了解近轴高斯光束公式

高斯光束被认为是最有用的光源之一。为了描述高斯光束，有一个数学公式叫做近轴高斯光束公式。今天，我们将通过使用 COMSOL Multiphysics® 软件中的电磁波，频域 接口来了解这个公式，包括其局限性。我们还将进一步详细介绍利用该公式时的一个潜在错误原因。在稍后的博客中，我们将为这里讨论的局限性提供解决方案。

高斯光束：最有用的光源及其公式

由于可以聚焦到所有电磁波束中最小的光斑尺寸，所以高斯波束可以提供最高分辨率的成像，以及固定入射功率的最高功率密度，这在材料加工等领域可能很重要。这些品质是激光成为最有吸引力的光源的原因。为了获得尽可能紧密的聚焦，大多数商用激光器都被设计为在最低横向模式下工作，称为高斯光束。

因此也会有模拟一个具有最小光斑尺寸的高斯光束的需求。有一个公式可以很好地预测实验中的真实高斯光束，并且可以方便地应用于仿真研究。但是，使用这个公式有一定的局限性。当您尝试描述一个光斑尺寸接近其波长的高斯光束时，就会出现限制。换句话说，当试图在模拟中观察高斯光束最有利的特征时，这个公式就变得不太准确。在后面的博客文章中，我们将讨论更准确地模拟高斯光束的方法；本文后半部分，我们将只关注近轴高斯光束。

说明高斯光束的会聚、聚焦和发散的示意图。

注意：术语“高斯光束”有时可用于描述具有“高斯分布”或“高斯分布”的光束。当我们在这里使用术语“高斯光束”时，它总是指“聚焦”或“传播”高斯光束，包括幅度和 相位。

推导近轴高斯光束公式

近轴高斯光束公式是由麦克斯韦方程导出的亥姆霍兹方程的近似。这是第一个需要注意的重要因素，而我们讨论的其他部分将重点关注公式是如何推导出来的，以及从中做出哪些类型的假设。

因为激光束是电磁波，它满足麦克斯韦方程。时谐假设（波在时间上以单一频率振荡）将麦克斯韦方程从时域变为频域，从而得到单色（单波长）亥姆霍兹方程。假设有一定的极化，它进一步简化为标量亥姆霍兹方程，为简单起见，将平面外电场用二维表示:

其中，对于真空中波长 \lambda，k=2 \pi/\lambda。

准轴高斯光束的最初想法是从近似标量亥姆霍兹方程开始的，将传播因子剔除，留下缓慢变化的函数，即 E_z(x,y) = A(x,y)e^{-ikx}，其中传播轴在 x 轴，是缓慢变化的函数。这将产生一个等式

 
对于激光腔中沿光轴传播的波来说可以进行这类因式分解。下一个假设是 |\partial^2 A/ \partial x^2| \ll |2k \partial A/\partial x|，这意味着沿光轴传播的波的包络是缓慢的，并且 |\partial^2 A/ \partial x^2| \ll |\partial^2 A/ \partial y^2|，这意味着波在光轴上的变化比在横轴上的变化慢。这些假设得出了亥姆霍兹方程的近似值，就是所谓的准亥姆霍兹方程，即：

 
这个近轴亥姆霍兹方程的特解给出了近轴高斯光束公式。对于焦点处的一个给定的腰束半径，缓慢变化的函数由以下公式给出

其中，w , R 和 \eta 是光束半径的函数，分别为波前曲率半径和 古依相移（Gouy phase）。以下定义适用：w = w_0\sqrt{1+\left ( \frac{x}{x_R} \right )^2 }, R = x +\frac{x_R^2}{x}, \eta = \frac 12 {\rm atan} \left ( \frac{x}
{x_R}\right ), 和 x_R = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}

其中，x_R 称为瑞利范围。在瑞利范围之外，高斯光束大小与到焦点的距离成正比，并且 1/e^2 强度位置以近似发散角 \theta = \lambda/(\pi w_0) 发散.

近轴高斯光束的定义。

注意：明确给出哪些数量以及正在计算哪些数量是很重要的。要指定近轴高斯光束，必须给出腰半径 w_0 或远场发散角 \theta。这两个量通过近似发散角方程相互依赖。所有其他量和函数都源自这些量并由这些量定义。

在 COMSOL Multiphysics® 中模拟近轴高斯光束

在 COMSOL Multiphysics 中，近轴高斯光束公式作为内置背景场，包含在射频和波动光学模块的电磁波、频域 接口中。该接口带有用于解决电磁散射问题的公式选项，即全场 公式和 散射场 公式。

