电子能量分布函数

2014年 8月 4日

电子能量分布函数 (electronicenergy distribution function ,EEDF) 在等离子体建模中起着重要作用。可以通过各种方法来描述 EEDF,例如 麦克斯韦函数、 Druyvesteyn 函数或玻尔兹曼方程的一个解。今天,我们将为您介绍 EEDF 对等离子体模型结果的影响。此外,我们还提供了一种使用 COMSOL 软件中的 玻尔兹曼方程,两项近似 接口计算 EEDF 的方法。

电子能量分布函数(EEDF)

电子能量分布函数 (EEDF) 在等离子体建模中是必不可少的,因为它需要计算电子碰撞反应的反应速率。因为电子传输特性也可以从 EEDF 导出,所以选择不同的 EEDF 会影响等离子体模型的结果。如果等离子体处于热力学平衡状态,那么 EEDF 具有麦克斯韦形状。在大多数等离子体中,出于技术目的,会出现与麦克斯韦形式 EEDF 的偏差。

描述 EEDF

有几种可能的函数可以描述 EEDF,例如麦克斯韦函数或 Druyvesteyn 函数。此外,还有一种介于麦克斯韦函数和 Druyvesteyn 函数之间的广义形式可以使用。

描述 EEDF

麦克斯韦
f(\epsilon)=\varphi^{-3/2}\beta_1\exp\left(-\frac{\epsilon\beta_2}{\varphi}\right)
\beta_1=\Gamma(5/2)^{3/2}\Gamma(3/2)^{-5/2},\ \beta_2=\Gamma(5/2)\Gamma(3/2)^{-1}
Druyvesteyn
f(\epsilon)=\varphi^{-3/2}\beta_1\exp\left(-\left(\frac{\epsilon\beta_2}{\varphi}\right)^2\right)
\beta_1=\Gamma(5/4)^{3/2}\Gamma(3/4)^{-5/2},\ \beta_2=\Gamma(5/4)\Gamma(3/4)^{-1}
广义形式
f(\epsilon)=\varphi^{-3/2}\beta_1\exp\left(-\left(\frac{\epsilon\beta_2}{\varphi}\right)^g\right)
\beta_1=\Gamma(5/2g)^{3/2}\Gamma(3/2g)^{-5/2},\ \beta_2=\Gamma(5/2g)\Gamma(3/2g)^{-1}

其中,ϵ 是电子能量,(eV);是平均电子能量,(eV);g是1和2之间的因子,对于麦克斯韦分布函数,g等于1,而g等于2为Druyvesteyn分布。最后, 是不完全 Gamma 函数。

Druyvesteyn 函数

Druyvesteyn EEDF 是基于一个恒定的(与电子能量无关的)横截面,麦克斯韦 EEDF 是基于恒定的碰撞频率。分布函数假定弹性碰撞占主导地位,因此非弹性碰撞(如激发或电离)对分布函数的影响不显著。在这种情况下,分布函数变为球对称。在与中性原子的弹性碰撞中,电子的运动方向改变了,但它们的能量(由于巨大的质量差异)不变。

麦克斯韦函数

如果电子之间处于热力学平衡状态,那么分布函数是麦克斯韦函数。然而,这只在电离程度较高的情况下才成立。在这里,电子-电子碰撞使分布趋向于麦克斯韦形状。电子与重粒子的非弹性碰撞导致EEDF在电子能量较高时下降。因此,对于较低的电离度, Druyvesteyn 分布函数往往能给出更准确的结果。

玻耳兹曼方程

此外,通过求解玻尔兹曼方程,可以计算出 EEDF。玻尔兹曼方程描述了分布函数f在六维相空间中的演化:

\frac{\partial f}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\triangledown f-\frac{e}{m}(\mathbf{E}\cdot\triangledown_\mathbf{v}f)=C[f]

