结构力学   变形分析 

固体力学中的变形分析

变形分析是研究所有固体力学问题的基础。

通常，人们通过跟踪一定体积材料的平移、旋转和变形过程来建立固体力学方程。这个公式称为拉格朗日公式，它与流体流动分析等许多其他物理领域常用的欧拉公式 完全不同，后者的基本原理以空间固定的控制体积的流入和流出通量为中心。

在有限元分析中，通常使用拉格朗日公式的两种不同变体：

1. 全拉格朗日公式的方程以体的原始构型为基础

2. 更新的拉格朗日公式的方程以体的当前构型为基础

从某种意义上说，这两个公式在数学上是等价的，通过一系列合理的转换方法，这两个公式可以实现相互转换。不过，当涉及有限元公式的数值效率时，这两个公式则各具优势。

这一理论发展的基础是，假设固体材料可以作为连续体，其长度尺度远大于分子尺度，使材料具有均质属性，但从数学角度来看，小到一定程度时可以看作是无穷小。

坐标系和位移

我们使用 坐标来表示材料粒子的原始位置，可以将 视为黏在某个粒子上的标签，贯穿于该粒子的整个变形历史。这种坐标系称为材料坐标系。

经过一段时间 后，该粒子会移动到新位置 。为简单起见，我们假设这两组坐标具有相同的原点和方向。 坐标位于空间坐标系，这个坐标系在空间中固定，而材料坐标系则在体上固定。

从体内某个点的原始位置指向其新位置的矢量称为位移矢量 。由于原始坐标是自变量，此时可以得到一个拉格朗日公式。因此，通过位移可以将材料坐标系变换到空间坐标系 。

只要位移场不仅仅表示刚体运动，材料形状就会发生局部变化，称为应变 或伸长。这些变化可能包含局部小域的体积或形状变化。应变会在材料中产生内力（应力），甚至可能造成材料失效。为了准确描述材料特性，必须在不考虑刚体运动等因素的情况下描述变形。我们可以通过多种方式来描述材料的变形过程，下面进行详细论述。

变形梯度

变形梯度 定义为

其中， 是等同张量，展开为矩阵形式

变形梯度包含有关材料局部旋转和变形的完整信息。其中还显示其他一些信息，例如，由于 ，未变形体 中的小线段如何旋转并拉伸，成为变形体 中的线段。我们将 张量看作是一个矩阵，第一列提供线段最初沿 X 方向的大小和方向等信息。从数学角度来看， 是从 变换到 的雅可比矩阵，因此它的行列式 为局部体积比例因子。对于不可压缩材料，。

极分解定理 表明，任何二阶张量都可以分解为纯转动和对称张量的乘积，因此，利用这一定理可以将刚体转动与变形分开：

这可以解释为先发生变形（由右伸长张量 描述），然后再进行刚性旋转（由纯旋转矩阵 描述）。如此一来，如果没有旋转，右伸长张量则为变形梯度，因此 的解释与 类似。

同样也可以将变形梯度分解为

在此过程中，首先发生刚体转动，然后，转动的体发生变形。变形通过左伸长张量 进行描述。

这两个伸长张量通过纯转动进行关联；例如 。事实上，此处旋转矩阵的转置也是其自身的逆（）。

在实际操作中，极分解的计算成本往往较高，因此，人们会尽量避免执行此类计算。但在理论思考方面，这一概念非常有用。

我们可以在并不确定旋转矩阵的情况下，计算与旋转无关的变形测度：

张量 称为右柯西-格林变形张量。

这个张量常用于描述超弹性材料的本构特性等，由于它仅由 张量构成，因此用于描述材料在旋转“之前”的变形。

同样，

张量 称为左柯西-格林变形张量。

和 都与旋转无关，但它们描述的是两个不同坐标系中的变形。张量 是描述材料坐标系中变形的材料张量， 是描述空间坐标系中变形的空间张量。

伸长率

从非正式意义上说，伸长率可定义为当前长度与原始长度之比，

因此，在未变形状态下，伸长率为 1。

一般情况下，人们更倾向于使用张量 和 的特征值。 的三个特征值（、 和 ）称为主伸长率，其对应的特征矢量在材料坐标系中给出三个正交方向。如果我们研究一个小立方体（正方体），其中三条边沿着这三个方向，则它将发生变形，成为长方体，但所有边仍保持直角相交。边长变化由主伸长率表示。

如此一来，体积变化可以写为主伸长率的乘积：

张量 的计算更为简便，它的主方向与 相同，但特征值为 、 和 。因此，通常使用 而非 来计算主伸长率。

对于未变形材料（仅产生刚体运动），。这一事实解释了为什么在实际中，人们主要使用 来描述类似橡胶这种具有较大伸缩性的材料。对于金属类材料，应变阶数通常介于 到 之间。如果要使用伸长率来测量材料应变，则可以使用 0.99 到 1.01，甚至 0.9999 到 1.0001 范围的伸长率来描述变形。