如果选择了散射场公式，则近轴高斯光束 选项可用，如下面的屏幕截图所示。通过使用这个功能，您可以在 COMSOL Multiphysics 中使用近轴高斯光束公式，而不需要键入相对复杂的公式。相反，您只需指定腰束半径、焦点位置、偏振和波数。

高斯光束背景场设置的屏幕截图。

显示具有不同腰束半径的近轴高斯光束的电场模的图。请注意，背景场的变量名称是 ewfd.Ebz。

探讨近轴高斯光束公式的局限性

在散射场公式中，总场 E_{\rm total} 被线性分解为背景场 E_{\rm bg} 和散射场 E_{\rm sc}， 作为 E_{\rm total} = E_{\rm bg} + E_{\rm sc}. 由于总场必须满足亥姆霍兹方程，因此，(\nabla^2 + k^2 )E_{\rm total} = 0 式中 \nabla^2 是拉普拉斯算子。这是全场公式，其中 COMSOL Multiphysics 求解总场。另一方面，这个公式可以改写为非齐次亥姆霍兹方程的形式

上述方程是散射场公式，COMSOL Multiphysics 对散射场进行求解。这个公式可以看作是一个带有散射势的散射问题，它出现在右侧。很容易理解，如果背景场满足亥姆霍兹方程（在近似 Sommerfeld 辐射条件下，如吸收性边界条件），散射场将为零，因为除了数值误差外，右侧为零。如果背景场不满足亥姆霍兹方程，则右侧可能会留下一些非零值，在这种情况下，散射场可能是非零的。这个场可以被看作是背景场的一个误差。换句话说，在某些条件下，你可以准确地限定和量化你的背景场是如何满足亥姆霍兹方程的，以及满足了多少。现在，让我们来看看前面模拟中例子的散射场。

显示散射场的电场模的图。请注意，分散场的变量名称是 ewfd.relEz。另请注意，此错误场中包含数值错误以及公式的错误。

上面显示的结果清楚地表明，近轴高斯光束公式开始与亥姆霍兹方程不一致，因为它更紧密地聚焦。从数量上看，下图可能更清楚地说明趋势。这里，相对 L2 误差被定义为 \left ( \int_\Omega |E_{\rm sc}|^2dxdy / \int_\Omega |E_{\rm bg}|^2dxdy \right )^{0.5}，其中 \Omega 代表计算域，与网格大小相比。正如这张图所建议的，我们不能指望接近或小于波长的光斑尺寸的近轴高斯光束公式能够代表实验中真实发生的情况或真实电磁高斯光束的行为。在 COMSOL Multiphysics 中近轴高斯光束公式的设置中，默认的腰束半径是波长的十倍，这足以与亥姆霍兹方程保持一致。然而，它不是一个“截止点”数字，因为近似假设是连续的。什么时候需要谨慎使用此近似公式由您决定。

将散射场的相对 L2 误差与以波长为单位的腰束尺寸比较的半对数图。

检查近轴近似的有效性

在上图中，我们看到了腰束尺寸与近轴近似精度之间的关系。现在，我们可以检查之前讨论过的假设。推导出近轴亥姆霍兹方程的一个假设是，包络函数在传播轴上的变化相对较慢，即 |\partial^2 A/ \partial x^2| \ll |2k \partial A/\partial x|. 让我们在 x 轴上检查这个条件。为此，我们可以计算一个代表准近轴性的量。由于准轴亥姆霍兹方程是一个复杂的方程，让我们来看看这个量的实部，{\rm abs} \left ( {\rm real} \left ( (\partial^2 A/ \partial x^2) / (2ik \partial A/\partial x) \right ) \right )。

下图是计算结果，它是由波长归一化的 x 的函数。（你可以在绘图设置中通过使用导数操作数如 d(d(A,x),x) 和 d(A,x) 等键入。）我们可以看到，当腰束尺寸接近波长时，准轴性条件会被打破。这张图表明随着光束变快，光束包络在焦点周围不再是一个缓慢变化的包络。我们在建议阅读部分显示了查看相同趋势的不同方法。

具有不同腰束尺寸的近轴高斯光束沿x轴的近轴性实部。

关于近轴高斯光束公式的结束语

今天的博客文章涉及与近轴高斯光束公式相关的基础知识。了解如何有效利用这种有用的公式需要了解其局限性以及如何确定其准确性，这两个因素都是我们在此强调的因素。

还有其他方法可以更严格的方式模拟高斯光束，让您突破最小光斑尺寸的限制。我们将在后续的博文中讨论这个话题。敬请关注！

编者按，2018 年 7 月 2 日：后续博客文章“模拟波动光学的非近轴高斯光束公式”现已发布。

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• P. Vaveliuk, “Limits of the paraxial approximation in laser beams”, Optics Letters, Vol. 32, No. 8 (2007)
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