通过二维轴对称建模分析扭转问题

2022年 2月 8日

你知道 COMSOL Multiphysics® 软件中的二维轴对称固体力学 接口可以分析扭转和弯曲吗?从6.0 版本开始,你可以在 COMSOL Multiphysics® 中使用这项扩展功能轻松设置二维轴对称模型,而在这之前分析扭转和弯曲通常需要建立完整的三维模型。使用扩展公式,你可以研究由于轴向力而扭转的各向异性材料、扭转加载的周向裂纹或弯曲的应力集中系数,所有这些研究都是在二维几何结构中进行的。今天的博客文章,让我们来看看如何使用这项功能。

什么是二维轴对称?

在之前的博客文章:平面应力和平面应变的区别是什么?中,我们通过对面外方向上的应力或应变场进行假设,讨论了使用平面二维近似分析三维实体对象的方法。二维轴对称是将三维零件简化为二维几何的另一种方法。二维建模的优势在于,它比构建完整的三维模型计算更精简,同时还允许更简单的应用边界条件和更简单的划分网格。

在二维轴对称中工作需要几何(通常但并不总是)、载荷和约束在对象的圆周上保持不变。如果满足这些要求,就可以仅使用一个二维截面来求解运动方程。通过在整个旋转过程中积分控制方程,二维截面足以恢复完整的三维应力状态和应变状态。二维轴对称分析的典型对象是压力容器、扬声器模块、流体混合器、O 形圈或轴。

空心轴的 3D 模型
顶部施加轴向载荷的空心轴的二维轴对称几何结构。
von Mises 空心轴部分轴向载荷的应力分布。

典型的二维轴对称分析:一个三维轴(左),在其顶部(中心)施加轴向载荷的二维轴对称几何表示,以及重新获得的三维剖面图显示了 von Mises 应力分布(右)。

默认情况下,只有在二维轴对称中求解的径向轴向 位移 uw。圆周分量 v 假定为零。但是,可以包括圆周位移,它允许在二维轴对称中扭转变形。为了更好地理解扩展功能的应用,我们先复习一下通常如何使用位移梯度来描述变形。如果你熟悉这个概念,可以跳过下一节内容直接阅读后面部分。

位移梯度

固体力学 接口求解运动方程或牛顿第二定律。默认的 线弹性材料 节点中的 方程 部分显示了以体积载荷表示的我们所熟知的定律“质量乘以加速度等于所有力的总和”,以及应力和应变之间的线性关系,这是此特殊材料模型明显特征。

设置窗口的屏幕截图,显示了定义线弹性本构方程和工程应变定义的线弹性材料节点的方程部分
线弹性材料节点 方程 部分显示了运动方程 (1) 和线弹性本构方程 (2),以及工程应变 (3) 的定义。

为了在连续介质力学分析中建立本构关系,有必要使用某种合适的度量来描述材料在任何给定点的变形。实际上,在表征变形时有许多测量方法可供选择,例如 工程应变(参见上图中的 (3))、格林拉格朗日应变对数应变等。到底哪种方法有用取决于背景,例如使用特定材料模型或模型是否涉及大变形(几何非线性)。然而,所有这些方法都可以表示为位移梯度的函数 \nabla \mathbf{u},(有时表示 \textrm{grad} \, \mathbf{u})。

那么,什么是位移梯度,它来自哪里?考虑一个(无限小的)小的“块”材料,它可以是任何更大结构的一部分。在初始时间 t_0,该块有一个参考配置(见下面的灰色表面)。在稍后的某个时间 t,该块可能已经经历了刚体运动(平移和旋转)以及变形(拉伸或剪切),如下面的动画所示。

 

平面二维对象的平移、旋转和弹性变形(纯剪切),视图显示了单独的变形步骤。在 块变形之后,位移梯度用于描述两个初始相邻点之间的位移变化,例如 \textrm{P}_1\textrm{P}_2

