如何使用 COMSOL Multiphysics® 为广义平面应变建模

许多细长结构可以使用二维横截面进行有效建模。一个典型的假设是平面应变近似，它意味着所有平面应变分量都是零。这种假设适用于面外变形被抑制的情况，例如固定结构的末端。然而，在许多情况下，结构会在面外方向上自由扩展。让我们来讨论如何对这种有时被称为广义平面应变的情况进行建模。

利用平面应变、平面应力和广义平面应变条件

在平面应变条件下，物体不能在面外方向上扩展。在此方向上，通常存在由非零泊松比引起的面内应变耦合应力。另一方面，当研究薄板时，平面应力假设更加实用。在这种情况下，材料在面外方向上自由收缩或膨胀，横向应力为零。

如果与面内尺寸相比，结构在横向上很长，但在横向上仍不受约束，那么上述假设都不适用。这时我们可以采用广义平面应变条件。

广义平面应变状态公式

平面应变公式的一种可能的推广是假设应变独立于面外坐标。在 COMSOL Multiphysics® 软件中，可以借助截面的二维几何图形和固体力学 接口来实现这个假设，其中平面应变公式是默认选项。

假定应变张量的分量仅仅是面内坐标 x 和 y 的函数（可能是时间）：

(1)

在小应变的假设前提下，应变张量的分量与位移场相关：

(2)

上述方程有下列三维解：

(3)

其中 a、b 和 c 是常数系数。

相应的平面应变是：

(4)

这种应变状态不同于标准平面应变假设，原因在于法向面外应变非零，在横截面上做线性变化。在截面 z = 0 时，变形位于平面内，并且通过面内位移分量 u（x，y） 和 v（x，y） 进行充分表征。

法向面外应变表达式中的系数 a、b 和 c 可作为额外的自由度（DOF）引入到整个模型中（全局变量）。我们可以使用结构力学 接口提供的外部应变 特征来引入额外的应变贡献。

当分析应力光学效应时，比如由几层不同的材料组成的双折射波导（如绝缘体上硅波导），广义应变公式非常重要。应力光学效应教程模型展示了这种情况。

广义平面应变公式的应用实例

为了说明这种方法的效率，我们考虑一个简单的梁状结构，它由两个拥有方形横截面的 1 cm 层组成。这些层由弹性和热性能差别极大的材料制成的：铝和尼龙。数据来自 COMSOL Multiphysics 软件内置的“材料库”。面外 z 方向上的长度 L = 20 cm。假定该结构是在高温下制造的。由于材料的热膨胀性能不一致，当冷却到工作温度时，结构中会累积残余热应力。这使得结构在面外方向上轻微弯曲。

下图显示了一个总位移绘图，以及完整的三维模型和二维广义平面应变条件：

利用给定三维位移场的解析解，将横截面内 u（x，y） 和 v（x，y） 的二维解向面外 z 方向拉伸。

三维解需要约 32000 个自由度，而二维解大约只需要 250 个自由度。

下图显示沿其中一个边的面外应变和应力的变化。

沿 z 轴的应变（左）和应力（右）。

大约 80% 真实三维结构中的应力和应变场与广义平面应变理论的预测相似。只有在应力趋于零的自由端附近，应变场开始偏离横截面内的线性分布。

在 COMSOL Multiphysics® 中添加广义平面应变条件

为了引入广义平面应变近似所需要的变化，一种方法的第一步是使用二维组件和固体力学 接口，然后在“模型开发器”树中添加以下节点：

“模型开发器”树，显示添加广义平面应变条件所需的节点。

除了二维问题的标准设置之外，您还必须执行以下步骤。首先，在全局方程 节点中，将 a、b 和 c 系数添加为自由度（DOF）。请注意，本文没有为这些变量设置任何方程。因此，除了变量名称以外，所有输入字段都保留默认值。

全局方程节点显示 a、b 和 c 系数。

在变量 节点中，根据 a、b 和 c 定义面外法向应变分量 eZ。

变量 节点，显示变量 eZ 的表达式。

其次，将额外的应变分量添加到外部应变 节点的应力-应变关系中。请注意，在使用 Hooke 定律计算弹性应力应变之前，您在此节点中输入的任何表达式都将从总应变中减去。通常，这个节点可以用来包含非弹性效应；例如由各种机电多物理效应引起的应变。在这里，我们只是将它作为一种机制来增加额外的平面应变分量，在平面应变公式中此分量默认为零。

外部应变 节点，显示额外的应变分量。

最后，在弱贡献 节点中，添加由面外应力完成的额外的虚拟工作。由此建立了一个（弱贡献 形式）方程来确定 a、b 和 c，在这里，solid.d 是定义在固体力学 接口中的 z 方向的厚度。

弱贡献节点，显示弱表达式。

替代方程

您也可以跳过上面的第三步和第四步，直接将应变变量 eZ 插入到线性弹性材料节点的方程中。为此，请确保已启用方程视图。

方程视图设置。

这样，z 方向的新应变直接变成材料模型的一部分，并且被添加到线弹性材料 节点所生成的弱表达式中。

结束语

我们在本文中展示了如何使用 COMSOL Multiphysics 建模功能来模拟面外方向上自由延伸的细长结构。通过使用二维广义平面应变近似，我们能够显著减少计算工作量，同时再现结构中可能发生的面外弯曲——这种三维效应在压电器件和光波导等应用中非常重要。我们也可以引入结构的面外剪切，这对于某些压电产品应用非常重要。

更多资源

• 在 COMSOL 博客了解更多结构力学建模：
  • COMSOL Multiphysics® 应力线性化建模入门
  • 模拟线性弹性材料能有多难？