半导体中的辐射效应是一个复杂的物理现象，广泛存在于许多技术领域并产生影响，例如电子工业、医学成像、核工程以及航空航天和军事应用。基于早期的论文研究（参考文献1），本文通过一个 COMSOL 案例教程，介绍了如何在 COMSOL® 软件中研究 p-i-n 二极管（又称 PIN 二极管）对电离辐射的电子响应。自 COMSOL Multiphysics® 5.5 版本开始，半导体模块包含此案例教程。
定义全局时间参数
为了研究稳态和瞬态响应，我们用时间单位定义全局参数 t，并用全局参数t和瞬态产生速率 gR 来定义全局分段函数 pw1，该函数在此模型中描述了一个单位三角脉冲的峰值。
使用时间参数 t 和与瞬态产生速率 gR 定义全局参数。
全局分段函数 pw1 描述了一个单位三角脉冲峰值。
稳态求解器通过时间参数 t 可以识别具有相同名称的内置时间变量 t。因此，我们可以使用相同瞬态表达式 gR，方便地模拟辐射剂量产生速率，而无需考虑研究类型。
产生速率的相同瞬态表达式 gR 可用于稳态研究和瞬态研究。
在稳态研究中，可以通过设置时间参数 t 的值来适当调整剂量。
反向偏置二极管
p-i-n 二极管由 300um 厚的硅晶片构成，其掺杂曲线如下图所示。
p-i-n 二极管的掺杂曲线。
p-i-n 二极管被反向偏置到 1kV，以收集由辐射产生的载流子。这是通过模型中的稳态研究完成的。根据全局参数表的规定，时间参数 t 的值为 0[s]，因此电压扫描的辐射为零（不产生辐射）。
参考文献中使用的与场有关的迁移率模型使方程组极度非线性且难以求解。幸运的是，我们有多种方法可以克服这一困难。例如，可以先将连续参数 cp 设置为零来假设迁移率与场无关。这样，有助于将施加电压 V0 从平衡状态迅速地升至 1000V 工作电压。
通过将连续参数 cp 设置为零，对与场无关的独立迁移率进行第一次电压扫描。
通过这一设置，还可以将连续性预测变量从默认的常数 更改为线性。线性 选项通过线性外插法加速电压扫描，并为下一个扫描参数估计初始预估值。而默认的常数 选项则将当前解作为下一个扫描参数的初始预估值，这是一种较为保守的方法。在大多数情况下，该方法适用于高度非线性半导体方程组。但对于本文介绍的模型而言，此方法则过于保守。
选择线性预测器。
当对与场无关的迁移率完成电压扫描之后，我们可以将这组解用作与场有关的全迁移率模型的初始预估值。这一过程可以通过“参数化扫描” 节点将扫描电压参数 V0 与扫描参数 index 配对来完成。
将扫描参数 index 与扫描电压参数 V0 配对。
然后，在步骤1：稳态 节点的设置窗口中使用“手动”选项，将参数 index 选择为与每个 V0 值对应的正确解。
为每个电压值输入解。
当计算完成后，可以绘制出载流子的损耗和电场的累积，如下图所示。可以看到，在电压扫描结束时，结果与预期吻合，即空穴完全耗尽，电场大致稳定。
载流子损耗（左）和电场建立（右）的电压扫描结果
稳态响应
当二极管在 1000V 时完全反向偏置，开始研究该器件对稳态辐射的响应。如前所述，在以前的研究中，时间参数 t 在全局参数表中定义为 0[s]。因此，脉冲函数 pw1(t/tp) 为零，并且源于辐射 gR 的产生速率也为零。为了指定非零辐射，只需将时间参数 t 设置为脉冲持续时间 tp，脉冲函数 pw1(t/tp) 就是单位脉冲了。然后，可以直接通过参数 RadSi 指定剂量率，单位：Rad（Si)/s。
将时间参数 t 设置为脉冲持续时间 tp ，然后使用参数 RadSi 指定剂量率。
