正如我们在本系列博客的第一篇文章中所讨论的，对吸声边界进行正确建模对于高效的室内声学仿真非常重要。上一篇文章主要介绍局部反应和扩展反应模型的理论描述，以及它们在随机入射吸声系数上表现出的差异。作为更具实用性的示例，本篇博客文章将展示在基于波动理论的时域声学仿真中，不同的吸声模型将如何对室内声学响应产生不同影响。
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会议室声学的重要性
您是否曾在会议中几乎听不清对方说话？这通常是由于房间内的过度混响所致。众所周知，工作场所中糟糕的声场环境会严重影响沟通效率、专注力与工作产出。解决这一问题的最佳方法是在房间内合适的位置安装吸声体，例如悬挂式多孔吊顶或吸声帘幕。这些吸声体背后都设有空气层，可以吸收低频声音，因此具有极强的扩展反应特性。对配备此类扩展反应吸声功能的房间进行仿真时，观察使用不同吸声边界模型所产生的差异，是一件很有参考价值的趣事。
房间模型与吸声设置
我们使用 压力声学，时域显式 接口对下图中的简易房间模型（3.5 m \times 6.8 \times 2.5 m）进行仿真分析，其倍频带范围为 63 Hz 至 500 Hz（等效覆盖约 40 Hz至 710 Hz）。
进行仿真分析的会议室几何结构的示意图。
将高斯脉冲施加于源点（0.7m，4.15m，1.2m），在接收点（2.8m，2.35m，1.2 m）处，以 10000 Hz 的采样频率评估声压响应，时长至 0.8s。
为了在时域中求解声学波动方程，压力声学，时域显式 接口采用间断伽辽金有限元法（dG-FEM），这是一种内存效率高且可扩展的方法。该房间模型具有典型的吸声功能，即配备有悬挂式多孔吊顶和帘幕。在本文中，这些吸声体分别使用局部反应和扩展反应模型进行建模，并考察由此产生的差异。上图对应于扩展反应模型，其中包含了多孔材料的厚度以及吸声材料背后的空气层。在局部反应模型中，材料厚度和空气层不会进行显式建模，而是将法向入射条件下的表面阻抗指派给材料的表面边界。这些吸声体的表面阻抗通过频域中基于二维周期性结构假设的子模型进行计算评估。
悬挂式吊顶由厚度 50 mm 的多孔材料制成。多孔材料背后的空气层厚度为 180 mm，用于吸收低频声音。由于多孔层厚度较大，采用等效流体模型对吊顶吸声体进行建模，其中包括扩展反应效应。采用 Johnson–Champoux–Allard (JCA) 模型 对多孔材料中的流体特性进行模拟。在该模型中，多孔材料的复有效密度和体积模量表示如下：
其中，p_{\rm A}, \rho_{\rm f}, \gamma 和 \mu 分别为多孔材料中流体的绝对压力、密度、比热率和动力黏度。\epsilon_{\rm p}, R_{\rm f}, L_{\rm v}, L_{\rm th} 和 \tau_{\infty} 分别代表多孔材料的孔隙率、流阻率、黏性特征长度、热特征长度和曲折因子。\omega 为角频率。下表汇总了示例模型中所用的多孔材料参数。
| 参数（单位） | \epsilon_{\rm p}(1) | R_{\rm f} (Pa·s/m2) | L_{\rm v} (mm) | L_{\rm th} (mm) | \tau_{\infty} (1) |
|---|---|---|---|---|---|
| 值 | 0.99 | 17000 | 0.14 | 0.15 | 1.01 |
示例模型中所用的多孔基体属性，数值取自参考资料 1。
在 压力声学，时域显式 接口中内置的 多孔介质声学 特征，可基于等效流体模型对多孔层进行建模。采用局部和扩展反应近似的多孔吸声体时域仿真 文档是实现时域等效流体模型的良好参考。要使用此特征，需要准备多孔材料随频率变化的复有效密度和可压缩性（体积模量的倒数）的相关数据。在本示例模型中，这些属性是通过与评估局部反应模型表面阻抗相同的子模型计算得到的。下方截图显示了该子模型的 多孔介质声学 设置。
用于多孔材料子模型建模的 多孔介质声学 特征的设置界面。
以下截图显示了根据子模型计算结果进一步计算材料属性的过程。
根据二维频域分析结果计算多孔材料的复有效密度（左）和可压缩性（右）。
根据二维频域分析结果计算多孔材料的复有效密度（左）和可压缩性（右）。
您也可以使用这些材料属性的测量数据。然后，将多孔材料的频率相关属性导入，并使用 部分分式拟合 函数进行解析逆傅里叶变换，将其近似为有理函数形式。
使用 部分分式拟合 函数将复有效密度（左）和可压缩性（右）近似为有理函数形式。
