COMSOL Multiphysics® 自然对流建模简介

Ed Fontes 2016年 12月 23日

自然对流是电子设备冷却、室内气候系统和环境输运等很多科学和工程应用领域常见的物理现象。在 COMSOL Multiphysics® 5.2a 版本中,CFD 和“传热模块”都附带有创建和求解自然对流问题的功能。在这篇博客中,我们将概述自然对流现象,介绍相关的新功能,并讨论在模拟自然对流时可能遇到的一些问题。

什么是自然对流?

流体内部的温度差或液体内组分的差异会导致各部分流体的密度不同,并由此产生浮力,浮力引起的流体内部流动即自然对流。

您也许比较熟悉室内环境系统中的自然对流概念。在室内,靠近热源的热空气上升到天花板,而靠近较冷表面(例如冬季的窗户)的冷空气下沉到地板。

电子设备冷却是另一种常见的以自然对流为基础的技术。例如,我们不想使用嘈杂的风扇来为家庭影院系统的扬声器和电视机降温。电子设备需要安静的工作环境,因此通常利用内置的散热器进行自然对流循环。

 

张开的钉柱翅片散热器周围的自由对流情况,热源在下方。动画显示了散热器周围空气中的速度值。

在化工和食品加工等行业中,自然对流问题相对不明显。但在环境科学和气象学中涉及到了自然对流问题,科学家和工程师需要设法预测和理解空气和水中的传输现象。

在上述所有案例中,理解和设计控制自然对流系统是工程师和科学家的一项重要任务。在这一方面,数学建模是完美的辅助工具。在最新版的 COMSOL Multiphysics 中,我们引入了许多新的专业功能,让工程师和科学家可以更轻松地定义和求解涉及自然对流的问题。

流体流动接口的弱可压缩流动选项 忽略了压力波的影响,原因是压力波对自然对流的影响往往不大。该选项允许设置更大的时间步,进而缩短求解自然对流问题的时间。

浮力驱动对流采用了 Boussinesq 近似方法,它的不可压缩流动 选项利用热膨胀系数对密度进行了线性化处理。该选项仅将密度差异用作动量方程中的体积力。这意味着不可压缩流动弱可压缩流动 选项的简化程度更大,但仍然可以确切而有效地描述系统中较小的密度差异。只要自由对流发生在温差较小的水中,这种简化基本上总是有效的。

重力 特征不仅简化了定义静水压力的参考点的流程,还能自动考虑到垂直边界上静水压力的差异。

在下文中,我们将进一步了解这些新功能,并演示如何将它们应用到自然对流建模问题中。

利用弱可压缩流动选型求解自然对流问题

非等温流动 接口内置了弱可压缩流动 选项。该选项忽略了压力导致的密度变化,由此简化了流动问题。它还清除了对压力波的描述,这是因为解析压力波必须设置密集的网格和很小的时间步,因此计算时间相对较长。在自然对流中,压力波的影响往往微乎其微,这意味着上述简化处理几乎不会影响模型的准确度。

可压缩流体的连续性方程如下:

(1)

\[\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \nabla \cdot \left( {\rho {\mathbf{u}}} \right) = 0\]

其中 ρ 表示密度,u 表示速度矢量。

对于气体而言,密度同压强和温度是成比例的。例如,理想气体的对应公式如下:

(2)

\[\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\frac{M}{{RT}} – \frac{{\partial T}}{{\partial t}}\frac{{pM}}{{R{T^2}}}\]

如果我们忽略了密度随动态压力的变化,可得到如下公式:

(3)

\[\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = – \frac{{\partial T}}{{\partial t}}\frac{{pM}}{{R{T^2}}}\]

若我们使用理想气体密度的表达公式,同时忽略动态压力对密度的影响,即可得到下方连续性方程:

(4)

\[\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + \nabla T \cdot {\mathbf{u}} – T\nabla \cdot {\mathbf{u}} = 0\]

这意味着,密度变化只与温度变化有关。密度变化可能导致流体的膨胀,但是当应用了弱可压缩流动 的设置时,流体膨胀对压力场的直接动态影响可忽略不计。

除了使用连续性方程描述密度变化之外,我们还要在流体流动接口的设置中勾选重力复选框,由此在重力方向的动量方程中添加体积力。在默认设定下,重力方向为负 z 方向。因此,体积力的方程式如下:

(5)

\[{F_z} = -g\rho \left( T \right)\]

其中密度 ρ 是温度的函数。

对于理想气体而言,密度与温度成反比。

选择非等温流动 接口或共轭传热 接口后,即可以访问弱可压缩流动 选项的设置。在“模型开发器”中打开流体流动 接口节点,下方的设置窗口便会出现。然后选择弱可压缩流动 选项,消除压力和密度之间的依赖性,接着启用“包含重力”选项,由此将浮力的体积力自动添加到动量方程中。

屏幕截图显示了 COMSOL Multiphysics 中的流体流动接口的设置窗口。
流体流动接口的设置窗口显示了 弱可压缩流动选项和重力特征。

下图显示了两个垂直放置的电路板之间的气流,不过图中只出现了一块电路板单元。第二块电路板位于其前方,背部面向第一块电路板。对流完全由浮力驱动;也就是说,没有吹风的风扇。

入口的流率为 0.2 米/秒,出口处约为 0.3 米/秒。侧面没有进气口,这意味着流率差异是由膨胀造成的,而膨胀的起因是温度随电路板之间的通道高度增加而升高。

垂直电路板之间的浮力驱动对流的计算模型。
垂直电路板之间的浮力驱动对流。我们可以从箭头颜色中观察到膨胀现象,入口处的流率大约是 0.2 米/秒,出口处约为 0.3 米/秒。

