模态叠加
什么是模态叠加？
在对线性结构执行动态响应分析时，使用模态叠加 这一强大的技术能够大幅缩短计算时间。利用这种方法，结构的动态响应可以通过其少量特征模态的叠加来近似。
当载荷的频率组成有限时，模态叠加最能体现出优势。由于加载频率已知，因此在频域中执行分析时特别有用。波的传播问题涉及非常高的频率，因此不适合用这种技术来求解。
模态叠加是地震工程中常用的一种方法，这是因为地震中的频率组成是有限的。图片由 FritzDaCat 自行拍摄。已获 CC BY-SA 3.0 授权，通过 Wikimedia Commons 共享。
模态叠加是地震工程中常用的一种方法，这是因为地震中的频率组成是有限的。图片由 FritzDaCat 自行拍摄。已获 CC BY-SA 3.0 授权，通过 Wikimedia Commons 共享。
推导模态方程
假设结构的运动方程用矩阵形式写为
其中，
为质量矩阵，
为阻尼矩阵，
为刚度矩阵。列矢量 
和力 
都具有自由度（DOF）。
通常，使用有限元法对物理问题进行离散化可以得到矩阵形式。如果 N 表示自由度数，则矩阵大小为 NxN。
这里假设矩阵为实对称矩阵，刚度矩阵为正定矩阵。这是最常见的情况，但在非对称矩阵情况下也可以使用模态叠加。例如，耦合的声-结构问题中就可能发生这种情况。在使用非对称矩阵时，相关理论更为复杂，但原理是一样。
模态叠加的前提是计算特征频率和对应的振型。我们常常可以使用以下特征值方程对无阻尼问题执行这种计算
一般情况下，只需计算少量的 n 个特征频率。计算结果是一组固有频率 
，对应的振型为 
，其中，i 的取值范围是 1 到 n。结果表明，特征模态相对于质量矩阵和刚度矩阵都具有正交性（或者在特征值重复的情况下，可以选为正交）。这意味着
以及
将特征模态放在矩形 Nxn 矩阵 
中非常方便，其中每一列都包含一个特征模态。正交关系可以概括为
对角元素称为模态质量，其值取决于选定的特征模态归一化。由于模态仅表示形状，并且幅值没有物理意义，因此这种归一化是任意的。一种常见且方便的选择是质量矩阵归一化。然后，可以对特征模态进行缩放，使 
，从而给出
刚度矩阵对应的正交关系为
如果使用质量矩阵归一化，则对角矩阵 
由固有角频率的平方组成。
模态叠加的基本假设是位移可以写为特征模态的线性组合：
其中，
为模态幅值。
如果使用了系统的所有特征模态，则会变为确切关系，而非近似关系。由于特征模态的正交特性，因此它们会形成完整的基，而表达式只是从物理节点变量到模态幅值的坐标变化。当仅使用少量特征模态时，模态叠加可以看作是位移在所选特征模态张成的子空间上的投影。
模态叠加也可以用矩阵形式写为
其中，已在列矢量 
中收集模态自由度。
在运动方程中插入模态叠加表达式，得到
左乘 
后得到：
此时可以利用正交关系得到
原方程组现已从 N 个变量简化为 n 个，右侧 
称为模态载荷。求解这个更小的问题将大大减少计算量，但还有另一种可行的简化方法。由于 
和 是对角矩阵，因此只有 
项提供方程之间的耦合。通常，我们可以假设模态阻尼矩阵为对角矩阵，从而可以使用以下类型的非耦合方程组
然而，值得注意的是，在现实生活中，阻尼结构中的不同振型之间往往存在一些串扰。如果存在强物理阻尼，例如在使用离散阻尼器时，最好使用耦合系统。
阻尼模型
可以在模态叠加中提供解耦方程的阻尼模型包括：
- 模态阻尼
- 瑞利阻尼
- 柯西级数
- 集总
模态阻尼
直接为每个模态提供阻尼比 
是一种常见的选择。模态阻尼提供了广泛的控制范围。如果由于物理原因希望模态为强阻尼，则可以为模态赋予较高的阻尼值。
瑞利阻尼
在瑞利阻尼模型中，阻尼矩阵被假定为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，
其中，
和 
是该模型的两个参数。
因此，它可以像成分矩阵一样被特征模态对角化。如此一来，模态阻尼将被隐式定义为
为了使研究的两个不同频率间隔具有合理的阻尼，通常选择系数 和 。
瑞利阻尼模型的优点是简单易用，但它不具有任何物理意义。
柯西级数
实际上，还存在着更一般的表达式，其阻尼矩阵可以被特征模态对角化。使用柯西级数构建的阻尼矩阵
具有相同的正交性。模态阻尼为
瑞利阻尼是使用柯西级数前两项的特例。在实践中，柯西级数法很少使用。
集总
一种创建对角模态阻尼矩阵的可行方法是对 使用某种类型的集总方案来创建对角矩阵，其中最简单的一种方案是删除所有非对角元素。
