如何模拟时变磁场中的导体

COMSOL Multiphysics® 软件附加的“AC/DC 模块”最常见的用途之一是对产生大量感应电流的时变磁场中的导体及其他有损材料进行建模。正确的建模方法取决于磁场随时间的变化速率。在本文中，我们将回顾相关的基础知识，并介绍各种相关的建模技术。

利用“AC/DC 模块”描述集肤效应

当诸如导体之类的有损材料暴露在时变电磁场中时，材料中将产生感应电流。感应电流产生的磁场会改变材料内部的电流分布，最终导致感应电流集中在有损材料的表面。这种现象被称为集肤效应。

借助“AC/DC 模块”及任意可用于求解磁场和电流的物理场接口，我们可以模拟这种效应。这些接口包括：

• 磁场 接口
• 磁场和电场 接口
• 磁场公式 接口
• 旋转机械，磁 接口

假设磁场及其他场均随时间成正弦变化，则上述物理场接口都支持在频域内仿真。对于随时间呈非正弦变化的场，可以采用磁场 接口以及旋转机械，磁 接口和磁场公式 接口进行全时域分析。

对时变磁场中导体进行频域仿真

因为多数电气设备的工作频率或频率范围是已知的，所以我们先从频域入手。我们可以根据工作频率计算材料的集肤深度 δ：

其中 \omega 是工作频率，\mu_0 是磁导率，\epsilon_0 是自由空间的介电常数，\mu_r 和 \epsilon_r 是材料的相对磁导率和介电常数，\sigma 是材料的电导率。

描述导体时，此方程可以简化为：

严格意义上来讲，集肤深度是半无限大平面导体中感应电流衰减到e-1的深度，但是上述公式仍然是估算趋肤深度的有效方法，并且与几何形状无关。第一步始终是计算仿真中所有材料的集肤深度，因为这个值决定了我们将如何建模。为了理解这个关键点，我们以简单的闭环导线圈（导线的半径为 1 cm，导线圈的半径为 10 cm）为例。导线圈暴露在以一定频率的均匀背景磁场中，如下图所示。

暴露在正弦时变磁场中的铜线圈。

如下图所示，上图中的问题可以使用二维轴对称模型进行模拟。我们使用无限元域截断了建模空间，具体原因如一篇已发布的博客文章所述。

线圈模型示意图。

我们查看一下几个不同频率对应的结果。下图显示线圈中的电流大小。可以观察到，在更高频率下，电流主要在靠近线圈表面的地方流动。在最高频率下，线圈中间的电流实际上为零。也就是说，集肤效应屏蔽了导体内部的电流。

不同频率下线圈横截面的内部电流。

为了正确模拟各种情况，我们应知道该使用哪一类有限元网格。在较高频率下，电流越来越接近边界，所以需要更精细的网格来解析场的空间变化。不过，场只在垂直于边界的方向上剧烈变化，而在沿线圈周长的方向上变化缓慢。

上述情况很适合使用边界层网格划分功能，它能够在垂直于边界的方向上插入薄单元，如下图所示。根据线圈内电流分布的目标解析精度，你可以将边界层单元的厚度设为集肤深度的 0.5~1 倍，并使用至少两个或者多达八个甚至以上的边界层单元。另一方面，当频率足够低时，根本不需要边界层网格划分。

不同频率对应的导线网格，与上文的电流分布图一致。

等效边界条件

上图表明，在较高的频率下，延伸到线圈内部的电流分布微乎其微。所以事实上，我们可以认为当频率足够高时，电流在表面上 流动。既然如此，我们便可以使用阻抗 边界条件，并且不需要模拟线圈的任何 内部区域，如下图所示。

使用 阻抗边界条件的模型的示意图及网格。

这种方法可以减少了相当大的计算量，因为现在我们只需要对空气域划分网格，然后应用阻抗 边界条件。显然，我们会丢失一些信息：导体内的电流分布。但是，如果我们对这些信息不感兴趣，这一方法便是对导体内部划分网格的最优替代方案。下面第一张绘图显示了利用阻抗 边界条件和包含边界层网格的线圈域模型计算的线圈损耗与频率之间的关系。

使用线圈域模型和 阻抗边界条件计算的损耗结果绘图。

下图绘制了利用阻抗 边界条件与利用明确的域模型计算的损耗之比，并绘制了该比率同导线半径与集肤深度的比率之间的关系。零件的特征尺寸（此例为半径）接近于集肤深度的十倍，利用两种方法计算的损耗大小相近。

损耗比同物体尺寸与集肤深度之比的关系绘图。

根据上图我们可以推断出，只要与所模拟的导体尺寸相比，集肤深度相对较小，阻抗 边界条件就可以准确预测总损耗。这个结果很重要，因为它能够大大简化“AC/DC 模块”中的频域建模工作。

时变磁场内导体的时域仿真

我们以时域仿真来结束话题。因为边界条件以麦克斯韦方程的频域形式为基础，所以在此例中，阻抗 边界条件不可用。在时域仿真中，我们必须对所有导体的内部进行建模与网格划分。边界层网格划分是一个合适的方法，但是它要求我们根据时域激励信号中的平均和最大频率成分来调整单元厚度。当然，有时这会增加模型的计算成本，因此我们建议尽量在频域中建模。

如果材料的场强为非线性，或者材料必须在时域中建模，将会怎样？你会选择如何处理？对于磁导率为非线性的铁磁材料，仍可以利用等效 H-B 曲线功能在频域中模拟磁性材料。

结束语

为了有效使用“AC/DC 模块”，我们需要了解如何模拟时变磁场中具有导电性的有损材料。在较高频率下，你可以明确地模拟有损导电域，也可以在较高频率下利用阻抗 边界条件模拟导体。如果选择前者，在高频下，则需要利用边界层网格对电流进行充分解析，这必然会增加计算量。如果选择使用阻抗 边界条件，则可得到近似值，但不需要模拟导体域的内部，这大大节省了计算资源。

后续操作

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更多资源

欢迎参考下列教程，完成一套补充练习：

• 60 Hz 磁场中的铁球
• 20 kHz 磁场中的铁球
• 13.56 MHz 磁场中的铁球
• 单匝线圈之间的互感和感应电流