在感应加热领域，一项主要的挑战在于对被加热材料的非线性特性进行建模仿真。所有材料的特性都会随温度呈现非线性变化，而磁性材料还会随磁场变化表现出非线性。想要保证仿真的准确性，就必须将这些非线性特性纳入模拟中。本文，我们将介绍一种十分便捷的处理方法，即借助 COMSOL Multiphysics® 软件的附加产品 —— AC/DC模块中内置的 磁场公式 物理场接口即可实现相关模拟。
为何感应加热是建模仿真难题？
感应加热在材料加工领域应用广泛，其优势主要包括以下几点：
- 工件采用间接方式进行加热。
- 受加热影响的区域可以深入材料内部。
- 通过改变驱动电流的大小和频率，可以非常精确地控制随时间变化的加热曲线。
不过，在感应加热实践中，要想实现对加热过程的精准控制，就需要配备相应的过程反馈回路和实验验证。理想情况下，这个回路还应结合一个融入了实验数据的数值模型，以预测温度随时间的变化趋势。数值模型之所以特别有用，正是因为它能够预测那些在实验中无法直接测量的区域的情况。
从实际应用的角度来看，数值建模确实存在不少挑战。首先，需要高质量的输入数据，既要准确描述工件和感应加热线圈的几何结构，也要掌握驱动电流及频率相关参数。除此之外，还需要明确材料属性及其变化规律。
所有材料属性都会随温度变化。由于感应加热通常会将工件从室温一直加热到接近熔点的温度，因此这些非线性因素绝对不能忽略。一般来说，金属的电导率和热导率会随着温度的升高而下降，但也并不总是如此。
不同温度下的典型B-H曲线。当温度高于居里温度时，曲线的斜率等于真空磁导率。
此外，还有一类材料，具体来说是软磁材料，它们的磁导率会随磁场呈现非线性变化，但其磁滞效应可忽略不计。这类材料可以通过实验测得的 B-H 曲线来表征，该曲线描述了磁场强度（\mathbf{H} 场）与磁感应强度（\mathbf{B} 场）数值之间的关系。B-H 曲线同样会随温度发生变化，其幅值会随着温度升高逐渐降低，直到达到居里温度，此时材料会丧失磁性。尽管这类曲线的形状通常与上图展示的非常相似，但实际的实验数据往往很难获取，这也成为构建数值模型过程中的最大阻碍。
搭建模型：一些概念性前提
感应加热过程通常至少持续数秒，其激励频率的范围却很广，低至 50 Hz 到高达 450 kHz 甚至更高。这意味着该问题存在两种时间尺度。相对于一个振荡周期而言，温度场的变化可以被认为是极其缓慢的。换句话说，电磁场在一个周期内“感知”不到温度的变化。基于这一特性，促使我们采用一种被称为频域-瞬态 的研究方法，即在频域内求解电磁场，而在时域内求解热问题。
电磁场确实会被重新计算，但仅在材料属性随温度发生变化时才会执行。频域分析的明确前提是：材料属性在一个周期内是恒定不变的。然而在实际中，电磁场在单个周期内通常会发生非线性变化。我们一般都力求以最快速度加热材料，这意味着激励电流和由此产生的磁场会将材料驱动到 B-H 曲线的非线性区域。
为了解决这一明显矛盾，我们引入“有效 B-H 曲线”这一概念，它采用一种基于能量的方法拟合出一条可近似表征非线性特性的曲线。这些曲线可基于实验测得的 B-H 曲线作为起点来计算得出。具体工作流程是：首先获取 B-H 数据，使用B–H 曲线检查器 对其进行清理，然后利用平滑后的数据在有效 B–H 曲线计算器 中进行计算。
结合上述概念，你目前应当已获取至少三组工件材料的数据：
- 温度
- 非线性电导率与热导率
- 每种受热材料在不同温度下对应的一组有效磁化曲线
若要建立完整的热学模型，还需要获取材料的密度、比热容以及表面热发射率，因为我们至少要考虑辐射散热这一因素。比热容通常会随温度发生变化，而密度则始终保持恒定——体积上的任何变化，都需要通过额外求解固体材料的热膨胀来进行模拟。在接下来的示例中，表面发射率设定为恒定值，不过在实际应用场景中，该数值可能发生变化。
感应线圈几乎均为水冷铜管，由于其温度保持恒定，建模难度大幅降低。我们通常无需关注线圈内部的热量分布，只需要明确线圈中的电流如何对工件进行加热。基于此，可采用 阻抗边界条件 仅对线圈表面 建模，这种简化的建模方式无需对线圈内部区域划分网格。如果有需要，也可以对线圈整体区域进行完整建模。
另一方面，工件必须始终以体单元形式建模，因为无法通过面边界条件精准模拟其物性变化。此外，各类场量通常在表面法向方向上变化剧烈，而在切向方向上变化平缓，这也是采用边界层网格的原因。进行三维建模分析时，还可在模型表面划分分层结构，以此对几何模型进行分割，提升计算效果。
补充说明：采用解析方程求解有效 B–H 曲线