模态载荷
模态载荷 
是外载荷在每个特征模态上的投影。如果载荷在某个模态上的投影非常小，则无需在叠加中包含这种模态。常见的情况是结构和载荷都对称。由于这些模态上没有载荷投影，因此可以忽略所有反对称特征模态。
由于响应分析中仅使用一小部分模态，因此，在投影到模态坐标的过程中，会有总原始载荷的一部分丢失。您可以使用各种方案来改进解；例如，静校正、模态加速度 和模态截断增强。
应力和应变
一般来说，在叠加中使用一定数量的模态就能准确地表示位移，但要得到精确的应力结果，则需要使用更多的模态。这是因为较高阶的模态通常具有更复杂的振型。因此，位移导数（即应变）也相对较大。检查各个特征模态的模态应力 可以看出它们的相对重要性。
运动基座
在位移受约束的自由度中，所有特征模态的位移均为零。因此，我们不能直接使用模态叠加对运动基座施加的激励进行建模，原因是振型跨越的基座中不包含这种位移。
然而，常见的情况是整个基座同步运动，建筑物遭受地震时就是这种情况。我们可以在固定于基座的坐标系中执行分析，这意味着基座的加速度会转化为体积力。
除此之外，还有一种通常称为大质量法 的技术。这是一种近似方法，每个非零的指定位移都由非常大的点质量代替。这将产生一些非常低的特征频率，其中只有质量在移动，其他所有特征频率和模态几乎不变。实际上，这表明叠加中的各种形状通过与单位指定位移的静态解非常类似的解得到增强。
简支梁的模态叠加
假设一个简支梁具有以下属性：
- 杨氏模量，E = 210 GPa
- 质量密度，ρ = 7850 kg/m3
- 面积惯性矩，I = 7960 mm4
- 横截面积，A = 1000 mm2
- 长度，L = 12 m
简支梁示意图。
简支梁示意图。
简支梁的固有频率由以下表达式给出
其中使用选定的值，求得 
。
对应的特征模态可以表示为
其中，
是任意归一化常数。
我们考虑连续解析解的情况，其中，质量矩阵归一化的等价表达式为
对于所有模态，
我们假设一个单位长度具有等强度 
的分布载荷。
模态载荷可通过下式进行计算
j 为偶数值时，模态载荷为零。这反映出载荷是对称的，而偶数个模态则是不对称的。j 为奇数值时，模态载荷为
为了计算特定响应，我们假设线载荷通过下式变为谐波形式
当 22 rad/s 的角频率接近第五阶特征模态的固有频率时，我们可以预计该模态对总响应具有显著影响。在没有任何阻尼且质量归一化的情况下，模态方程为
当谐波激励幅值为 
时，可以得到频域方程，
此时可以显式求解模态幅值，结果为
由此，可以根据模态叠加将位移方程明确地写为
取二阶导数可以给出弯矩，从而得到
可以看出，除了常数乘子发生了改变，项 2k + 1 也从分母移到了分子上。这表明，较高阶的模态对弯矩的影响（继而影响应力）大于对位移产生的影响。
在下表中，计算了值 
时前十阶特征模态的模态载荷和模态幅值。
| 模态 j | ωj | rj | qj |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11.13 | -2.30·10-2 |
| 2 | 4 | 0 | 0 |
| 3 | 9 | 3.71 | -9.21·10-3 |
| 4 | 16 | 0 | 0 |
| 5 | 25 | 2.23 | 1.58·10-2 |
| 6 | 36 | 0 | 0 |
| 7 | 49 | 1.59 | 8.29·10-4 |
| 8 | 64 | 0 | 0 |
| 9 | 81 | 1.24 | 2.03·10-4 |
| 10 | 100 | 0 | 0 |
由于 
，在较高阶模态（
）下，模态幅值减小。
前十阶模态对位移的贡献。
前十阶模态对位移的贡献。
对模态连续求和后沿梁的位移。
对模态连续求和后沿梁的位移。
对模态 1、3 和 5 求和时，位移结果已很好地收敛。为了准确表示弯矩，至少还必须包含模态 7。
对模态连续求和后沿梁的弯矩。
对模态连续求和后沿梁的弯矩。
在本例中，响应主要由一个模态控制，即模态 5。如果扰动角频率从 22 rad/s 变为 17 rad/s，则不会发生共振。结果如下图所示。
尽管需要包含模态 5 才能得到可接受的解，但此时位移由模态 3 控制，而弯矩则仍由模态 5 控制。
降低扰动频率后沿梁的位移。
降低扰动频率后沿梁的位移。
降低扰动频率后沿梁的弯矩。
降低扰动频率后沿梁的弯矩。
上次修改日期：2018 年 5 月 8 日