拟合结果进一步导入到 压力声学，时域显式 接口的 多孔介质声学 特征中。
压力声学，时域显式 接口中的 多孔介质声学 特征。
另一方面，扩展反应的吸声帘幕采用转移阻抗进行建模，并假设其非常薄。假定帘幕的流阻（转移阻抗）为 416 Pa·s/m。注意，为简化起见，此处忽略质量效应。帘幕置于窗框上，背后空气层厚为 200 mm。建模时使用 内部阻抗 特征。
注意，为了比较不同的边界模型，扩展反应材料背后空间的边界表面均假定为刚性。其他边界假定为石膏板和地板。它们采用频率相关阻抗边界进行建模。所有材料的随机入射吸声系数如下所示：
房间模型中所有材料的随机入射吸声系数。
由于这些吸声体具有较高的扩展反应性，吊顶和帘幕在不同边界模型下显示出不同的吸声系数。除 630 Hz 以上频段外，局部反应模型在较宽频率范围内显示出比扩展模型更大的吸声系数值。您可以从 模型文件 中查看吸声材料的角度相关吸声系数。
脉冲响应的归一化与滤波
室内声学指标和可听化技术可用于评估室内声学。这类评估是根据脉冲响应计算得出的，该响应是对具有平坦频谱（覆盖所有频率）的狄拉克 δ 函数的响应。然而，直接调用 δ 函数会导致数值不稳定，因此在实际仿真中都会采用近似源模型。
高斯脉冲是基于波动理论的时域建模中典型的源信号，但其频谱并非平坦，这一点将在后文展示。因此，为了将间断伽辽金有限元法（dG-FEM）结果用于室内声学评估，需要对源频谱进行归一化。接下来，我们将介绍如何在频域中执行归一化。
首先，我们介绍高斯脉冲的频率特性。高斯脉冲以如下的初始声压分布形式激励声场：
其中，p 表示声压。r_{\rm s}是距源点的距离，d是表征源频谱的参数。将该初始声压分布函数代入球面波的波动方程，可得到自由场中的如下关系（参考资料 2）。
其中，t 为时间变量，\bm r 为坐标矢量，c 为声速。利用三维自由场的格林函数，点源的体积加速度 \dot{Q} 可表示如下（参考资料 3）：
其中，\rho 为介质的密度。通过傅里叶变换，采用高斯脉冲的源信号频谱表示如下：
其中，f 为频率变量。
示例模型中所用源信号的频谱。
该声源的设计使得在 500Hz 倍频带的上限频率处，相对于峰值增益为 -3 dB。
因此，我们可以通过将结果除以上述解析频谱，得到源强度为 1 m3/s2 体积加速度（对应空气中约 0.14 mW 的声源功率）的归一化脉冲响应。然而，这种归一化也会放大不需要的频率分量，例如在间断伽辽金（dG）计算中未能解析的高频分量。为移除此类分量，我们还需进行滤波。以下方程表达了归一化过程：
其中，p_{\rm normalized} 和 p_{\rm dG} 分别表示归一化后的声压和 dG-FEM 计算得到的声压。\mathcal{F} 为傅里叶变换算子。HP 和 LP 分别为频域中的高通和低通滤波器。
由于滤波过程可能导致非因果信号，建议在通过离散傅里叶变换将 dG 结果转换到频域之前进行补零。示例模型将 dG-FEM 计算得到的声压波形导出为 WAV 文件，并将其导入为插值函数。然后，在 一维栅格 数据集上执行补零，如下所示：
使用从计算结果导出的 WAV 文件定义插值函数。外推值设为 0 以执行补零。
用于离散傅里叶变换的补零后的一维栅格数据集。区间的负半轴部分为补零区域。分辨率设置为使采样频率对应 10000Hz。
在本示例模型中，归一化和滤波通过以下 全局常微分和微分代数方程 接口完成。
此处，pE_normalized 表示归一化后的声压，rpE(freq) 和 ipE(freq) 分别表示扩展反应模型下，由 dG-FEM 计算得出的声压傅里叶系数的实部和虚部。pL_normalized、rpL(freq) 和 ipL(freq) 则对应局部反应模型的上述同类物理量。source(freq) 表示使用解析函数定义的源信号频谱。HP(freq) 和 LP(freq) 是使用阶跃函数定义的高通和低通滤波器。您可以从 示例模型 中查看更详细的设置。pE_normalized 和 pL_normalized 的频域数据通过 频域 研究步骤计算得到。然后，通过 频域到时域 FFT 研究步骤重建归一化的脉冲响应。
归一化的另一个好处是，其结果可以与射线声学模型结果相结合，通过 混合方法 获得宽频带脉冲响应。这是通过将射线释放条件设置为全向，并使用以下总源功率 P_{\rm{src}} 来实现的：
其中，\dot{Q}_{\rm U} 为单位体积加速度 3/s2。
结果
两种吸声边界模型的归一化带限房间脉冲响应及其频谱（房间传递函数）如下所示。
扩展反应和局部反应模型的归一化房间脉冲响应。