我们将看到，对于高剂量率，与场有关的迁移率将产生一个有意思的结果。但是，这也使方程组变得极度非线性并且难以求解。在之前的电压扫描研究中，通过将求解过程分为两个阶段（第一阶段是与电场无关的迁移率，第二阶段是完全迁移率）解决了这一难题。在当前的剂量率扫描研究中，我们使用了一种替代方法，即通过使用一个具有完全迁移率的个体研究来解决这个难题。
由于问题是非线性的，使用 瞬态牛顿 求解器的收敛速度比理想的二次方程收敛慢。反过来，这又导致连续求解器对扫描参数 RadSi 采取的步长太小。对于这种情况，我们可以使用带有适当阻尼系数的恒定牛顿 选项替代。另外，在参数1节点下我们为连续求解器设置了一个更好的初始步长，以防止因初始步长太大而浪费时间回溯。最后，我们可以使用 Anderson 加速度来进一步提高性能（通过利用来自非线性迭代的历史记录信息），并使用较小的最大迭代次数减少回溯中浪费的时间。
使用阻尼系数小的 常数牛顿法和 Anderson 加速度方案解决非线性难题。
优化连续求解器的步长。
计算完成后，绘制几种电离速率的稳态电场分布和空穴密度分布图，如下所示。
各种剂量率下，电场（左）和空穴密度（右）的稳态响应。
在高剂量率下产生的载流子分离导致电场在二极管本体中减小。相应的较小漂移速度导致载流子在同一本体区域中堆积。预期此效果将减慢时间响应，我们将在下节中介绍。
瞬态响应
完成稳态研究后，我们现在来研究参考文献中图8中给出的三角波脉冲辐射效应。该波形由模型中的脉冲函数 pw1(t/tp) 提供，具有标准化的单位高度。峰值剂量率由参数 RadSi 指定，单位为Rad（Si）/s。由于初始条件是由静态研究的解提供的，并且相对于整体变量而言，瞬态影响是很小的扰动因变量，因此，我们将瞬态求解器的容差调整为 1e-8 ，并对相关变量使用基于初始值的缩放。另外，我们可以使用事件 接口来捕获施加辐射脉冲结束时斜率的陡变。
使用 事件接口标记辐射脉冲的结束。
将瞬态求解器容差调整到 1e-8，并将静态研究中的解作为初始条件。
对因变量使用 基于初始值的缩放。
瞬态研究显示，与较小剂量率的结果（下方蓝色曲线）相比，较大剂量率（下方绿色曲线）的光电流波形具有明显的拖尾。
光电流响应模拟结果表明，与较小剂量率（蓝色）相比，较大剂量率（绿色）的拖尾更严重。
通过查看下图的电场和载流子浓度可以解释上述现象。当电子和空穴被电场沿相反的方向扫描时，电荷分离导致本体中的电场减小。这导致相同本体区域中的漂移速度小得多，因此，载流子在该区域中停留的时间更长。
本体中电场减小。
本体中的空穴（左）和电子（右）载流子发生停滞。
如上所述，使用 COMSOL Multiphysics® 中的通用后处理工具，我们可以轻松地绘制一个包含所有基本信息的汇总图。
空穴密度（z轴高度）和漂移速度（颜色）随时间（y轴）变化的汇总图。
结论
在本篇博文中，我们通过 p-i-n 二极管及其对电离辐射的稳态和瞬态响应案例教程展示了一些实用的仿真技术，最终仿真结果与参考文献中公布的数据非常吻合。
下一步
单击下面的按钮，尝试自己动手建立模型（请注意，您需要使用有效的许可证登录到 COMSOL Access 帐户才能访问MPH文件）：
参考文献
- C.W. Gwyn, D.L. Scharfetter and J.L. Wirth, “The Analysis of Radiation Effects in Semiconductor Junction Devices,” IEEE Conference on Nuclear and Space Radiation Effects, Columbus, Ohio, July 10–14, 1967.
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