在之前的博客中，我们讨论了将材料参数拟合到材料模型中需要正确的测量数据，分析了一些典型的实验测试、材料模型选择对工作条件的考量，并通过示例演示了如何在非线性弹性模型中直接使用测量数据。这篇博客，我们将重点介绍如何将实验数据拟合到不同的超弹性材料模型中。
COMSOL Multiphysics® 中的曲线拟合
当我们获得测量数据后，上述问题随即变为：如何基于测量数据估计即将用于定义超弹性材料模型的材料参数？在 COMSOL Multiphysics® 中解决此问题的方法之一是使用 参数估计 节点将参数化解析函数拟合到测量数据中。
接下来的部分，我们将推导出 单轴测试 和 双轴测试 两种标准测试设置中常见的几种超弹性材料模型应力-应变关系的解析表达式，然后将这些解析表达式拟合到测量数据中，以获取材料参数。
各向同性超弹性
通过表征超弹性材料的体积变形来估计材料参数是一个相当复杂的过程。我们经常会在估计参数时假定材料完全不可压缩。对于橡胶和弹性体来说，这通常是一个合理的假设。
我们首先回顾不可压缩公式的基本概念，随后推导几种超弹性材料模型的名义应力解析表达式。
对于近似不可压缩超弹性，总的应变能密度可由下式表示：
式中，W_{iso} 是等体积应变能量密度， W_{vol} 是体积应变能量密度。
对于不可压缩超弹性，应变能密度可表示为：
式中，p_{p} 是拉格朗日乘数，用于强制执行不可压缩约束 J = 1。
第二 Piola-Kirchhoff 应力张量可以表示为：
式中，J 为体积比, C 为右柯西-格林张量。
可以将上述方程的第二项展开，这样第二 Piola-Kirchhoff 应力张量可被等效表示为：
式中， \bar{I}_{1} 和 \bar{I}_{2} 是等体积右柯西-格林张量 \bar{C} = J^{-2/3}C 的不变量。
第一 Piola-Kirchhoff 应力张量 P 和柯西应力张量 \sigma 可以表示为第二 Piola-Kirchhoff 应力张量的函数：
\sigma& = J^{-1}FSF^{T}
\end{align}
式中, F 是变形梯度。
注：更多关于应力度量的讨论，请阅读往期博客：为什么需要所有这些应力和应变？
应变能密度和应力通常以拉伸比 \lambda 的形式表示，拉伸比 测量了变形的大小。在单轴拉伸实验中，拉伸比定义为 \lambda = L/L_0，其中 L 是样本变形后的长度，L_0 是原始长度。在多轴应力状态下，您可以计算主参考方向 \hat{\mathbf{N}_a} 下的主拉伸比 \lambda_a\;(a = 1,2,3) ，即主应力的方向。应力张量分量可以通过谱形式重写为
\sum S_{a} \hat{\mathbf{N}_{a}} \otimes \hat{\mathbf{N}_{a}}
式中， \lambda_a 表示第二 Piola-Kirchhoff 应力张量的主值，\hat{\mathbf{N}_{a}} 表示主参考方向。您可以通过谱形式将右 Cauchy-Green 张量表示为
\sum S_{a} \hat{\mathbf{N}_{a}} \otimes \hat{\mathbf{N}_{a}}
式中 ， \lambda_a 表示主拉伸比的值。这使您能通过主拉伸比的函数来表示第二 Piola-Kirchhoff 应力张量的主值
现在，考虑 结构材料系列博客的第一部分中介绍的单轴和双轴拉伸测试。我们可以推导出这两个测试中应力与应变间的一般关系。
在不可压缩性假设下 (J=1)，各向同性超弹性材料中单轴变形的拉伸比为
变形梯度为
在单轴拉伸 S_2 = S_3 = 0 中，体积应力 p_{p} 可通过以下公式估算
等体积不变量 \bar{I}_{1_{uni}} 和 \bar{I}_{2_{uni}} 可以通过主拉伸 \lambda 表示为
\bar{I}_{1_{uni}} = \left(\lambda^2+\frac{2}{\lambda}\right) \\
\bar{I}_{2_{uni}} = \left(2\lambda + \frac{1}{\lambda^2}\right)
\end{align*}
假设不可压缩，各向同性超弹性材料中双轴变形的主拉伸比为
在双轴拉伸 S_3 = 0 中，消去体积应力p_{p} 可得到
不变量 \bar{I}_{1_{bi}} 和 \bar{I}_{1_{bi}} 可由下式得出：
\bar{I}_{1_{bi}} = \left( 2\lambda^2 + \frac{1}{\lambda^4}\right) \\
\bar{I}_{2_{bi}} = \left(\lambda^4 + \frac{2}{\lambda^2}\right)
\end{align*}
不可压缩超弹性材料模型中的应力与主拉伸比
现在我们将分析几个最常见超弹性材料模型中应力与拉伸的关系。出于曲线拟合的目的，我们将考察第一 Piola-Kirchhoff 应力。
Neo-Hookean 模型
Neo-Hookean 材料模型的总应变能密度为
