弹性波，时域显式接口简介

COMSOL Multiphysics^® 软件 5.5 版本中提供了一个节省内存的物理场接口，用于模拟弹性波在固体中的传播（结构中的振动）。该弹性波，时域显式 接口基于时域显示时间积分方案的高阶间断伽辽金法，可以实现声学大型模型的高效多核计算。该接口可实现多物理场耦合，并且可以耦合到流体域。今天，我们将探讨如何使用此接口，并演示了一些案例模型教程。

弹性波，时域显式接口

弹性波，时域显式 接口专用于包含许多波长的大型区域上的瞬态线性弹性波传播问题。它适用于具有任意随时间变化源和场的时域仿真。该接口基于间断伽辽金方法（dG-FEM），使用时域显示求解器。

通常，弹性波，时域显式 接口适合于模拟与波长相比较大的距离的弹性波传播，例如超声波传播（无损检测）或土壤和岩石中的地震波传播。

该接口适用于二维（广义的平面应变）和三维，包括用于设置有效无反射边界条件的吸收层（海绵层，如下图所示）。当处理波传播问题时，用户界面和边界条件与固体力学接口中的功能基本一致。该接口支持阻尼以及各向同性，正交各向异性和各向异性的固体材料。

弹性波的用户界面，时域显式接口，以及“地震后的地面运动：一座小山的散射案例模型”。

如下图所示，点击声学>弹性波 栏，添加“弹性波，时域显式”物理场接口。请注意，这是 COMSOL® 5.5 版中增加的新类别，以适应新物理场接口的分类。

此类别还包括两个已有的有限元（FEM）接口。多孔弹性波 接口主要用于声学和结构的耦合波在多孔材料中的传播。此外，还有一个添加“固体力学”接口的快捷方式，因为它也可用于模拟弹性波，这就是为什么要在声学模块中添加“弹性波”类别。

“添加物理场向导”中声学 > 弹性波”栏中的“弹性波，时域显式”接口位置。

控制方程

该模型使用速度-应变公式求解一般线性弹性材料的控制方程

式中，\mathbf{v} 是速度，\rho 是密度，\mathbf{S}是应力张量，\mathbf{E} 是应变张量，\mathbf{C} 是弹性张量（或刚度张量），\mathbf{F}_\textrm{v} 是可能的体积力。

该方程对于各向同性和各向异性材料数据均适用。我们可以以瑞利阻尼（Rayleigh damping）的形式将耗散添加到模型中，即在运动方程（第一个方程）的右侧添加一个质量和刚度阻尼项。

多物理场能力

新接口可实现多物理场耦合，可以与压力声学，时域显式”接口耦合，以便对时域中的大型声振或声-结构相互作用（ASI）问题进行建模。

新的声–结构相互作用，时域显式 多物理场具有建立此类耦合的功能。为了充分利用时域显式公式，在耦合具有不同属性的域时，必须使用所谓的“不相容网格”（在边界处不连续的网格，这将在下面进一步讨论）。通过新的“声–结构边界对，时域显式” 多物理场耦合可以处理几何装配件（见下图）。使用不相容网格是对不连续单元属性问题的常用拓展使用方式。

“浸入式声测试装置”模型案例使用“声-结构边界对，时域显式“多物理场耦合功能（黄色边界）耦合固体和流体域。浅蓝色域代表吸收层。

在水和浸入水中的钢测试样件中的压力波传播动画。

网格和求解

针对振动问题做网格剖分时，必须在空间上解析结构中传播的波。当然，这并非仅适用于间断伽辽金时域显式法，而是适用于声学模块的所有基于波传播的物理问题。

与求解流体中的波动问题（压力声学）的一个显著区别是，在弹性结构内部及其表面可以有多种不同的波传播。在体内，压力（纵向）波和剪切（横向）波可以同时传播；在自由表面或与另一种材料的交界处可以传播表面/界面波，例如瑞利波。下图为一个多种波传播的示例。此外还有在波导结构中传播的弯曲波和扭转波。

地震后的地面运动：一座小山的散射案例模型中四种不同的波传播。

不同的波以不同的速度传播并具有不同的波长。传播最慢的波 c_\textrm{min} 的具有最短的波长 \lambda_\textrm{min}。这是定义网格尺寸的长度比例。弹性波 接口（与其他时域显式接口一样）的默认设置是使用四次（四阶）形函数，将最大单元大小 定义为