使用 Boussinesq 近似的不可压缩流动选项

当密度的变化对速度场的影响很小时,我们可以使用不可压缩流动 选项对自然对流进行 Boussinesq 近似。这意味着可以将流体处理为不可压缩流体,连续性方程甚至比使用弱压缩流动 选项更简单。在这种情况下,连续性方程可以简化为:

(6)

\[\nabla \cdot {\mathbf{u}} = 0\]

在新方程中,体积力考虑到了微小的密度变化,而体积力被引入了与重力方向相反(默认为 z 方向)的动量方程中。我们将参考温度下的流体密度线性化,从而获得微小的密度变化。体积力的 z 分量公式如下:

(7)

\[{F_z} = g{\rho _{{\text{ref}}}}\alpha \Delta T\]

其中 g 是重力常数,\[{\rho _{{\text{ref}}}}\] 是给定参考温度下的密度,α 是流体的热膨胀系数,ΔT 是测量温度与参考温度的温差。

对浮力驱动对流采用 Boussinesq 近似的好处是:流体流动方程中的非线性减少,问题的迭代次数减少,时变问题可以采用更长的时间步,因此更容易计算问题的数值解。

一个可用 Boussinesq 近似描述的真实对流案例是:对温差相对较小的液态水进行建模。下图显示了水杯内的自然对流状况,热源位于水杯下方。此示例中的流动模式非常复杂:靠近杯子中部和底部的水向上流动,位于垂直杯壁与杯子中部之间的水向下流动。

A COMSOL Multiphysics model illustrating natural convection in a glass of water.
一杯水中的自然对流。绘图显示了杯中的速度场和玻璃壁上的温度分布。

在 COMSOL Multiphysics 中,通过在流体流动接口中选择如下设置,我们可以使用不可压缩流动 选项对浮力驱动对流进行 Boussinesq 近似。

屏幕截图展示了 COMSOL Multiphysics 中的不可压缩流动选项。
选择 不可压缩流动选项和重力特征,并使用约化压力,这相当于对自然对流问题进行 Boussinesq 近似。

约束自然对流模型中的压力方程

在对完全可压缩流动进行建模时,连续性方程需要考虑到压力的时间依赖性,这是因为可压缩流体的密度是压力的函数。这也意味着,即使我们没有在边界上规定压力,甚至仅引入了一个初始压力条件,也已经足够获得一个适定问题。

根据上文讨论的内容可知,针对弱可压缩流动和不可压缩流动的情况,连续性方程中受时间影响时间的压力项被忽略了。如果没有设定压力的边界条件,压力场就会变得不确定,除非我们在域内的某一点上设定了压力。

在 COMSOL Multiphysics 中,我们可以使用所谓的压力点约束,以规避不确定的压力场。在求解自然对流问题时,缺失参考压力点往往是造成收敛问题的根源。
屏幕截图展示了 COMSOL Multiphysics 中的压力点约束的设置。
玻璃杯水示例中的压力点约束的设置。

利用耦合或解耦策略求解自然对流问题

用于描述自然对流的方程通常包含了动量方程、连续性方程、能量传递或质量传递方程。如果浮力由温差驱动,则能量方程与流体流动方程(Navier-Stokes 方程)可以完全耦合。对于自然对流而言,这种耦合属于高度耦合。这意味着使用 COMSOL Multiphysics 的全耦合求解器是最佳的方程求解途径。

屏幕截图展示了 COMSOL Multiphysics 软件中的求解器分支。
模型树中,带“完全耦合求解器”选项的求解器分支。

对于大型问题而言,分离式求解器或许是更好的选择。举例来说,如果案例涉及了许多化学物质,并且浮力是由于化学成分不同引起的密度差异而造成的,那么分离式求解器或许是唯一可行的方法,因为它的求解过程不会消耗过多的内存。

结语

最后,我希望以一个生活中的自然对流问题来收尾。我常在抽烟时思考自然对流问题。当然,我并不是提倡抽烟,只是在寒冷的冬日抽烟时盘绕的烟雾是我最感兴趣的自然对流问题。下图为一根搁在烟灰缸上的点燃的香烟,图像显示了由燃烧产生的热量造成的气流分布情况。

 

烟灰缸上,点燃的香烟周围的自然对流(受到轻微外力)情况。

部分由香烟燃烧引起的流动实际上属于强制对流,因为大部分燃烧的烟草变成了烟雾,密度从约 500 到 1000 kg/m3 下降到了 1 kg/m3,因此烟雾可以被描述为烟灰和香烟四周空气之间边界的流动入口。

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评论

  1. 一 王 2017-09-24   2:41 am

    电路版散热模型能发一个给我吗?邮箱cetc2016@163.com

  2. Jialong Wang 2017-10-02   5:15 am

    Can I ask how to get Eq.4?I mean the second term in Eq.4

  3. Christian Wollblad 2017-10-02   8:20 am

    Dear Jialong Wang,

    Equation 4 is just an expansion of equation 1 using equation 3 and the ideal gas relation rho=pM/RT. So the last term is what remains of the term rho*div(u) after the equation has been divided by the factor pM/RT.

    Best regards
    Christian Wollblad
    COMSOL

  4. Jialong Wang 2017-10-02   9:21 am

    But I got an extra term of -T*grad(p)/p*u

  5. 钢 罗 2018-06-12   1:46 am

    您好! 请问能把散热器和烟的案例发给我一下吗?564558817@qq.com 万分感谢~!

  6. Tengyue Gao 2018-10-19   6:43 am

    罗钢,您好!
    感谢您的评论。
    模型相关的问题,请您联系我们的技术支持团队:
    在线支持中心:cn.comsol.com/support
    Email: support@comsol.com
    谢谢!

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