在动画中,\textrm{P}_1\textrm{P}_2 两个点已经被标记出来。假设它们彼此无限接近。最初,\textrm{P}_1 点位于 \mathbf{X} 处,而它在当前时间 t 的位置表示为 \mathbf{X}。点 \textrm{P}_1 的新位置也可以用原始位置加上位移矢量来描述,即 \mathbf{x} = \mathbf{X} + \mathbf{u}(\mathbf{X}, t)

现在,我们把注意力放在邻近点 \textrm{P}_2 上。与第一个点类似,一段时间后 \textrm{P}_2 也会移动到一个新的位置 t。唯一的区别就是点 \textrm{P}_2 距离 \textrm{P}_1 很近,也就是说,它的初始位置是 \mathbf{X} + \textrm{d}\mathbf{X}。因此,当块变形后,\textrm{P}_2 新的位置是

\mathbf{x}+ \mathrm{d}\mathbf{x} = \mathbf{X} + \mathrm{d}\mathbf{X} + \mathbf{u}(\mathbf{X}+\mathrm{d}\mathbf{X}, t)

将这个关系稍微重新排列后得到一个表达式 \textrm{d}
\mathbf{x}
,是点 \textrm{P}_1\textrm{P}_2 在变形配置中的一小步。

\mathrm{d}\mathbf{x} &= \mathbf{X} + \mathrm{d}\mathbf{X} + \mathbf{u}(\mathbf{X}+\mathrm{d}\mathbf{X}, t) – \mathbf{x} \\[1mm]
&= \mathbf{X} + \mathrm{d}\mathbf{X} + \mathbf{u}(\mathbf{X}+\mathrm{d}\mathbf{X}, t) – \left[ \mathbf{X} + \mathbf{u}(\mathbf{X},t) \right] \\[1mm]
&= \mathrm{d}\mathbf{X} + \mathbf{u}(\mathbf{X}+\mathrm{d}\mathbf{X}, t) – \mathbf{u}(\mathbf{X},t)
= \mathrm{d}\mathbf{X} + \mathrm{d}\mathbf{u} \\[1mm]
& = \mathrm{d}\mathbf{X} + \left( \nabla \mathbf{u} \right) \mathrm{d} \mathbf{X} \\[1mm]
& = \left( I + \nabla \mathbf{u} \right) \mathrm{d}\mathbf{X}

式中,位移梯度 \nabla \mathbf{u} 被定义为张量,当物体变形时,它将 \textrm{d}\mathbf{X} (在初始配置中)映射到点 \textrm{P}_1\textrm{P}_2 之间的位移变化。与这些量密切相关的术语 I + \nabla \mathbf{u} = \textrm{d}\mathbf{x}/\textrm{d}\mathbf{X} 被称为变形梯度(通常表示为 F),这个量也出现在许多连续介质力学的书籍中。

在更多实际情况中,相对于初始配置(也是材料坐标系的坐标),\nabla \mathbf{u} 是包含位移场 \mathbf{u} = (u, v, w)^\textrm{T} 导数的张量。对于三维笛卡尔坐标系,位移梯度很简单

\nabla \mathbf{u} =
\left[
{\begin{array}{ccc}
\frac{\partial u}{\partial X} & \frac{\partial u}{\partial Y} & \frac{\partial u}{\partial Z} \\
\frac{\partial v}{\partial X} & \frac{\partial v}{\partial Y} & \frac{\partial v}{\partial Z} \\
\frac{\partial w}{\partial X} & \frac{\partial w}{\partial Y} & \frac{\partial w}{\partial Z} \\
\end{array} }
\right]

在二维轴对称中,使用柱坐标系,这时位移梯度被定义为

\nabla \mathbf{u} =
\left[
{\begin{array}{ccc}
\frac{\partial u}{\partial R} & \frac{1}{R} \frac{\partial u}{\partial \Phi}-\frac{v}{R} & \frac{\partial u}{\partial Z} \\
\frac{\partial v}{\partial R} & \frac{1}{R} \frac{\partial v}{\partial \Phi}+\frac{u}{R} & \frac{\partial v}{\partial Z} \\
\frac{\partial w}{\partial R} & \frac{1}{R} \frac{\partial w}{\partial \Phi} & \frac{\partial w}{\partial Z} \\
\end{array} }
\right]

式中,R, \Phi, 和 Z分别是径向、周向和轴向坐标。

添加扭转…

那么,如何重新定义位移梯度以将简单的二维分析扩展到有时称为 2.5 维的分析呢?