虽然实验数据代表的是最真实的情况，但想要高精度获取这类数据并非易事，在较宽泛的温度范围内开展相关工作时更是如此。因此，研究人员有时会采用形式更简洁的 B-H 曲线表达式，尤其是借助这类表达式能够进一步推导出有效 B-H 曲线的解析公式时。
有两个简便的表达式，可以将 \mathbf{B} 场的大小，B = \lVert \mathbf{B} \rVert，表示为 \mathbf{H} 场大小 H = \lVert \mathbf{H} \rVert 的函数，具体如下：
二者具有相同的极限特性：在低磁场下，曲线斜率（即微分相对磁导率）为 \partial B / \partial H = \mu_{rd} = \mu_0\left( 1+B_{sat}/H_0 \right)，而在强磁场极限条件下，斜率为 \mu_0，与真空环境下的数值一致。饱和磁通密度为 B_{sat}，是指曲线斜率趋近于真空极限值时对应的状态点。
借助该公式，我们可以轻松引入温度相关性，以此模拟材料趋近居里温度时的特性。当温度高于居里温度时，可将材料近似视为无磁性材料。具体做法是将饱和磁通密度设置为温度的函数，该函数 B_{sat}\left(T\right) 形式不限，只需保证在温度超过居里温度时数值降至零。这类函数通常呈单调递减趋势，因此我们可以采用下图所示的曲线形式，即在达到居里温度前按多项式规律递减。该曲线可通过 COMSOL® 中的分段函数进行定义，同时可添加平滑项以保障数值计算的稳定性。
对磁性随温度变化的近似处理，在居里温度附近的小范围内进行了平滑处理。
借助这些公式，我们现在可以采用 简易能量 法推导出有效 B–H 曲线的解析表达式。其中：
将上文的两个表达式代入后可得到：
请注意，我们也可以为 H_0 参数引入温度相关特性，从而改变 B–H 曲线的幅值与斜率。需要强调的是，以上内容仅作为简便近似方法给出，你也可以选用其他函数以及有效 B–H 曲线计算公式重新推导。在缺乏高质量实验数据的情况下，这些方法可作为建模的合理切入点。
采用磁场公式建模
本文探讨的示例，是采用三匝线圈来加热一个钢制方管。我们假定线圈节距对计算结果影响较小，并基于该假设利用工件与线圈的对称性来缩减模型规模。
三匝感应线圈绕在一段方形钢管上（左），可等效为工件及其外围自由空间的十六分之一模型（右）。
我们这里采用的是 磁场公式 接口建模方法，该接口直接求解 \mathbf{H} 场。这个方法更适合对于非线性特性明显依赖于磁场本身的材料。我们之前已经介绍过 如何在该公式中引入激励，接下来将借助全局约束来限定线圈上的驱动电流。
在输入材料非线性时，针对有效 B-H 材料关系，可以通过避开对磁场进行符号微分来降低计算成本。这可以通过使用 nojac () 算子来实现。尽管这种做法偶尔可能会增加求解器的迭代次数，但每次迭代所需的时间和内存都会减少，从而在整体上提升计算效率。请注意，无论你是使用前文推导出的解析表达式，还是使用表格数据，这一结论都适用。
求解方法使用的是 频域-瞬态 求解器，对于三维模型，此求解器默认采用分离式求解方法。H 场是使用直接求解器来求解的，如果你配备了合适的显卡，这里非常适合尝试一下全新的 NVIDIA CUDA® 直接稀疏求解器 (NVIDIA CuDSS) 。
下方动画展示了相关计算结果，并显示了温度升高的影响。随着材料受热，有效相对磁导率会发生变化，当温度超过居里温度时，该数值最终会降至 1。
受场强与温度影响的有效相对磁导率随时间变化的动画。
关于网格划分，你可以结合最大工作频率、电导率以及最大有效磁导率来计算最小集肤深度。除此之外，还可以 尝试不同的单元阶数，不过在处理强非线性材料时，通常优先选用线性阶单元。
三维模型的计算成本通常会很高，因此利用对称性对模型进行简化一直是我们推荐的做法。在此基础上，往往还可以将模型进一步简化为二维模型。这类模型实用性极强，能够为三维模型制定高效的网格划分方案提供参考。
二维模型通常能以低得多的计算成本，对三维模型做出合理近似，并将二维计算结果映射到对应的三维表面上。
二维与三维模型的结果对比。
构建二维模型的重要性再怎么强调也不为过。这类模型通常能够很好地预估三维求解结果，同时也更便于研究网格划分、求解器以及离散化方案。在对这类模型进行拓展时，往往还需要纳入更多物理场分析，例如求解力学性能问题：圆柱销的感应淬火。
结束语
我们通过本文展示了，利用磁场公式法，能够便捷地建模并求解同时随磁场与温度呈现非线性特性的材料感应加热问题。相较于其他方法，该公式法稳健性更佳，因此收敛速度更快，在非线性特征显著的应用场景下优势尤为突出。
想亲自动手尝试这方面的仿真吗？请点击下方链接下载教程模型。
评论 (0)