左柯西-格林变形张量 也具有主伸长率作为特征值。但由于 描述刚体转动之后的伸长率，因此主方向根据空间方向来确定。

应变张量

要得到基于零的变形测量值，需要从 中减去等同张量，从而得到格林-拉格朗日应变张量 ，定义为

该张量也描述材料在发生任何转动之前产生的变形，但在未变形状态下的所有分量均为零。其分量形式可以写为

其中假设对重复指标求和（爱因斯坦求和约定 ）。

格林-拉格朗日应变张量的对角元素示例如下

非对角元素的示例为

格林-拉格朗日应变张量的特征值称为主应变，其方向（材料坐标系）与主伸长率相同。

当应变和刚体转动幅度都很小时，格林-拉格朗日应变张量中的二次项可以忽略不计。由此可以得到众所周知的工程应变张量，

其分量示例如下

和

该应变张量的对角项称为法向应变 或正应变，用于描述沿每个坐标轴的延伸。非对角项是应变张量的剪切分量，用于描述线段之间夹角的变化。这里的术语很容易被混淆，因为在工程领域，由于 直接测量角度的变化（以弧度表示），所以人们习惯使用“剪切应变”一词来描述物理量 。

剪切应变产生等体积 变形；即变形不引起体积改变。对于小应变，相对体积变化通过正应变之和求得：

改变视角

如果我们从变形后的形状着手分析，就可以发展出相似的理论。这里不作详细讨论，但其中的步骤是类似的。原始位置和位移可以视为当前位置的函数 ，因此所有导数均为对空间坐标的导数。变形后具有当前长度的线段，其原点位于线段 上，后者可以通过 来定位。

阿尔曼西应变张量 定义为

其分量可写为

请注意，这里是对空间坐标取导数。

真实应变

有时，我们会使用真实应变 这个术语。在真实应变的单轴定义中，应变增量定义为

真实应变的定义基于当前长度，因此在积分后可以得到

这就是真实应变也称为对数应变 的原因。推广到三维就称为 Hencky 应变 张量，

应变测度的比较

如果将初始长度为 的棒材拉伸（或压缩）一定的距离 ，可以得到多个不同的轴向应变测量结果，如下所示。

工程应变：

伸长率：

格林-拉格朗日应变：

阿尔曼西应变：

真实应变：

在下图中，我们可以看到，所有应变测度的结果都吻合良好，其差异不超过 ±10%，但在应变较大时，差异就变得非常明显。工程应变和伸长率都与变形成正比，二者仅在纵轴方向有所不同。

应变协调性

由于应变张量由位移的导数构成，因此并非所有应变场均适用。位移矢量只有三个分量，这意味着，除非各个应变分量都满足特定的协调性标准，否则它们的积分无法给出唯一的一组位移。工程应变必须满足以下方程：

由于应变张量的对称性，这 81 个方程中只有 6 个是非平凡方程。如下所示

应变的速度梯度和时间导数

与变形梯度相关的量还包括速度梯度，它定义为速度矢量的空间梯度，

速度梯度可以分解为对称部分和反对称部分，分别称为应变率张量 和自旋张量：

速度梯度与变形梯度的时间导数之间存在一个重要的关系式：

通过使用这一结果，格林-拉格朗日应变的时间导数也可以用速度梯度表示，

最后一个等式基于应变张量的对称性。

变形分析示例：刚体转动

我们来看一个刚体在 xy 平面转动某个角度 的例子：

如果假设坐标系原点位于左下角，则某个点 (x, y) 的新位置可以写为原始坐标 (X, Y) 的函数，即

由此得到位移为

然后，我们可以根据变形梯度的定义进行计算，得到

从而得到右柯西-格林张量

同理可得，左柯西-格林张量为 。根据定义可以看出，格林-拉格朗日应变张量和阿尔曼西应变张量均为零。此外，由于所有主伸长率的值都为 1，可推断出 Hencky 应变张量为零。

但是，工程应变张量包含以下值

对于小角度转动，采用级数展开可以得到

初看上去，上式的误差很小。然而，即使是很小的数值，已经预示着较大的应变。在金属中，通常在应变阶数为 0.01% 时便会产生实质性的应力。这意味着，使用工程应变张量将引起明显的误差，即使刚体转动 1°也是如此。

变形分析示例：大剪切

一个正方形按某个角度 发生剪切变形后，成为一个平行四边形，如下图所示，其中没有面外变形。

从材料坐标系到空间坐标系的映射为（Z 表示面外方向）：

表达式 表示剪切量，可以给出以下位移场

进而得到变形梯度

我们立即可以得出 ，因此变形前后的体积不变。这一结果也与上图中我们的预期相符，因为原始正方形在变形为平行四边形后，面积也保持不变。

右柯西-格林伸长张量和格林-拉格朗日应变张量分别为

和

我们可以对格林-拉格朗日应变张量的对角元素进行解释。最初沿 X 轴的纤维未延伸，而沿 Y 轴的纤维被拉伸。但是，此纤维的新长度不能直接从应变张量中提取。

对于较小的角度 和 ，可以得到纯剪切的工程应变张量：

稍作努力，我们就可以计算出 的极分解。通过设置 ，可以得到

和

其中 。

主伸长率是 的特征值，通常按降序排列，如下所示

由于没有面外伸长，第二主伸长率为 。

右伸长张量 的特征矢量为主伸长轴。在本例中，这些特征矢量可以表示为

， 和

为了进一步从数值角度研究此问题，我们将剪切角度设为 ，由此可得 、 以及 。变形梯度则变为

由于 ，可以通过数值方法从旋转矩阵中得到刚性转动部分 。

主伸长率为

第一主伸长轴的方向与水平轴呈 58.3°角。

在下图中，变形被分解为纯拉伸和纯旋转。蓝色正方形的方向与主伸长方向一致；即，也旋转了 58.3°。可以看到，伸长后的正方形呈纯矩形，并且在分解位移的拉伸过程中方向保持不变。

发布日期：2018 年 4 月 19 日
上次修改日期：2021 年 3 月 11 日