为了求解玻尔兹曼方程,从而计算 EEDF,并且必须进行彻底的简化。一种常用的方法是将分布函数展开成球谐函数。假设 EEDF 几乎是球对称的,所以级数可以在第二项之后被截断(所谓的两项近似)。由于该方法考虑了非弹性碰撞引起的各向异性扰动,因此是计算 EEDF 最精确的方法。然而,这也是计算成本最高的方法。

分布函数图
平均电子能量为 2-10eV 时,eV–1 中的麦克斯韦 EEDF

为了便于说明,通常将分布函数除以 \sqrt{\epsilon} 。这种分布函数也称为电子能量概率函数(EEPF)。对于麦克斯韦函数,会得到一条斜率为 (-1/k_B T) 的直线, 如下所示。

描绘电子能量概率函数的图表
平均电子能量为 2-10eV 时的麦克斯韦 EEPF,单位为 eV–3/2

比较麦克斯韦、Druyvesteyn 和波尔兹曼分布函数

Druyvesteyn 分布的最大和平均能量会转移到更高的值。与麦克斯韦分布相比,高能尾下降得更快。当电子达到足以激发或电离的能量时,就会发生非弹性碰撞。这导致玻尔兹曼分布函数的下降,如下所示。

绘图突出显示了玻尔兹曼分布函数的下降
麦克斯韦、Druyvesteyn 和玻尔兹曼分布函数的比较。平均电子能量 5ev,电子密度 1\cdot10^{16}\ \mathrm{m}^{-3}, 电离度 1\cdot10^{-9}

影响模型结果

在等离子体模型中,对于电子碰撞反应,需要根据以下方程用 EEDF 计算速率系数 k_k :

k_k=\gamma\int\limits_{0}^{\infty}\epsilon\sigma_k(\epsilon)f(\epsilon)\mathrm d\epsilon

在上式中, \gamma = \sqrt{2q/m_e},电子能量为 ϵ, 并且 \sigma_k 是反应的横截面,k

激发和电离的速率系数很大程度上取决于 EEDF 的形状。这是由于在超过激活阈值的能量时,电子的分布呈指数下降。使用麦克斯韦 EEDF 会导致过高估计电离率,如下图所示。

图表描绘了氩离子化
用不同种类的EEDF计算了氩电离速率系数。

此外,利用玻耳兹曼方程,两项近似接口,利用EEDF计算电子输运特性。输运系数的计算对EEDF类型的依赖性较小。

图表显示电子迁移率降低
用不同类型的EEDF计算的下降的电子迁移率。

介质阻挡放电模型结果的比较

由于速率系数的数量级不同,我们必须意识到,当改变 EEDF 时,放电特性也会发生剧烈的变化。等离子体模块模型库中存在介质阻挡放电(DBD)模型。这个模型模拟了大气压氩气中的电击穿。用三种不同的 EEDF 对模型进行了重新计算,并对计算结果进行了比较。接下来的两幅图显示了在接地电极处的总电流和等离子体中瞬时吸收的功率。等离子体由频率为 50kHz 的正弦电压驱动。这些数据显示了两个时期的行为。

由于速率系数可能存在数量级的差异,我们必须意识到当改变 EEDF 时,放电特性也会发生剧烈变化。在等离子体模块的案例库中,有一个介质阻挡放电 (DBD) 模型。该模型模拟常压氩气中的电击穿。用三种不同的 EEDF 对模型进行了重新计算,并对计算结果进行了比较。接下来的两个图显示了接地电极处的总电流和等离子体中的瞬时吸收功率。等离子体由频率为 50kHz 的正弦电压驱动。这些数字显示了两个周期内的电流以及总吸收功率的变化。

Discharge Current Graph
DBD 中总放电电流与时间的关系。

图表突出显示了 DBD 中的吸收功率
DBD 吸收的功率与时间的关系。

结果看起来略为相似。因此,选择不同的EEDF会影响建模结果,而不是其数量级,但在这个案例中其对前者的影响远远小于后者。当然,这取决于模型和我们希望提取的特定结果。


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