# 平面应力与平面应变的区别是什么?

2021年 5月 20日

### 固体力学中的不同二维公式

#### 平面应变

${\begin{array}{*{10}{l}} u&=&u \left ( x,y \right ) \\ v&=&v \left ( x,y \right ) \\ w&=&0 \end{array}} {\ }$

${\begin{array}{*{10}{l}} u&=&u \left ( x,y \right ) \\ v&=&v \left ( x,y \right ) \\ \varepsilon_{zz}&=&\varepsilon_{xz}&=&\varepsilon_{yz} &=& 0 \end{array}} {\ }$

#### 平面应力

{\begin{array}{*{10}{l}}u&=&u \left ( x,y \right )\\
v&=&v \left ( x,y \right ) \\\sigma_{z}&=& \sigma_{xz}&=&\sigma_{yz}&=& 0\end{array}}{\ }

#### 广义平面应变

${\begin{array}{*{10}{l}} u&=&u \left ( x,y \right ) – \frac{a}{2} z^2 \\ v&=&v \left ( x,y \right ) – \frac{b}{2} z^2 \\ w&=&\left (ax + by +c \right )z \end{array}} {\ }$

{\begin{array}{*{10}{l}}\varepsilon_{zz}&=&ax +by +c \\\varepsilon_{xz}&=&\varepsilon_{yz}&=&0\end{array}}{\ }

### 本构模型

${\begin{array}{*{10}{l}} \sigma_x &=& \frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon_{xx} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} \right )\right ) \\ \sigma_y &=&\frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon_{yy} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} \right )\right ) \\ \sigma_z &=&\frac{E}{1+\nu} \left ( \varepsilon_{zz} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} \right )\right ) \\ \tau_{xy} &=& 2G \varepsilon_{xy} \\ \tau_{yz} &=& 2G \varepsilon_{yz} \\ \tau_{xz} &=& 2G \varepsilon_{xz} \\ \end{array}} {\ }$

#### 平面应变

${\begin{array}{*{10}{l}} \sigma_x &=& \frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon_{xx} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} \right )\right ) \\ \sigma_y &=&\frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon_{yy} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} \right )\right) \\ \sigma_z &=&\frac{E \nu}{(1+\nu)(1-2 \nu)} \left( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy}\right ) &=& \nu \left ( \sigma_x + \sigma_y \right )\\ \tau_{xy} &=& 2G \varepsilon_{xy} \\ \tau_{yz} &=& 0 \\ \tau_{xz} &=& 0 \\ \end{array}} {\ }$

#### 平面应力

${\begin{array}{*{10}{l}} \sigma_x &=& \frac{E}{1-\nu^2} \left( \varepsilon_{xx} +\nu \varepsilon_{yy} \right) \\ \sigma_y &=& \frac{E}{1-\nu^2} \left( \varepsilon_{yy}+\nu \varepsilon_{xx} \right) \\ \sigma_z &=& 0 \\ \tau_{xy} &=& 2G \varepsilon_{xy} \\ \tau_{yz} &=& 0 \\ \tau_{xz} &=& 0 \\ \end{array}} {\ }$

#### 广义平面应变

${\begin{array}{*{10}{l}} \sigma_x &=& \frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon_{xx} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + ax +by +c \right )\right) \\ \sigma_y &=&\frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon_{yy} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + ax +by +c \right )\right) \\ \sigma_z &=&\frac{E}{1+\nu} \left( ax +by +c +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + ax +by +c \right )\right) \\ \tau_{xy} &=& 2G \varepsilon_{xy} \\ \tau_{yz} &=& 0 \\ \tau_{xz} &=& 0 \\ \end{array}} {\ }$

### 我应该选择哪种公式?

Von Mises 等效应力，使用平面应力假设。

1. 仅仅因为一个物体在横向上是自由的，并不意味着它处于平面应力状态。
2. 长物体不一定处于平面应变状态。这只有在两端固定的情况下才成立。

• 具有自由边界的薄物体可以用平面应力来近似。
• 一远离末端的具有自由边界的长物体，可以通过广义平面应变来近似。
• 一个与平面内尺寸厚度相当的物体必须被认为是完全三维的。

### 面内应力怎么样呢？

Von Mises 等效应力随着厚度的变化。图中参数是物体的厚度。

### 非弹性应变

\sigma_z。

• 对于平面应力情况，平面外膨胀是自由的，因此不会产生应力。
• 对于平面应变，整个截面受到压应力的值为 \sigma_z = -E \alpha \Delta T(x,y)。应力范围为 -245~0 MPa。
• 对于仅有拉伸的广义平面应变，增加一个恒定应力以使平均 \sigma_z 变为零。应力范围为 -184~61 MPa 。
• 对于含弯曲的广义应变，还增加了一个线性变化的应力场。应力范围为 -61~61 MPa。

### 关于等效应力的说明

\sigma_{\mathrm{Mises}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sigma_1 – \sigma_2)^2 +(\sigma_2 – \sigma_3)^2 +(\sigma_1 – \sigma_3)^2}

\sigma_{\mathrm{Tresca}} = \sigma_1 – \sigma_3