在 App 开发器中制作科赫雪花

波士顿今年的冬天非常暖和，不过我们最终还是迎来了今年的首场降雪。刚刚凝视窗外时，我不禁想到了雪花，然后又想起我们很难用数学描述它们的形成。不过，有种雪花是个例外，我们可以轻松对其进行描述，这就是科赫雪花。现在，我们将讨论如何用 COMSOL Multiphysics 的 App 开发器来创建这一形状。

创建科赫雪花

正如我们在之前博客中所讨论的，分形有一些非常有趣的工程应用。科赫雪花就是一种著名的分形，它的迭代构造方法非常简单：

1. 从一个等边三角形开始，这其实就是科赫雪花的零次迭代。
2. 找到当前雪花中每条边的中心点。
3. 在每条边的中心点增加一个向外的等边三角形，边长是当前每边长的 1/3。
4. 定义科赫雪花的下一次迭代，在之前雪花的外边及所有新增三角形的外边进行迭代。
5. 重复步骤 2-4，进行尽可能多的迭代。

下图显示了雪花的前 4 次迭代。

科赫雪花的前四次迭代。图片为 Wxs 自行制作。已获 CC BY-SA 3.0 授权，并通过 Wikimedia Commons 分享。

构建科赫雪花的几何结构

既然已经掌握了所用算法，我们现在将利用 COMSOL Multiphysics 及 App 开发器来创建这类结构。新建一个文件，在全局定义节点下创建一个二维几何零件。该零件包含五个输入项：等边三角形的边长；底边中心点的 x 及 y 坐标；以及如下图所示，从底边中心点指向顶点的法向矢量的分量。

这五个参数用来定义等边三角形的大小、位置及取向。

定义几何零件的输入参数。

用于定义等边三角形的多边形基元。

将零件绕底边中心旋转。

移动零件的位置。

定义几何零件后，我们可以在几何分支下调用零件的单个实例。最初的三角形相当于科赫雪花的零次迭代，我们现在可以开始使用 App 开发器来创建更复杂的雪花。

在 App 开发器内布置 App 的用户界面

科赫雪花 App 的用户界面非常简单，只包含两个可与用户交互的特征：滑块（下图中标为 1）指定了绘制雪花的迭代次数；按钮（2）用于绘制及展示生成的几何。此外，还包括一个文本标签（3）和一个数据显示（4），用于显示进行的迭代次数；最后，还有一个图形窗口（5），用于绘制生成的几何。

App 内包含一个表单，表单内含五项特征。

此外，App 中还包含两项声明，用于定义一个名为Iterations的整数值，缺省为零，允许用户修改；还包括一个一维双精度数组，称为 Center。阵列内单个单元的值为 0.5，用于找到每边的中心点。这个值始终不变。

两项声明的设定。

用户界面内的滑块特征控制了 Iterations 的整数值。下图显示了滑块设定及值，指定为 0 到 5 之间的整数。源的选择类似于数据显示特征，用于显示迭代次数。由于我们选了一个较易执行但执行效率并非最高的算法，所以限制用户可以执行五次迭代。