默认情况下,二维轴对称实体的圆周方向位移被假定为零。这是因为有很多应用案例只涉及径向和轴向位移,而将位移分量添加到因变量列表会增加一定的计算成本。因此,为了研究二维轴对称中的扭转,必须明确添加圆周位移。我们可以使用 COMSOL 软件 固体力学 接口 设置 窗口中的 包含周向位移 复选框轻松完成。

“设置”窗口的屏幕截图,显示“固体力学”界面的“轴对称近似”部分中的“包括周向位移”和“周向模式扩展”复选框。
在固体力学界面中打开边界载荷特征的设置窗口的屏幕截图。

轴对称近似 中的复选框启用了二维轴对称模型中的周向位移(左)。选择 包含周向位移 复选框时,模型开发器中的许多节点都显示了附加的用户输入,例如在方位角方向(右)中施加负载的场。

选中 包含周向位移 复选框后,软件会完成三件重要的事情:

  1. 添加周向位移分量作为一个新的因变量
  2. 显示新的用户输入,例如在圆周方向上施加载荷、弹簧或阻尼
  3. 修改位移梯度的定义

最后一步使我们求解面外方向的剪切应变(即\varepsilon_{R\Phi}\varepsilon_{\Phi{Z}}),在典型的二维轴对称分析中,它们被假定为零。唯一的限制是位移场必须围绕物体的圆周保持恒定。换句话说,假定 \Phi 的倒数为零(\partial (…)/\partial \Phi=0)。因此,重新定义的位移梯度为

\nabla \mathbf{u} &=
\left[
{\begin{array}{ccc}
\frac{\partial u}{\partial R} & -\frac{v}{R} & \frac{\partial u}{\partial Z} \\
\frac{\partial v}{\partial R} & \frac{u}{R} & \frac{\partial v}{\partial Z} \\
\frac{\partial w}{\partial R} & 0 & \frac{\partial w}{\partial Z} \\
\end{array} }
\right]

其中,对于标准的二维轴对称模型,所有涉及 v 的项通常会被忽略。此处描述的扩展功能适用于所有研究类型。

包含周向位移使得通常需要完整三维分析的研究成为可能。下面动画中显示的2个示例就是这种情况。第一个示例显示了由各向异性材料制成的管,例如层不均匀纤维复合材料。在这种情况下,弹性矩阵包含耦合项,这会导致管在轴向拉动时会发生扭转。第二个例子显示了一个带有周向裂缝的容器。它承受的内部压力和周向力,导致裂缝同时受到张开和面外剪切模式的影响。

 

 

通常需要完整三维模型分析的示例:由于各向异性材料特性(左)而具有张力扭转耦合的管的归一化周向位移,以及在开口处加载裂纹的厚壁容器的 von Mises 应力分布和面外剪切模式(右)。

圆周模式扩展

对于特征频率和频域分析,上述限制只允许 \Phi 方向上的一个恒定位移可以轻微提升。对于某些问题,例如扭转振动,假设解在圆周上具有一定的周期性是合理的。这个想法可以方便地用一个复值假设来表示:

\mathbf{\hat{u}} = \mathbf{u} (R,Z) \, e^{-im\Phi} = \mathbf{u}
(R,Z) \left[ \cos (m \Phi) – i \, \sin (m \Phi) \right]

