出而导致的退磁过程相关；与上表中的数据完全相同
4. 蓝绿色曲线：重新将磁体插回磁路中；此过程从左边开始（整个磁体脱离磁路），在右边结束（磁体完全位于磁路内）

四个阶段过程中铝镍钴合金中心的磁通密度的水平分量。

下方视频展示了向铝镍钴合金元件施加条件，这些条件生成了上图中的轨迹。

值得注意的是，这些仿真都非常简单，均为稳健的参数化稳态仿真，而且最终始于之前的求解结果。利用这种设置，开发相同的三维模型或者更复杂的几何形状都可以变得很简单。如上文所述，我们使用了之前的求解数据来关联不同区域的特性。这解释了为什么上方的曲线图中存在细微的不连续。

我们可以对模型进行调整，使过程精准地连续在一起，但是区分最终的附加参数可能需要更多信息和测量数据。通过这些操作步骤，我们发现测量值或许不是必要信息，利用通常可用的材料数据也可以获取合理的求解结果。

回顾上方曲线图中的磁滞回线，我们可以对 x 轴代表的物理量做个记录。对于步骤 1 和 2 中的 x 轴，我们自然会将它理解为与驱动电流成正比的物理量。在步骤 3 和 4 中，线圈内没有电流，磁场依赖于元件的空间位移。因此很难毫不犹豫地判断应该在 x 轴上应用哪一个物理量。在步骤 3 中，我们使用了内置变量 axialH。在步骤 4 中，我们采用了与磁路之间的归一化位移。这些不同的定义对于解释 B-H 曲线很重要，它可以帮您在创建绘图时摸清研究者的意图（也就是说使用哪个实验装置）。

本例清楚表明，我们可以在不同的研究中替换成不同的本构关系，针对这些本构关系的特性，我们可以根据之前计算结果中的变量写入任何表达式。为了不陷入复杂的讨论，所以我们在本文中采用了最简单的方法。至于更先进和精密的铝镍钴合金元件被从磁路中取出和再插入的三维模型，可以查阅自退磁模型。该模型为磁体的再插入过程添加了一个局部的线性反冲模型。

结论

在本篇博客中，我们分析了 COMSOL Multiphysics 和“AC/DC 模块”中各种模拟磁性材料的选项。我们首先阐述了磁学的基本原理，并提供了一组条件，指明了与每一条规律相适应的真实材料和装置。我们还讨论了多物理场模拟功能以及更高级条件的应用方法。

即使如此，在选择本构规律时，我们仅仅浅显地触及一小部分重要考虑因素。我们建议您参考末尾的拓展资源，欢迎联系我们获取更多关于软件的信息。

下一步工作

欢迎了解“AC/DC 模块”在模拟磁性等材料方面的功能概览。如希望查看软件的实际操作，可以在产品页面申请软件演示。

更多资源

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