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岩土力学中的屈服面与塑性流动法则

作者 Fabio Bocchi

2014年 10月 16日

为了保证岩土工程建设的安全性，在施工时要求具有特定地基和结构加固。实地测试的成本极高，因此仿真就显得非常实用，甚至必不可少。人们开发了很多数值模型来深入研究土壤行为。在这里，我们将向您介绍 COMSOL Multiphysics 中用于研究土壤的运用最为普遍的模型，及对隧道开挖实例进行分析。

岩土工程快速入门

建筑界普遍存在这样一个趋势：海上结构物建造的水域越来越深；建筑物之间的距离越来越近；海上风力发电机建造在离海岸很远的深海中，这使其可能面临着极其严苛的负载条件。因此，近几十年来，岩土工程师开发了多种数值仿真来应对这种建筑趋势以确保建筑的安全性。

隧道开挖现场照片。
“Paris Metro construction 03300288-3″。已获 Public domain 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

塑性与岩土材料

塑性是指材料能稳定地发生永久变形而不破坏其完整性的能力，金属、土壤、岩石、混凝土等材料便具有这样的特性。当造成弹性形变的应力上升到达一个特定的应力级别——屈服应力时，材料开始产生塑性形变。

弹/塑性行为是与路径相关的，应力取决于材料的之前的变形行为。因此，塑性模型通常与应力变化速率直接关联，而非应力和塑性应变。整个行业中应用最为广泛、最著名的塑性模型是以 von Mises 屈服面为基础的，该模型中塑性流动不因压力的大小而改变。因此，屈服条件及塑性流动只以偏应力张量为基础。

然而，因为分析土壤物质时需考虑摩擦和膨胀的影响，所以该模型对此类材料无效。让我们来看看该如何解决这个问题，并简单介绍一下 COMSOL Multiphysics® 仿真软件中不同的土壤塑性模型。

土壤及岩石的塑性

对于土壤和岩石等材料，摩擦和膨胀的影响是不可忽略的。众所周知，这类材料对压力非常敏感，当施加压力时会产生不同的拉伸和压缩行为。因此，上文所述的 von Mises 模型不适用于这类材料，人们转而通过求解屈服函数来研究摩擦材料的行为。

让我们通过如下图所示的滑块来阐释这类材料的摩擦行为和塑性流动。

岩土力学中摩擦材料的塑性流通和塑性行为图示。

如图，向滑块施加一个垂直载荷 N 及一个切向载荷 Q。假设滑块被放置在一个带有静摩擦系数为 \mu 的表面上，根据库仑定律，滑块在滑动前可以承受的最大力为 F=\mu N 。因此，当满足以下条件时，滑块开始滑动：

(1)

f=Q-\mu N=0

滑动方向为水平方向。对于切向载荷来说，当 f<0 时，滑块不会滑动；当 f=0 时，滑块将会向外加载荷 Q 的方向滑动。第一个土壤塑性模型是在 Mohr-Coulomb 准则的基础上开发的，它是对获得连续材料和多轴应力状态方法的一种概括。它被定义为：当任何平面内的剪应力与平均正应力的组合达到临界条件时，材料开始屈服甚至断裂。该临界条件如下所示：

(2)

\tau=c-\mu\sigma

在这里，\tau 是剪应力，\sigma 是垂直应力，c 是内聚力，代表垂直应力为 0 时的抗剪强度，\mu=\tan\phi 是出自著名的库仑摩擦模型的内摩擦系数。该方程代表 Mohr 平面内的两条直线。当三个 Mohr 圆都位于这两条直线之间时，应力状态为安全；而当这三个圆中的一个与这两条直线相切时，即为临界状态（材料开始屈服）。

Mohr-Coulomb 屈服行为图示。
Mohr-Coulomb 屈服行为。Mohr 圆以主应力 \sigma_1 、\sigma_2 及 \sigma_3 为基础。正如你看到的，当其中一个圆与屈服面相切时，材料便会发生屈服。

如上图所示，应力状态按照 \tau=\frac{1}{2}(\sigma_1-\sigma_3)\cos\phi 及 \sigma=\frac{1}{2}(\sigma_1+\sigma_3)+\frac{1}{2}(\sigma_1-\sigma_3)\sin \phi 这两个公式进行计算。因此，屈服准则及方程 2 可以被广义表达为以下形式：

(3)

f_y({\bf\sigma})=\sigma_1-\sigma_3+(\sigma_1+\sigma_3)\sin\phi-2c\cos\phi

它甚至可以被看作是以库仑摩擦为基础的更通用系列准则的一个特例，可以表达为以应力张量的不变量为基础的方程式：

(4)

f_y({\bf\sigma})=F(J_2,J_3)+\lambda I_1-\beta

Mohr-Coulomb 屈服函数表示法。

Mohr-Coulomb 准则对主应力空间内的六棱锥进行了定义，这为直接对该准则进行分析提供了很大的便利。但是，由于尖角（例如屈服面的法线在尖角处是未被定义的）的存在，很难对本构方程从数值计算的角度进行处理。

为了避免与尖角有关的问题, 另一个屈服准则——Drucker-Prager 屈服准则被开发了出来，它是通过对 von Mises 屈服准则进行修改而得到的，这一准则不仅将库仑摩擦纳入考虑范畴，还建立了与流体静压的依赖关系：

(5)

f_y({\bf\sigma})=\sqrt{J_2}+\alpha I_1-k

这个方程表示主应力平面内的平滑圆锥，而不是六棱锥。如果系数 \alpha 和 k 与Mohr-Coulomb 准则中的系数互相匹配,即如下所示：

(6)

\alpha=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{\sin\phi}{3\pm\sin\phi},\quad k=\frac{2\sqrt{3}c\cos\phi}{3\pm\sin\phi}

Drucker-Prager 屈服面会穿过 Mohr-Coulomb 六棱锥的内部或外部顶点，这取决于符号 \pm 为正还是为负。塑性流动方向来源于所谓的“塑性势”,它既可以是与塑性势的方向相同的，即与塑性相关；也可以不同，即与塑性无关，发生屈服现象(屈服函数)。我们可以据此开发很多不同的非关联流动法则。

在 Drucker-Prager 模型中，可以利用关联法则使体积塑性流动不为零。因此，在施加压力的情况下体积会发生变化。然而，这与许多土壤材料，特别是颗粒材料的行为是相矛盾的。相反，可以在塑性行为是等体积的（体积守恒）情况中使用非关联流动法则，这能更好地反映颗粒材料的塑性行为。

Drucker-Prager 屈服函数表示法。