传热:能量守恒

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能量方程

热力学第一定律将内能定义表述为:封闭系统的内能变化 ΔU 等于系统吸收的热量 减去系统所做的功

(1)

如果系统可以运动,则方程(1)可以扩展为包含系统动能

(2)

在分析体积无限小的流体时,我们可以改写方程(2),得到总内能守恒方程(参考文献 1):

(3)

在上式中:

  • 是密度
  • 是单位质量内能
  • 是速度矢量
  • 是速度大小的平方
  • 是传导热通量矢量
  • 是总应力张量
  • 是单位质量的体力,如体积力

总应力张量通常写为:

(4)

其中, 表示压力, 表示粘性应力张量。

方程(3)右侧第二项表示表面力所做的功,在使用 定义后,该项可以写为

(5)

该方程右侧第一项通常称为压力功,第二项称为粘性功。这两项可以通过以下方式进一步分解:

(6)
方程(6)的第一行表示可逆效应,可以描述使内能增加的功以及内能做功的过程。第二行描述不可逆效应,即:功如何通过粘性耗散使内能增加,以及粘性效应如何使动能减少。

方程(3)包含动能守恒方程。通过将速度 动量方程进行点积,可以推导出该方程。执行代数运算后,可以得到:

(7)

从上式可以看出,总能量方程(3)中体力做的所有功都会改变动能。方程(7)右侧其余的项包含方程(6)中描述的影响动能的表面力做功部分。从方程(3)中减去方程(7),可以得到内能方程:

(8)

如果存在由反应或与辐射相互作用等产生的内热源,则需要添加一个附加的内热源项 ,此时的内能方程变为:

(9)

焓方程

内能是一个热力学状态变量,很少用于实际应用。较为常用的物理量是焓 ,它通过下式与内能关联:

(10)

将方程(10)代入方程(9),经过重新整理,可以得到焓方程(参考文献 2):

(11)

方程(11)为守恒形式,这种方式是通过在编写方程左侧时,将密度和速度包含在散度算子中来实现的。使用连续性方程可以推导出焓方程的非守恒形式。方程(11)左侧可以展开为以下形式:

(12)

方程(12)右侧的第一项是连续性方程乘以焓,因此恒等于零。方程(11)由此可以写为:

(13)

即使方程(13)为非守恒形式,但仍可以描述焓守恒。

温度方程

相信所有工程师都熟悉温度概念,因此用温度描述能量守恒非常方便。焓与温度 和压力的关系通过以下微分关系来表征:

(14)

其中, 为恒压热容,β 为体积膨胀系数。

方程(14)可用于替换方程(13)中的 。再次调用连续性方程,可以得到温度方程:

(15)

最后一步是使用傅立叶导热定律 为导热系数)来定义传导热通量矢量 。据此可以得到温度方程:

(16)

观察上式可以发现,只有在恢复焓或内能的情况下,才能改写守恒形式的温度方程。

温度方程是另一种表征能量守恒的方式,在数学上等效于方程(3)。然而,在使用数值方法实现方程时,不同的守恒方程并不等效。许多商业软件都基于有限体积法,并求解守恒形式的总焓输运方程。通过这种方式,这些商业软件可以实现总能量守恒。但总焓方程容易产生数值振荡,从而降低数值精度。因此,求解温度方程相对要稳定、精确得多。有限元法支持求解温度方程,同时还能实现总能量守恒(参考文献 3)

能量守恒的特殊情况

对于理想气体, 项等于一,此时方程(16)变为:

(17)

如果流体不可压缩,则压力功项为零,方程(16)可以简化为:

(18)

对于大多数工程应用而言,如果系统没有经历明显的压力变化,或者马赫数远小于一,则压力功项也可以忽略不计。

在一些特殊情况下,剪切速率非常高,此时的粘性加热就显得非常重要。轴承系统和液压系统便是两个典型的工程例子。然而,在大多数其他情况下,粘性加热可以忽略不计,方程(18)可进一步简化为:

(19)


发布日期:2018 年 6 月 29 日
上次修改日期:2018 年 6 月 29 日

参考文献

  1. Panton, R.L., Incompressible Flow, ed. 2, John Wiley & Sons Inc., 1996.
  2. Bird, R.B., Stewart, W.E., and Lightfoot, E.N., Transport Phenomena, ed. 2, NY: John Wiley & Sons Inc., 2002.
  3. Hughes, T.J.R., Engel, G., Mazzei, L., and Larson, M.G., "The Continuous Galerkin Method is Locally Conservative", Journal of Computational Physics, vol. 163, pp. 467–488, 2000.