式中，\mu是我们需要通过曲线拟合计算的材料参数。假设完全不可压缩，并使用方程(1) 和 (2), 单轴和双轴变形的第一 Piola-Kirchhoff 应力表达式为
P_{1_{uniaxial}} &= \mu\left(\lambda-\lambda^{-2}\right)\\
P_{1_{biaxial}} &= \mu\left(\lambda-\lambda^{-5}\right)
\end{align*}
下方列出了其他一些超弹性材料模型中的应力与拉伸关系。这些关系式可以轻松使用方程 (1) 和 (2) 推导, 它们将应力与应变能密度相关联。
两参数 Mooney-Rivlin 模型
P_{1_{uniaxial}} &= 2\left(1-\lambda^{-3}\right)\left(\lambda C_{10}+C_{01}\right)\\
P_{1_{biaxial}} &= 2\left(\lambda-\lambda^{-5}\right)\left(C_{10}+\lambda^2 C_{01}\right)
\end{align*}
式中，C_{10} 和 C_{01} 是 Mooney-Rivlin 材料参数。
五参数 Mooney-Rivlin, Five Parameters 模型
P_{1_{uniaxial}}& = 2\left(1-\lambda^{-3}\right)\left(\lambda C_{10} + 2C_{20}\lambda\left(I_{1_{uni}}-3\right)+C_{11}\lambda\left(I_{2_{uni}}-3\right)\\
& \quad +C_{01}+2C_{02}\left(I_{2_{uni}}-3\right)+C_{11}\left(I_{1_{uni}}-3\right))\right)\\
P_{1_{biaxial}}& = 2\left(\lambda-\lambda^{-5}\right)\left(C_{10}+2C_{20}\left(I_{1_{bi}}-3\right)+C_{11}\left(I_{2_{bi}}-3\right)\\
& \quad +\lambda^2C_{01}+2\lambda^2C_{02}\left(I_{2_{bi}}-3\right)+\lambda^2 C_{11}\left(I_{1_{bi}}-3\right))\right)
\end{split}
\end{align}
式中，C_{10}, C_{01}, C_{20}, C_{02} 和 C_{11} 是 Mooney-Rivlin 材料参数。
Arruda-Boyce 模型
P_{1_{uniaxial}} &= 2\left(\lambda-\lambda^{-2}\right)\mu_0\sum_{p=1}^{5}\frac{p c_p}{N^{p-1}}I_{1_{uni}}^{p-1}\\
P_{1_{biaxial}} &= 2\left(\lambda-\lambda^{-5}\right)\mu_0\sum_{p=1}^{5}\frac{p c_p}{N^{p-1}}I_{1_{bi}}^{p-1}
\end{align}
式中, \mu_0 和 N是 Arruda-Boyce 材料参数，c_p 是朗格文反函数的泰勒展开得到的已知常数。
Yeoh 模型
P_{1_{uniaxial}} &= 2\left(\lambda-\lambda^{-2}\right)\sum_{p=1}^{3}p c_p \left(I_{1_{uni}}-3\right)^{p-1}\\
P_{1_{biaxial}} &= 2\left(\lambda-\lambda^{-5}\right)\sum_{p=1}^{3}p c_p \left(I_{1_{bi}}-3\right)^{p-1}
\end{align}
式中，c_p 是 Yeoh 材料参数。
Ogden 模型
P_{1_{uniaxial}} &= \sum_{p=1}^{N}\mu_p \left(\lambda^{\alpha_p-1} -\lambda^{-\frac{\alpha_p}{2}-1}\right)\\
P_{1_{biaxial}} &= \sum_{p=1}^{N}\mu_p \left(\lambda^{\alpha_p-1} -\lambda^{-2\alpha_p-1}\right)
\end{align}
式中，\mu_p 和 \alpha_p 是 Ogden 材料参数。
使用 COMSOL Multiphysics® 进行曲线拟合
使用 COMSOL Multiphysics® 中的 参数估计 研究步骤，我们将上述解释的解析表达式与测量数据拟合以获取材料参数。请注意：这里使用的材料数据是 名义应力，其定义为当前构型下作用于原始面积上的力。因此，我们将把测量数据与第一 Piola-Kirchhoff 应力的解析表达式进行拟合。下图显示了在硫化橡胶的单轴和双轴测试中测量得到的名义应力（原始数据）。
通过 Treloar 测量得到的应力-应变曲线。