扩展反应和局部反应模型的归一化房间传递函数。
两种模型在使用不同吸声模型时的差异是显而易见的。局部反应模型在较宽频率范围内高估了吸声材料的吸声效果，导致脉冲响应衰减更快。从频谱对比结果来看，局部反应模型在 160 Hz 以下和 500 Hz 附近具有更大的吸声量，而在 600 Hz 以上则低估了吸声量。这些趋势与两种吸声边界模型之间随机入射吸声系数的固有差异完全对应。
下图中室内声学指标的比较也显示了两种模型之间的差异。
扩展反应和局部反应模型之间的混响参数（EDT 和 T20）比较。
扩展反应和局部反应模型之间的清晰度（C50）比较。
从混响参数（EDT 和 T20）的表现来看，两种模型在宽频带范围的差异，已经超过了 5% 可辨差（JND）的两倍。清晰度参数（C50）在绝大多数频率上也显示出大于 JND（1.1 dB）的差异，最大差异达到 11 dB。这些结果表明，局部和扩展模型之间的差异是可听辨的。您可以收听以下不同吸声边界模型的归一化和未归一化房间脉冲响应：
扩展反应（左）和局部反应（右）模型的归一化脉冲响应回放音频波形。
扩展反应（左）和局部反应（右）模型的未归一化脉冲响应回放音频波形。
您可以感受到扩展反应模型具有更长的混响。此外，由于高斯脉冲的频率特性，未归一化的结果听起来会突出高频声音。
这些结果仅针对一个接收点位置，在实际的室内声学评估中，设置更多的接收点位置是很重要的。然而，在可能的接收点位置上出现的明显差异已足以展示吸声边界类型对会议室的声学影响。
基于波动理论的声学仿真方法，因能够完整包含所有声学波动现象，本身就具备极高的计算精度。然而，本文示例模型的结果表明，受吸声体自身特性的影响，简单地使用局部反应模型可能导致错误的结果。为了进行更可靠的仿真，我们应仔细确认吸声体的结构和吸声特性。
结论
作为 上一篇博客文章 的延续，本文考察了使用不同类型的吸声边界对小型会议室的影响。典型的吸声体，如悬挂式吊顶和帘幕，具有高度的扩展反应特性。因此，对这些吸声体采用传统的局部反应模型（阻抗边界）会产生不太精确的结果。本演示表明，扩展吸声边界模型的建模能力对于执行正确的仿真至关重要。当然，阻抗边界因其计算成本远低于扩展模型，仍然具备很高的实用性。为了高效建模，需要根据设计阶段或吸声体特性，灵活选用不同的吸声模型。本文还介绍了从具有高斯脉冲激励的间断伽辽金有限元法（dG-FEM）分析中获取带限脉冲响应的过程。请注意，当使用初始压力分布条件激发声场时，源位置必须远离任何反射声波的边界表面。
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下一步
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参考资料
- H. Wang and M. Hornikx, “Extended reacting boundary modeling of porous materials with thin coverings for time-domain room acoustic simulations,” J. Sound Vib., vol. 548, 117550, 2023; https://doi.org/10.1016/j.jsv.2022.117550.
- S. Sakamoto, “Phase-error analysis of high-order finite difference time domain scheme and its influence on calculation results of impulse response in closed sound field,” Acoust. Sci. Technol., vol. 28, 295-309, 2007; https://doi.org/10.1250/ast.28.295.
- T. Okuzono, T. Otsuru, R. Tomiku, and N. Okamoto, “Application of modified integration rule to time-domain finite-element acoustic simulation of rooms,” J. Acoust. Soc. Am., 1vol. 32, 804–813, 2012; https://doi.org/10.1121/1.4730920.
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