这是一个假设线性响应的有效解决方案,这是频域分析最常见的基本假设。是定义位移场中周期数的方位角模式数。有了这个假设,位移梯度变为

\nabla\mathbf{\hat{u}} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial R}&-\frac{v}{R}& \frac{\partial u}{\partial Z} \\
\frac{\partial v}{\partial R} &\frac{u}{R}& \frac{\partial v}{\partial Z} \\
\frac{\partial w}{\partial R}&0& \frac{\partial w}{\partial Z} \end{bmatrix} – i \frac{m}{R} \begin{bmatrix}
0 & u & 0 \\
0 & v & 0 \\
0 & w & 0
\end{bmatrix}

这种类型的二维轴对称扩展也称为 圆周模式扩展,可以使用 轴对称近似中的第二个复选框激活(参见上面的屏幕截图)。模式编号必须指定为用户输入。

有两个需要注意的特殊情况:

  1. m=0,对应于一个常数移位
  2. m=1,可以描述二维轴对称中的弯曲变形

请注意,COMSOL Multiphysics 会自动在对称线上修改轴对称条件 (u=v=0),以便允许弯曲变形。

下图显示了特征模式的示例,可以使用圆周模式扩展进行研究。通过改变模式数,可以在相应的全三维分析中找到的所有特征模式——前提是基本轴对称假设成立。

m=0 圆柱体的前三个本征模,固定在模式数为 0 的一端。
m=1 圆柱体的前三个本征模,固定在模式 1 的一端。
m=2 圆柱体的前三个本征模,固定在模式 2 的一端。

圆柱的前三个特征模态,一端固定用于不同的模态数 m。在这个例子中,m=0 产生扭转和轴向模式,m=1 仅显示弯曲模式,m=2 显示高阶扭转模态。

一般来说,圆周模式扩展只能用于特征频率和频域研究。在稳态和瞬态研究中,圆周位移 v 保持不变,对应于模式编号 m=0。但是,如果在频率为 0\,\textrm
{Hz}
下运行一个频域分析,将得到一个稳定的解,因为所有惯性项都变为零并且所有负载都变得与频率无关。使用这个技巧,可以计算二维轴对称中的静态弯曲变形。下图显示了轴承受弯曲力的示例(模式编号 m=1) 和轴向应力 \sigma_z,与在较薄和较厚轴部分之间的过渡区域中的分析预期应力进行比较。

二维轴对称空心轴受弯曲力的模型。
在二维轴对称中模拟的承受弯曲力的轴。该图显示了应力集中系数,或者更准确地说,显示了实际应力之间的比率 \sigma_z,以及从基本弯曲理论中获得的圆角区域中的预期法向应力。

该案例模型,包括在这种情况下如何应用载荷的详细信息可以在文后链接中下载。

其他结构力学接口呢?

为了求解更复杂的位移场,通常用面外自由度扩展具有的二维公式的想法并不是唯一的。例如, 接口也支持圆周模式扩展。固体力学 接口中的平面二维等效项被称为面外模式扩展,可以在二维固体力学 设置 窗口中启用。它允许用户模拟面外方向的波状位移。

“设置”窗口的屏幕截图,打开“固体力学”界面“二维近似”区域中的“平面外模式扩展”复选框。
含二维平面应变公式 固体力学 接口中的 面向模态扩展 复选框。

此外,其他一些物理场接口支持使用类似类型的扩展求解更高级的三维场。例如,在流体接口中,该选项称为 涡流

在层流界面的物理模型部分,打开“设置”窗口进行涡流检查的屏幕截图。
打开“设置”窗口的屏幕截图,显示“压力声学,频域”界面“压力声学方程设置”部分中的“方位模式编号”复选框。

二维轴对称 层流 压力声学,频域 接口的设置。漩涡流 方位角模数设置允许求解圆周方向上形状更复杂的场。

自己动手尝试

想自己动手尝试模拟文中讨论的二维轴对称扭转和弯曲吗?单击下面的按钮访问 MPH 文件。


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