首先建立模型，将单轴 Mooney – Rivlin 应力与单轴实测数据拟合。第一步是添加 稳态 研究。请注意，我们的分析不依赖于任何特定几何结构。
接下来，我们可以定义需要计算的材料参数，以及解析应力与伸长比关系的变量。下列屏幕截图显示了单轴 Mooney – Rivlin 材料模型中定义的参数和变量。
在 参数估计 研究步骤中, 我们可以将测量的单轴应力与伸长比数据作为输入文件。文件中的第一列包含伸长比数据，我们将模型参数 lambda 与之相关联。对于包含名义应力数据的第二列, 我们将标称应力的解析表达式与变量 P 相关联。有关 参数估计 研究步骤的详细说明, 请查看 COMSOL 案例库中的 Mooney – Rivl 曲线拟合教程。
通过将单轴拉伸试验数据与 Mooney – Rivlin 材料数据相拟合,我们现在可以解决上述问题并估计材料参数。 然而，只使用一次材料测试数据很少能成功。正如此系列博客的第一部分中所解释的，看似简单的测试可能会留下很多漏洞。
下列屏幕截图显示了 参数估计 研究步骤的设置。优化算法为用于求解最小二乘问题的 Levenberg–Marquardt 求解器。当前模型设置为最小化单轴测试案例的全局最小二乘目标函数。
下列绘图描述了拟合的数据与测量数据的对比，伸长比达到 1.37。
根据具体工作条件，您可以结合测量得到的单轴拉伸、压缩、双轴拉伸、扭曲和体积测试数据更准确地估计材料参数。这些编译的数据随后可以用于对每个应用案例的解析应力表达式进行拟合。
例如，我们能同时使用双轴拉伸测试数据和单轴拉伸测试数据。既然我们已经针对单轴测试建立了优化模型，接下来将为双轴测试再定义一个全局最小二乘目标并将增加相应的参数和值列。在第二个全局最小二乘目标中，我们通过指定测量得到的双轴应力与拉伸数据文件作为输入文件，并在值列中指定双轴解析应力表达式来拟合双轴测试数据。
使用 Neo-Hookean 模型拟合的材料参数。为两个测试数据指定同等权重。
如果在拟合曲线时为两个测试指定不相等权重，此时将得到略有不同的拟合曲线。与 Neo-Hookean 模型类似，我们将建立一个对应于 Mooney-Rivlin、Arruda-Boyce、Yeoh 和 Ogden 材料模型的全局最小二乘目标。我们在下方的计算中先后分析了同等和不等权重的情况。
在不等权重的情况下，我们将在整个双轴数据集中使用一个更高的任意权重。同时，您还可以只对特定而非整个拉伸范围应用不等权重。此时，我们可以通过为每一个拉伸范围设定单独的 全局最小二乘目标 特征，从而将具体测试案例分为几部分，进而在不同的拉伸范围应用不等权重。
下图为两种测试在等权重和不等权重下，不同材料模型的拟合曲线。
左：使用 Mooney-Rivlin、Arruda-Boyce 和 Yeoh 模型的拟合材料参数；为两组测试数据指定了同等权重。右：使用 Mooney-Rivlin、Arruda-Boyce 和 Yeoh 模型的拟合材料参数；为双轴测试数据指定了更高的权重。
当为两组测试指定同等权重时，包含三项参数的 Ogden 材料模型对两组测试数据的拟合非常好。
使用包含三项参数的 Ogden 模型拟合材料参数。
如果只拟合单轴数据，并使用计算参数针对实际双轴测试数据绘制双轴应力，将得到下图所示的结果。图片显示计算与测量双轴应力之间存在不匹配。在材料参数估计中，最好能结合不同的大变形模式执行曲线拟合，而非只使用一种变形模式。
仅拟合模型参数与单轴测量数据，计算得到的单轴和双轴应力。
结束语
拟合解析曲线是找出超弹性材料模型中材料参数的不错方法，但还应考虑给定超弹性材料模型的稳定性。我们通常采用 Drucker 稳定性标准来确定材料的稳定性。根据 Drucker 标准，与增量应力相关的增量功总应大于零。如果违反了该标准，材料模型将不稳定。
这篇博客，我们逐步演示了如何使用COMSOL Multiphysics® 的 参数估计 研究步骤对几个不同的示例进行曲线拟合。在利用 COMSOL Multiphysics® 拟合实验数据曲线 博客中，我们还讨论了另一种不需要 参数估计 研究步骤的曲线拟合方法。与文中使用单轴和双轴拉伸数据来估算材料参数的做法类似，您还可以将测量数据拟合到剪切和体积测试中，以表征其他变形状态。
有关使用 参数估计 研究步骤进行曲线拟合的详细介绍，请查看 COMSOL 案例库中的Mooney-Rivlin 曲线拟合教程。对于其他类型的材料模型和载荷案例，请查看 COMSOL 案例库中的教程模型：
扩展学习
- 通过搭接剪切试验估计超弹性材料参数
- 如何在 COMSOL Multiphysics® 中估算非线性材料模型的参数
- 如何在 COMSOL Multiphysics®中测试数值材料模型
- 如何在 COMSOL Multiphysics® 中使用最大似然法进行参数估计
编者注，2025/2/11: 修正了总应变能密度公式，并增加了如何在 COMSOL Multiphysics® 中进行参数估计和测试材料稳定性的学习资源。
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