式中，f_\textrm{max} 是传播信号中需要求解的最大频率分量。

请注意，使用四阶单元时，每个波长仅需要约 1.5 个网格单元即可解析波。最好通过网格收敛性研究来确认该单元个数因子。当然，计算网格还应该适当地解析几何细节和曲面。通常，使用间断伽辽金时域显式法，通过将曲率因子 设置为 0.3~0.4 可以很好地解决曲面问题。在软件内部，COMSOL® 使用弯曲的高阶网格单元。

上述方法使用了时域显示时间步进方案。这对求解器在逐步进行求解时要采用的内部时间步长设置了严格的限制。时间步长由所谓的单元波时间尺度的全局最小值控制。单元波时间尺度是指局部网格大小与传播最快的波 c_\textrm{max} 之间的比率。这意味着模型中的一个小网格单元将控制求解器可以采用的全局时间步长。在大多数应用中，压力波的传播要快于其他类型的波，因此默认值等于压力波速度，即 c_\textrm{max} = c_\textrm{p}，（当使用了高级物理选项时可以更改此值）。

可以通过绘制变量 elte.wtc（关闭平滑和细化）来可视化单元波时间尺度。该值不直接表示内部求解器的时间步长，但允许用户识别出哪些单元有问题并控制时间步长。因此，在用弹性波，时域显式 接口求解的模型划分网格时，需要考虑三个因素：

1. 使用约1.5个单元解析最小波长 \lambda_\textrm{min} = c_\textrm{min}/f_\textrm{max}
2. 解析几何细节和曲面
3. 如果可能，避免创建小网格单元。网格尺寸与快速波速 c_\textrm{max} 之间的比率较小时 将主导时间步长。

当耦合具有不同材料属性（不同声速）的域时，这些因素尤其重要。这可以是在设置多物理场时，例如将流体耦合到固体，也可能是在单物理场应用中，例如具有不同材料属性的固体互相连接时。我们要避免由一组材料属性定义的较小网格单元从一个域传播到另一个域。在联合体几何（通过形成联合体创建的几何体）中，使用相容网格时，会发生这种情况。

为了解决这个问题，使用具有装配几何体的不相容网格是关键。对于多物理场应用，请使用“声–结构边界对，时域显式” 多物理场功能。当耦合具有不同材料属性的固体域时，请使用“对”菜单下的“连续性”条件。

联合体几何是由一个或几个几何对象组成的一个几何对象。换句话说，它包含内部边界以区分不同域或材料。在装配体几何中，直到几何完成节点为止创建的所有几何对象都将在物理场上被视为断开。因此，必须使用上述的一致对和对边界条件连接断开的组件。

例如，下图所示的浸入式声检测装置”案例教程 针对首选的装配体设置（左）和联合体设置（右）绘制了单元波时间尺度。虽然色标相同，但描绘了各自的最小和最大值。具有不相容网格的装配体设置的最小时间尺度（2.93e-9）是联合体装配（1.61e-9）的两倍。这意味着装配体将使用更少的网格单元，以两倍的速度求解。

最后，使用间断伽辽金方法模拟线性超声波 博客文章中讨论的网格划分的一般准则也适用于此。在三维中，需要开启“单元质量优化”，它将优化并避免使用小网格单元。在二维中，可以使用先生成一个映射网格，再将其转换为三角形网格的方法，生成均匀大小的三角形网格。

注意：对于时域显式方法，约束时间步长可确保方法的稳定性（如果不满足该条件，则解将成指数型增长并最终爆炸）。对于传统的有限元时域隐式接口，求解器始终稳定。此处，适当调整求解器将确保在时间和空间上具有充足的数值分辨率。

后期处理

对使用时域显式接口模拟结果进行后处理时，请注意以下事项：
由于默认的离散化阶次为四次（四阶），因此自动生成的默认图使用单元细化设置为 6。在手动设置其他图时也应使用此设置。如果未正确设置，那么结果可能会不理想。

在求解大型瞬态模型时，存储的数据可能变得非常重要。为了减少存储量，一个好的策略是仅在需要的时间点和需要的位置存储数据，例如在边界或几个点上。这可以在求解器设置的因变量值部分中的”在输出中存储物理场”中进行设置。研究设置中的时间代表解存储的输出时间点。在内部，求解器将采取适当的时间步长。这些技巧我们在以前的博客文章中也讨论过。

案例模型

了解新接口的使用，请查看下列案例模型：

• 地震后的地面运动：一座小山的散射
• 各向同性-各向异性试样：弹性波传播
• 角钢梁无损检测
• 浸入式声检测装置

角钢梁无损检测案例模型的动画模拟结果。

扩展阅读

• 使用间断伽辽金方法模拟线性超声波
• 如何自动移除模型几何结构中的小细节