滑块特征的设定。

接下来，我们可以查看按钮的设定，如下图所示。点击按钮将运行两个命令。首先，调用 CreateSnowFlake 方法。之后，产生的几何将绘制在图形窗口中。

按钮设定。

我们已经察看了 App 的用户界面，并从中了解到雪花几何的创建需要在方法内实现。我们将再分析方法内的代码，左侧为行号，右侧用红色突出显示了文本字符串：

1  model.geom("geom1").feature().clear();                   
2  model.geom("geom1").create("pi1", "PartInstance");
3  model.geom("geom1").run("fin");
4  for (int iter = 1; iter <= Iterations; iter++) {
5    String[] UnionList = new String[model.geom("geom1").getNEdges()+1];
6    UnionList[0] = "pi" + iter;
7    for (int edge = 1; edge <= model.geom("geom1").getNEdges(); edge++) {
8      String newPartInstance = "pi" + iter + edge;
9      model.geom("geom1").create(newPartInstance, "PartInstance").set("part", "part1");
10     with(model.geom("geom1").feature(newPartInstance));
11       setEntry("inputexpr", "Length", toString(Math.pow(1.0/3.0, iter)));
12       setEntry("inputexpr", "px", model.geom("geom1").edgeX(edge, Center)[0][0]);
13       setEntry("inputexpr", "py", model.geom("geom1").edgeX(edge, Center)[0][1]);
14       setEntry("inputexpr", "nx", model.geom("geom1").edgeNormal(edge, Center)[0][0]);
15       setEntry("inputexpr", "ny", model.geom("geom1").edgeNormal(edge, Center)[0][1]);
16     endwith();
17     UnionList[edge] = newPartInstance;
18   }
19   model.geom("geom1").create("pi"+(iter+1), "Union").selection("input").set(UnionList);
20   model.geom("geom1").feature("pi"+(iter+1)).set("intbnd", "off");
21   model.geom("geom1").run("fin");
22 }

我们来分析每行代码的作用

1. 清除所有几何序列，以便重新开始绘制。
2. 使用缺省尺寸、取向及位置创建一个简单的三角形零件实例。这就是雪花的第零阶，标签标识符为 pi1。
3. 完成几何。这是重置所有几何指标的必须操作。
4. 根据指定的雪花迭代次数开始迭代，使用声明中的 Iterations 作为停止条件。
5. 定义一个空的字符串阵列UnionList。阵列中的每个单元均包含对应于不同几何对象的标签标识符。阵列的长度等于最后一次迭代的边数 + 1。
6. 定义 UnionList 阵列中的第一个单元。这是前一步迭代结果的标签标识符。请记住：我们已经在第 1-3 行创建了零次迭代。 iter 的整数值会自动转化为一个字符串，并附于字符串 "pi"。
7. 按之前创建的雪花的边数执行迭代。
8. 指定在此边上创建的新三角形零件实例的标签标识符。注意 iter 及 edge 的整数值会按顺序附于字符串 pi，即零件实例的标签标识符。
9. 创建一个三角形零件实例，并给与其刚刚指定的标签标识符。
10. 使用 with()/endwith() 语句指定行 11-15 指向当前零件实例。
11. 指定侧边三角形的长度。零阶的边长为 1，因此第 n 次迭代的边长为 (1/3)ⁿ。需要 toString() 函数来将浮点值转换成字符串。
12. 将新三角形的 x 位置指定为最后一次迭代时侧边的中点。edgeX 方法已收录在《COMSOL 编程参考手册》中。请回想我们将 Center 设为 0.5。
13. 指定 y 位置。
14. 指定三角形法向矢量的 x 分量。edgeNormal 方法已收录在《COMSOL 编程参考手册》中。
15. 指定法向矢量的 y 分量。
16. 结束 with()/endwith() 语句。
17. 将当前三角的标签标识符增加到所有对象列表中。
18. 结束在所有边上的迭代。
19. 针对几何序列中的所有对象执行一次布尔并集运算。指定标签为 piN，其中 N 是下一次的迭代次数。需要在 (iter+1) 前后加括号，以便将 iter 的增量值转换为字符串。
20. 指定最后一个未保存对象的内边界。
21. 完成几何。这将为下一次几何迭代重置所有几何指标。
22. 完成雪花创建的迭代循环。

至此，我们已经介绍了 App 中的各个方面。我们来看下结果！

我们的简单科赫雪花 App。

我们可以进一步拓展 App，将几何写成一个文件，甚至直接在其中执行其他分析。例如，我们可以设计分形天线。如果您对天线设计感兴趣，不妨看一下我们的Sierpinski 分形单极天线模型，甚至可以尝试从头创建模型。

自己动手操作：

如果您希望自行开发 App，或是还没用过 App 开发器，以下资料将对您非常有帮助：

• 下载《App 开发器简介》
• 观看视频教程，学习如何使用App 开发器和 COMSOL Server™
• 阅读博客，了解如何在各应用领域使用仿真 App

读完这些材料后，您将掌握如何对 App 进行拓展，从而能更改雪花尺寸、导出创建的几何，以及计算面积及周长。

您希望用 COMSOL Multiphysics 创建哪类 App 呢？如果您有任何疑问，欢迎随时与我们联系。